Schallwellengleichung: Neumann-Randbedingungen

In diesem Artikel wird die Lösung der Gleichung für gedämpfte Wellen in Zylinderkoordinaten beschrieben

$$\nabla^2\left(c^2\rho_1+\nu\frac{\partial\rho_1}{\partial t}\right)-\frac{\partial^2\rho_1}{\partial t^2}=0$$

Wo$\rho_1$ist die Differenz der Dichte relativ zum ungestörten Zustand$\rho_0$.

Die angewandte Randbedingung ist

$$\mathbf{v}\big|_{r=r_0}=v_A\cos(\omega t)\mathbf{\hat{r}}$$

Wo$v$ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit.

Sie behaupten, dass diese Randbedingung umgeschrieben werden kann als

$$\begin{equation} \frac{\partial\rho_1}{\partial r} \bigg|_{r=r_0}=\frac{\rho_0v_A\omega c^2}{\nu^2\omega^2+c^4}\sin(\omega t)-\frac{\rho_0v_A\omega^2 \nu}{\nu^2\omega^2+c^4}\cos(\omega t)\tag{1} \end{equation}$$

einfach imposant$\nabla\times \mathbf{v}=\mathbf{0}$und Verwenden der Gleichungen für die Erhaltung von Masse und Impuls

$$\frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho_0 \mathbf{v}) =0$$ $$\frac{\partial}{\partial t}(\rho_0 \mathbf{v})+c^2\nabla\rho_1+\nabla \cdot \mathbf{D}_1=\mathbf{0}$$

Wo$\mathbf{D}_1$ist der viskose Spannungstensor.

Es ist möglich, dies zu beweisen, wenn$\nabla\times \mathbf{v}=0$, Dann$\nabla \cdot \mathbf{D}_1 = -\nu\nabla^2\mathbf{v}$.

Ich habe mich sehr bemüht, aber ich konnte die Gleichung nicht beweisen$(1)$. Wissen Sie, wie es weitergeht?

Referenz:

Euan McLeoda und Craig B. Arnold, Mechanik und Optimierung der Brechkraft von abstimmbaren akustischen Gradientenlinsen , Journal of Applied Physics 2007 102:3