Hauptwert von 1/x1/x1/x und einige Fragen zur komplexen Analysis in Peskins QFT-Lehrbuch

Question

Hauptwert von 1/x1/x1/x und einige Fragen zur komplexen Analysis in Peskins QFT-Lehrbuch

Physik
Notation
Integration
komplexe Zahlen
mathematisch-physik
Dirac-Delta-Verteilungen

346699

Wenn ich QFT lerne, stören mich viele Probleme in der komplexen Analysis.

$\frac{1}{X - X_{0} + ich ϵ} = P \frac{1}{X - X_{0}} - ich π δ (X - X_{0})$ $\frac{1}{x-x_0+i\epsilon}=P\frac{1}{x-x_0}-i\pi\delta(x-x_0)$

Ich kann nicht verstehen, warum $1/x$ kann einen Hauptwert haben, da es sich nicht um eine mehrwertige Funktion handelt. Ich bin sehr verwirrt. Und als ich komplexe Analyse gelernt habe, habe ich diese Formel nicht gesehen , kann mir jemand sagen, wo ich den Beweis dieser Formel finden kann.

$\frac{D}{D X} \ln (X + ich ϵ) = P \frac{1}{X} - ich π δ (X)$ $\frac{d}{dx}\ln(x+i\epsilon)=P\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$

Und diese Formel finde ich auch. Scheinbar $f(x)$ hat dann einen Astschnitt

F (z) = \frac{1}{π} \int_{Z}^{\infty} D z^{'} \frac{ICH M F (z^{'})}{z^{'} - z}

$f(z)=\frac{1}{\pi}\int_Z^{\infty}dz^{\prime}\frac{{\rm Im} f(z^{\prime})}{z^{\prime}-z}$ Kann jemand sagen, das ganze Theorem und seinen Beweis, und was es ausdrücken will. Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Jetzt bin ich von diesen Formeln sehr verwirrt, weil ich sie in keinem komplexen Analysebuch gelesen habe und mir nie beigebracht wurde, wie man mit einem Integral mit Zweigschnitt umgeht. Kann mir jemand den ganzen Beweis geben und wo ich mich beraten lassen kann?

David h

Leider gibt es zwei völlig voneinander unabhängige Bedeutungen des Begriffs „Hauptwert“. Die Art, auf die hier verwiesen wird, ist der Cauchy-Hauptwert , der ansonsten undefinierten uneigentlichen Integralen Werte zuweist. Dies hat nichts mit dem Hauptwert zu tun , an den Sie gedacht haben, nämlich zum Auswählen einwertiger Zweige mehrwertiger Funktionen. Ich weiß, es ist dumm. Man könnte meinen, jemand hätte all diese seltsamen Mehrdeutigkeiten inzwischen behoben, aber leider ist Mathematik kein Französisch.

346699

@DavidH Vielen Dank! Dann die letzte Frage, kannst du mir ein paar Hinweise geben?

Funzies

@ user34669 Ich denke, der letzte Ausdruck heißt "Kramers-Kronig" -Beziehung, es ist eine Möglichkeit, eine komplexe Funktion in ihrem Real- oder Imaginärteil auszudrücken. So können Sie entweder mit dem Real- oder dem Imaginärteil die gesamte Funktion rekonstruieren. Einen Beweis finden Sie unter en.wikipedia.org/wiki/Kramers%E2%80%93Kronig_relations

Arnold Neumaier

Weitere Antworten finden Sie unter physicaloverflow.org/10327

Antworten (1)

Hauptwert von 1/x1/x1/x und einige Fragen zur komplexen Analysis in Peskins QFT-Lehrbuch

Leider gibt es zwei völlig voneinander unabhängige Bedeutungen des Begriffs „Hauptwert“. Die Art, auf die hier verwiesen wird, ist der Cauchy-Hauptwert , der ansonsten undefinierten uneigentlichen Integralen Werte zuweist. Dies hat nichts mit dem Hauptwert zu tun , an den Sie gedacht haben, nämlich zum Auswählen einwertiger Zweige mehrwertiger Funktionen. Ich weiß, es ist dumm. Man könnte meinen, jemand hätte all diese seltsamen Mehrdeutigkeiten inzwischen behoben, aber leider ist Mathematik kein Französisch.
@DavidH Vielen Dank! Dann die letzte Frage, kannst du mir ein paar Hinweise geben?
@ user34669 Ich denke, der letzte Ausdruck heißt "Kramers-Kronig" -Beziehung, es ist eine Möglichkeit, eine komplexe Funktion in ihrem Real- oder Imaginärteil auszudrücken. So können Sie entweder mit dem Real- oder dem Imaginärteil die gesamte Funktion rekonstruieren. Einen Beweis finden Sie unter en.wikipedia.org/wiki/Kramers%E2%80%93Kronig_relations
Weitere Antworten finden Sie unter physicaloverflow.org/10327

MüllcontainerDoofus · Answer 1

Die erste Gleichung,

\frac{1}{X - X_{0} + ich ϵ} = P \frac{1}{X - X_{0}} - ich π δ (X - X_{0})

$\frac{1}{x-x_0+i\epsilon}=P\frac{1}{x-x_0}-i\pi\delta(x-x_0)$ ist eigentlich eine Kurzschreibweise für seine korrekte vollständige Form, nämlich

lim_{ϵ \to 0^{+}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{F (X)}{X - X_{0} + ich ϵ} D X = P \int_{- \infty}^{\infty} \frac{F (X)}{X - X_{0}} D X - ich π F (X_{0})

$\underset{\epsilon\rightarrow0^+}{\lim}\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{x-x_0+i\epsilon}\,dx=P\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{x-x_0}\,dx-i\pi f(x_0)$ Dies gilt für Funktionen, die in der oberen Halbebene analytisch sind und schnell genug verschwinden, so dass das Integral durch eine unendliche Halbkreiskontur konstruiert werden kann.

Dies kann durch Konstruktion einer halbkreisförmigen Kontur in der oberen Halbebene des Radius nachgewiesen werden $\rho\rightarrow\infty$ , mit einem Einzug bei platziert $x_0$ , wobei der an Halbkreisbögen angepasste Residuensatz verwendet wird. Siehe Saff, Snider Fundamentals of Complex Analysis, Abschnitt 8.5 Frage 8.

Die dritte ist die Kramers-Kronig-Beziehung, wie Funzies erwähnte.

Hauptwert von 1/x1/x1/x und einige Fragen zur komplexen Analysis in Peskins QFT-Lehrbuch

346699

David h

346699

Funzies

Arnold Neumaier

Antworten (1)

MüllcontainerDoofus

Was bedeutet die in der Physik verwendete Doppelkomplex-Integralschreibweise?

Komplexe Integration durch Verschieben der Kontur

Dirac Delta und schlampige Notation

Über das Integrationsmaß in der Vollständigkeitsformel des kohärenten Zustands

Bild von Stützen

Mellin-Barnes (MB) Integrale und hypergeometrische Funktionen

Unbekannter Buchstabe ℑ, der in einer Gleichung verwendet wird

Die explizite Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, die als Delta-Funktion beginnt

Physikalische Bedeutung einer nicht integrierbaren Funktion in einer Gleichung

Wie macht man die Integrale über die multivariate Delta-Funktion?