Warum setzen Physiker gerne überall die imaginäre Einheit i=−1−−−√i=−1\:i=\sqrt{-1}\: ein?

Es gibt viele Meinungsverschiedenheiten zwischen Mathematikern und Physikern, aber ein wiederkehrendes Thema scheint zu sein, dass Physiker dazu neigen, unnötige Faktoren von einzufügen ich = − 1 in Definitionen.

Ich verstehe, dass dies nur eine Konvention ist, aber ich bin neugierig, warum dies so weit verbreitet zu sein scheint. Kennt jemand die „etymologischen“ Gründe für die ich -schwere Konventionen?

Ding Mathematik Konvention Physik Konvention
Lie-Algebra-Strukturkonstanten (Ref.) [ L A , L B ] = F A B C L C [ L A , L B ] = ich F A B C L C
Lie-Gruppen-Transformationen in Bezug auf Generatoren (Ref.) R z ( θ ) = exp ⁡ ( θ J z ) R z ( θ ) = exp ⁡ ( − ich θ J z )
Kovariante Ableitung mit C -bewertete Verbindung 1-Form ∇ v = D v + A v ∇ μ v A = ∂ μ v A − ich Q A A B μ v B
Krümmung der Verbindung oder Messfeldstärke (Ref., §7.4) F = D A + A ∧ A F μ v = ∂ μ A v − ∂ v A μ ± ich Q [ A μ , A v ]

Ich habe eine vage Vermutung: Physiker lesen und schreiben e ich ω T viel und eine Exponentialfunktion mit an ich darin schreit „Rotation“. Schneller Vorlauf zur Beschreibung S Ö ( N ) Drehungen in Bezug auf Matrixgeneratoren und einen Ausdruck wie e ich θ J z fühlt sich einfach so sehr „vertrauter“ an, dass ein Extra ich wird aus der Definition von herausgezogen J z . Kann diese Vermutung gestützt werden? Bei der dritten und vierten Reihe bin ich mir aber nicht sicher.

In den meisten Fällen - wie e − ich θ J z - dies macht die Operatoren hermitesch.
Für die Wiedereröffnung gestimmt. Wie die vorhandenen Antworten zeigen, gibt es theoretische Überlegungen, die in diese Frage einfließen. Es stimmt, dass man alles umformulieren könnte, um Konsistenz zu erreichen, aber wir werden das nicht aus praktischen Gründen tun.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/321230/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (2)

Was Sie sagen, gehört dazu. Aber ich denke, einen wichtigeren Grund haben wir ich ist explizit, weil wir gerne Dinge mit hermiteschen Operatoren beschreiben. Am Beispiel von S U ( 2 ) , ist die Lie-Algebra in Physikerschreibweise

[ L ich , L J ] = ich ε ich J k L k

L 3 ist in der Physik eine Observable, die den Spin eines Teilchens beschreibt z Richtung, die ganzzahlige oder halbzahlige Werte annimmt. Da dies eine beobachtbare Größe ist, bevorzugen wir eine reelle Zahl. Deshalb wollen wir L 3 Hermitesch sein.

Allgemeiner nehmen wir Generatoren einer Symmetriegruppe als hermitesch an (vorausgesetzt, wir haben es mit einer einheitlichen Darstellung zu tun), weil sie die beobachtbaren "Ladungen" beschreiben, die wir als real haben wollen .

Der Grund für die ich 's in der kovarianten Ableitung und Krümmung 2 -Form ist ähnlich. Wir wollen , dass die Verbindung hermitesch ist, da sie ein beobachtbares Feld beschreibt, das den Raum durchdringt. Obwohl wir in fortgeschritteneren Behandlungen in diesen Fällen manchmal die Notation der Mathematiker verwenden.

Zusammenfassend verwenden Physiker diese spezielle Notation, weil diese Größen etwas Physikalisches darstellen, während Mathematiker ihre Notation verwenden, weil sie symbolisch effizient ist. Wir haben unterschiedliche Prioritäten :)

Echte klassische Observablen werden als hermitische Operatoren und quantisiert ∂ μ ist antihermitesch. So:

  • Strukturkonstanten Wir suchen hermitesche Generatoren.
  • Transformationen Wir suchen real θ , einheitlich R z und Hermitesch J z .
  • Kovariante Ableitung Wir suchen hermitesch A , v .
  • Krümmung/Feldstärke Wir suchen hermitesch F .
Warum setzen Physiker gerne überall die imaginäre Einheit i=−1−−−√i=−1\:i=\sqrt{-1}\: ein?
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