Was bedeutet es, wenn das Differential eines Integrals potenziert wird, wie zB d3rd3rd^3r oder d3ud3ud^3u?

Question

Was bedeutet es, wenn das Differential eines Integrals potenziert wird, wie zB d3rd3rd^3r oder d3ud3ud^3u?

Physik
Notation
Konventionen
Integration
Raumzeit-Dimensionen

Terry Preis

Ich las Zwelfels Buch über Reaktorphysik und sah die folgende Notation:

Beachten Sie, dass das Differential des Integrals in die dritte Potenz erhoben wird.

Welche Bedeutung hat diese Notation? Versuchen sie hier ein Volumenintegral zu implizieren? Wie würde ich das in eine Riemann-Summe umwandeln?

Garyp

d^{3} u = d v_{x} d v_{y} d v_{z}

$\mathrm{d}^3u = \mathrm{d}v_x\, \mathrm{d}v_y\, \mathrm{d}v_z$ . Wenn Sie Probleme mit dieser Notation haben, springen Sie möglicherweise ins kalte Wasser, anstatt von der Küste aus hineinzulaufen. Sie müssen sich als nächstes damit auseinandersetzen

d^{3} u = u^{2} d u d Ω

$\mathrm{d}^3u = u^2\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\Omega$ . Hast du damit Probleme?

Benutzer108787

@garyp schöne Metapher

Terry Preis

Eigentlich tue ich das. Ich nehme an, das ist eine Art Koordinatensystemänderung oder so? Hast du einen Einblick?

Garyp

Der letztere Ausdruck ist das Volumenelement in sphärischen Koordinaten, während der erstere in kartesischen Koordinaten ist.

d Ω

$\mathrm{d}\Omega$ ist ein differentielles "Volumen" des Raumwinkels:

d Ω = \sin θ d θ d ϕ

$\mathrm{d}\Omega = \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ . Ich hoffe, das reicht aus, um Sie zu einem Buch oder Online-Kurs über Analysis und analytische Geometrie zu schicken. Du musst dich wirklich zurücklehnen.

Daniel Sank

Es ist ein Notationsmissbrauch. Die Bedeutung ist wie in den Antworten unten erklärt, aber beachten Sie, dass das Ganze

d x

$dx$ Notation ist ziemlich schlecht erklärt/begründet. Fragen Sie sich, ob es wirklich einen Unterschied zwischen gibt

\int_{0}^{π} \sin (x) d x

$\int_0^\pi \sin(x) \, dx$ Und

\int_{0}^{π} \sin (x)

$\int_0^\pi \sin(x)$ .

JG

@DanielSank Der

d x

$dx$ ist entscheidend, denn wenn z.

d (x^{2}) = 2 x d x

$d(x^2)=2xdx$ stattdessen verwendet würden, wäre es ein völlig anderes Integral. Sie können a nicht mehr weglassen

d x

$dx$ in einem Integral als in einer Ableitung.

Antworten (2)

Was bedeutet es, wenn das Differential eines Integrals potenziert wird, wie zB d3rd3rd^3r oder d3ud3ud^3u?

$\mathrm{d}^3u = \mathrm{d}v_x\, \mathrm{d}v_y\, \mathrm{d}v_z$ . Wenn Sie Probleme mit dieser Notation haben, springen Sie möglicherweise ins kalte Wasser, anstatt von der Küste aus hineinzulaufen. Sie müssen sich als nächstes damit auseinandersetzen $\mathrm{d}^3u = u^2\mathrm{d}u\,\mathrm{d}\Omega$ . Hast du damit Probleme?
Eigentlich tue ich das. Ich nehme an, das ist eine Art Koordinatensystemänderung oder so? Hast du einen Einblick?
Der letztere Ausdruck ist das Volumenelement in sphärischen Koordinaten, während der erstere in kartesischen Koordinaten ist. $\mathrm{d}\Omega$ ist ein differentielles "Volumen" des Raumwinkels: $\mathrm{d}\Omega = \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ . Ich hoffe, das reicht aus, um Sie zu einem Buch oder Online-Kurs über Analysis und analytische Geometrie zu schicken. Du musst dich wirklich zurücklehnen.
Es ist ein Notationsmissbrauch. Die Bedeutung ist wie in den Antworten unten erklärt, aber beachten Sie, dass das Ganze $dx$ Notation ist ziemlich schlecht erklärt/begründet. Fragen Sie sich, ob es wirklich einen Unterschied zwischen gibt $\int_0^\pi \sin(x) \, dx$ Und $\int_0^\pi \sin(x)$ .
@DanielSank Der $dx$ ist entscheidend, denn wenn z. $d(x^2)=2xdx$ stattdessen verwendet würden, wäre es ein völlig anderes Integral. Sie können a nicht mehr weglassen $dx$ in einem Integral als in einer Ableitung.

