Über das Integrationsmaß in der Vollständigkeitsformel des kohärenten Zustands

In Bezug auf die letzte Formel (4) von OP: Erinnern Sie sich daran, dass es einen implizit geschriebenen antisymmetrischen Keil gibt$\wedge$im Integralmaß. Daher sollte das letzte Gleichheitszeichen von OP lauten

$$( \mathrm{d}x - i\mathrm{d}y )\wedge ( \mathrm{d}x + i\mathrm{d}y ) ~=~ 2i\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y. \tag{4'}$$ Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

Diese alternative Herleitung (ohne Grassman-Algebra) verwendet die Transformationsregel für Integrale. Wir haben ein Integral über$\mathbb {R}^2$mit dem Maß$dx\ dy$(Ist mir egal$\pi$). Wir betrachten eine Variablenänderung$(x,y)\mapsto (z, z*):=(x+iy, x-iy)$Dies ist ein Unterschied zu seinem Bild. (Eine Teilmenge von$\mathbb {C}^2$als 4d reeller Vektorraum gesehen). Der Jakobi ist

$$J=\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end {pmatrix}$$ . Der „Absolutwert“ (für Real- und Komplexteil einzeln) der Determinante ist $2i$, der Faktor, den wir brauchen.

Ich bin hier, um zu erklären, wo das$\pi$in Gl. (2) kommt von:

$$\begin{aligned}\int\left(\phi^{*}\right)^{n}\phi^{m}e^{-|\phi|^{2}}d\text{Re}\phi d\text{Im}\phi & =\int_{0}^{\infty}|\phi|^{n+m+1}e^{-|\phi|^{2}}d|\phi|\int_{0}^{2\pi}e^{i(m-n)\theta}d\theta\\ & =\pi n!\delta_{nm} \end{aligned}$$ $$\frac{1}{\pi}\int|\phi\rangle\langle\phi|d\text{Re}\phi d\text{Im}\phi=\sum_{n}|n\rangle\langle n|=1$$ Der kohärente Zustand ist also tatsächlich übervollständig und$\pi$Hier hilft kohärenter Zustand, sich als vollständiger zu tarnen. Für weitere Informationen sei auf Abschnitt 2.4 von Quantum optics von Scully und Zubairy verwiesen.
Übrigens, wie von Adomas Baliuka und Qmechanic♦ illustriert, ist die Beziehung der Koeffizienten in Gl.(1)&(2) klar. Beide kommen auf unterschiedliche Weise zum selben Ziel, da das Aussehen des Jacobi-Musters eine natürliche Eigenschaft des Keilprodukts ist.