Innere Produkträume

Ich versuche, die Definition innerer Produkträume, die mir in der Mathematik begegnet ist, mit derjenigen in Einklang zu bringen, auf die ich kürzlich in der Physik gestoßen bin. Insbesondere wenn$(,)$bezeichnet ein Skalarprodukt im Vektorraum$V$über$F$:

1. $(u + v, w) = (u, w) + (v, w) \text{ for all } u, v, w \in V$,

2. $(\alpha v, w) = \alpha(v, w) \text{ for all } v, w \in V$Und$\alpha \in F$,

3. $(v, w) = (w, v)^* \text{ for all } v, w \in V$, (* bezeichnet komplexe Konjugation)

waren einige der Eigenschaften, die in meinem Mathematikkurs aufgeführt wurden.

In der Physik hieß es aber im zweiten Argument und das Skalarprodukt sei linear$(v,\sum(\lambda_i w_i)) = \sum(\lambda_i (v,w_i))$Wo$v$Und$w_i$sind Kets im Hilbert-Raum und$\lambda_i$sind komplexe Zahlen.

Für mich sind diese Eigenschaften eines Innenprodukts nicht kompatibel. Wenn die erste Definition des inneren Produkts richtig ist, dann denke ich$(v,\sum(\lambda_i w_i)) = \sum((\lambda_i)^* (v,w_i))$Wo$^*$bedeutet komplexe Konjugation.