Emilio Pisanty · Answer 1

Die Notation $\mathrm d^3r$ , oft auch $\mathrm d^3\mathbf r$ , wird im Allgemeinen als dreidimensionales Volumenintegral verstanden, wie Sie richtig vermuten. Wenn $\mathbf r=(x,y,z)$ dann könnte man das auch so bezeichnen $\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ , oder als $\mathrm dV$ wenn klar ist, was die Integrationsvariable ist.

Die Notation $\mathrm d^3\mathbf r$ ist kompakter und kann besser genau angeben, was die Integrationsvariable ist und welche Art von Integral genommen wird; Dies ist sehr nützlich an Orten, an denen die Seite bereits ausgelastet ist, wie zum Beispiel,

wo direkt die Angabe der Komponenten von $\vec k$ würde (i) die Formel viel, viel länger machen und (ii) den Text tatsächlich weniger lesbar machen.

Darüber hinaus ist es sehr üblich, dass Autoren das Hochstellen einfach weglassen und die Notation like verwenden $\mathrm d\mathbf r$ wenn klar ist, dass es nur ein Volumenintegral sein kann ( Beispiel ), und mischen Sie sogar beide Schreibweisen, indem Sie hochgestellte Zeichen einfügen, wenn dies erforderlich ist, um die Dimensionalität des Integrals anzuzeigen ( Beispiel ).

Ich verstehe nicht, warum die $\textbf{r}$ sollte fett sein (ich weiß, dass viele Lehrbücher so sind). Schließlich, $d\,\textrm{(whatever)}$ ist eine Abkürzung (eigentlich Langschrift) für ein Maß $m$ , was im Allgemeinen eine Zahl ist.
@Gennaro Das ist Geschmackssache. Ich sage nicht, dass es fett sein sollte , ich sage, es kann fett sein, und das OP sollte für beide Notationen vorbereitet sein. (Persönlich finde ich, dass Fettdruck sinnvoll ist, wenn die Variable normalerweise fett gedruckt ist, da das Differential eine Abkürzung zum Markieren der Integrationsvariablen ist (und nicht wirklich das Maß angibt; wenn das in Frage steht, dann tun Sie Dinge wie $\mathrm d\mu(\mathbf r)$ ), daher ist es sinnvoll, die Variable einfach so einzugeben, wie sie ist, und weil die nicht fettgedruckte Version normalerweise eine andere Menge ist. Aber auch hier ist es ausschließlich Geschmackssache.)
Falls es jemanden interessiert, dieses Beispiel ist Gl. I.4.4 aus A. Zees Quantenfeldtheorie in einer Nussschale.

N0va · Answer 2

Normalerweise würde ich ein Integral verstehen $\int d^3\mathbf{r}$ als Volumenintegral über den gesamten Raum $\mathbb{R}_3$ , wobei ich das fette r dort als verstehen würde $\vec{r}$ . habe ich auch gesehen $\int d^3 \vec{r}$ bedeutet das gleiche Volumen integral über $\mathbb{R}_3$ . Oder auch $\int d~ \vec{r}$ mit weggelassenem hochgestelltem Index (ich mag diesen nicht, aber ich habe ihn in der Literatur gesehen). Alle vorherigen Ausdrücke sind koordinatenunabhängig und $\vec{r}$ oder fett $\mathbf{r}$ bezeichnen den allgemeinen Ortsvektor.

Ein Differential $dr$ ohne Vektorpfeil oder ohne den hochgestellten oder nicht fettgedruckten Ausdruck ist üblicherweise (zumindest in der Physik) als Differential bezüglich des Radius in Kugelkoordinaten gemeint. Das Volumenintegral wird also üblicherweise geschrieben als:

$\int d^3 \vec{r} \equiv \int d~ \vec{r} \equiv \int d^3\mathbf{r} = \int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }dxdydz=\int_{0 }^{2\pi }\int_{0 }^{\pi }\int_{0 }^{\infty }r^2 \sin(\theta)d\phi d\theta dr$ .

Wobei die letzten beiden Gleichheiten in kartesischen bzw. sphärischen Koordinaten sind.

Ich denke, der Wert der obigen Antwort besteht darin, dass Sie beim Lesen solcher Dinge auf jede Notation vorbereitet sind, die Volumen, Oberfläche, Linie oder eine beliebige Dimension von Integralen beschreiben könnte. Viele Möglichkeiten, dasselbe zu sagen.

Was bedeutet es, wenn das Differential eines Integrals potenziert wird, wie zB d3rd3rd^3r oder d3ud3ud^3u?

Terry Preis

Garyp

Benutzer108787

Terry Preis

Garyp

Daniel Sank

JG

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Emilio Pisanty

geniert

Emilio Pisanty

JG

N0va

K7PEH

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