Welche Einschränkungen hinsichtlich der zeitlichen Randbedingungen muss die Fourier-Transformation verwenden, um die Wellengleichung zu lösen?

Die einfache Antwort auf Ihre Frage lautet: Unter vernünftigen Annahmen legt die Fourier-Transformation keine praktischen Einschränkungen für die Lösungen der Wellengleichung fest. Oder:

Jede Zeitvariation und ihre Fourier-Transformation bilden die gleiche Information

für alle physikalisch sinnvollen Signale. Fourier-Transformationen können verlustfrei (im Sinne von eindeutig, dh ohne Informationsverlust) invertiert werden. Eine Fourier-Transformation ist wie ein perfekter Mechaniker, der mit jeder physikalischen Maschine arbeiten kann. Er oder sie kann die Maschine in die kleinsten Teile zerlegen, aus denen sie besteht, jedes dieser Teile im Detail untersuchen und die Maschine wieder perfekt zusammenbauen. Die Fourier-Transformation ermöglicht es uns also, jede Zeitvariation umkehrbar in ihre konstituierenden zeitharmonischen Variationen aufzuteilen, die Wirkung dieser Variationen zu untersuchen und dann alle diese Teile wieder perfekt zusammenzusetzen, um die ursprüngliche Lösung zu erstellen.

Nun zu einigen technischen Details.

Ich denke, die wahren Einschränkungen, welche Art von Zeitvariation derzeit als darstellbare Fourier-Transformation ausgelegt wird, sind eine Math SE- oder sogar Math Overflow-Frage: Das Anwendungsgebiet der FT wurde in den letzten hundert Jahren durch aufeinanderfolgende neue Konzepte in der Mathematik stetig erweitert (z. B. durch Verteilungstheorie (verallgemeinerte Funktionen), fortgeschrittene Maßtheorie und Theorie der Hyperfunktionen), daher kann ich nicht behaupten, den aktuellen "Stand der Technik" zu kennen.

Eine gute, prägnante Zusammenfassung ist jedoch, dass Fourier-Transformationen mit temperierten Verteilungen arbeiten , was der duale Raum des Schwarz-Raums ist.

Was bedeutet das praktisch? Wahrscheinlich, dass jede Zeitvariation, die Sie darstellen möchten, mit jedem Anfangswert durch eine Fourier-Überlagerung dargestellt werden kann. Ich werde diese temperierten Verteilungen unten ausführlicher erläutern und Ihnen einige Referenzen geben.

Laplace-Transformationen sind etwas bizarrerweise tatsächlich eingeschränkter darin, welche Arten von Funktionen sie darstellen können (abgesehen von einem erfundenen Sinne, dass sie mit einseitiger exponentieller Divergenz umgehen können). Das liegt daran, dass der Kernel$\exp(-s\,t)$in der Integraltransformation ist jetzt unbeschränkt, und man kann im Allgemeinen keine Laplace-Transformation über das Intervall definieren$(\infty,\,\infty)$wie man es mit einer Fourier-Transformation machen kann. Für eine Fourier-Transformation divergiert dieser Kern nicht, daher ist die Fourier-Transformation eine einheitliche (leistungserhaltende) Abbildung. Laplace-Transformationen sind daher auf kausale Funktionen beschränkt , also auf solche Funktionen$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$wofür es welche gibt$t_0\in\mathbb{R}$so dass$f(t) =0,\;\forall t < t_0$. Dann der integrale Transformationskern$\exp(-s\,t)$ist über die Unterstützung dieser Funktion begrenzt.

Fourier-Transformationen nehmen natürlich automatisch kausale Funktionen in Angriff: Sie sind jetzt Integrale der Form$\int_{t_0}^\infty \,e^{-i\,\omega\,t} f(t)\,\mathrm{d}t$. Immer wenn eine Funktion kausal ist und ihre Laplace-Transformation existiert, ist die Laplace-Transformation dann die Fourier-Transformation (modulo multiplikative Konstante) mit erweitertem Definitionsbereich von$\mathbb{R}$hinaus in die komplexe Ebene (abgesehen davon, wo die Funktion Pole hat) durch analytische Fortsetzung. Wo sie anwendbar sind, sind Laplace-Transformationen also fast die gleichen wie Fourier-Transformationen. Genau genommen kann eine Laplace-Transformation eine exponentiell divergierende Funktion als regularisieren$t\to\infty$(Wir machen nur den Realteil der Transformationsvariablen$s$groß und positiv genug, um diese Divergenz aufzuheben), wohingegen die Fourier-Transformation eine solche Divergenz nicht handhaben kann. Aber das dürfte kein praktisches Problem sein. Sicherlich ist es fast nie ein Problem in der Elektrodynamik. Es wird angenommen, dass Zeitvariationen eine endliche Energie haben, und wenn wir schon dabei sind, sind Fourier-Transformationen auch räumlich sehr nützlich, um ein elektromagnetisches Feld in einzelne ebene Wellen aufzuteilen. Es gibt fast nie Gelegenheit, Felder zu studieren, die exponentiell ins Unendliche auseinandergehen. Außerdem ist die Theorie der Laplace-Transformationen mit spezifischen Verfahren ausgestattet, um Anfangsbedingungen zu handhaben, die normalerweise nicht als fester Bestandteil der Fourier-Transformation angesehen werden, aber die Trennung ist hauptsächlich eine Sache der Gewohnheit: Man kann solche Bedingungen genauso gut handhaben mit die Fourier-Transformation.

Kausalität oder das Potenzial für Kausalität kann durch das Paley-Wiener-Kriterium erkannt werden; Weitere Informationen zu diesem Kriterium finden Sie in meiner Antwort auf die Frage Weitere Erweiterungen der Wellengleichung für die Dispersion .

Fourier-Transformationen und temperierte Verteilungen

Wir definieren temperierte Verteilungen wie folgt. Zunächst betrachten wir den Schwartzraum$\mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$von komplexwertigen Funktionen definiert auf$\mathbb{R}^N$(in diesem Fall haben Sie eine Zeitvariation), die (i) glatt sind ( dh Ableitungen in alle Richtungen aller Ordnungen haben) und (ii) die selbst sowie alle ihre Ableitungen "schneller als Polynomgeschwindigkeit" auf Null schwinden Unendlichkeit; Diese beiden Bedingungen können zusammengefasst werden durch$\left\|\, \left| \mathbf{x} \right|^\alpha D^\beta \psi\left(\mathbf{x}\right) \right\| < \infty,\,\forall \alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$Und$D$ist irgendein Differentialoperator erster Ordnung - es gibt nur einen solchen Operator - nämlich -$\mathrm{d}_t$wenn wir es mit Zeitvariationen zu tun haben ( dh $N=1$), aber die Ideen gelten in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen gleichermaßen. Die Fourier-Transformation$\mathfrak{F}\,\psi$von irgendwelchen$\psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$ist dann definiert und gehört ebenfalls zum Schwartz-Raum, dh $\psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \Leftrightarrow \mathfrak{F}\, \psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$.

Darüber hinaus ist der Kernel von$\mathfrak{F}:\mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)\mapsto \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$ist nämlich trivial$\mathfrak{F}\psi = 0, \psi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \Rightarrow \psi = 0$. Schließlich ist jedes Mitglied des Schwartz-Raums die Fourier-Transformation eines anderen Mitglieds des Schwartz-Raums. Somit gilt im Scwartz-Raum:

Schwartz funktioniert weiter$\mathbb{R}^N$und ihre Fourier-Transformationen bilden genau die gleiche Information

Der Schwartz-Raum umfasst jedoch nicht alle für uns interessanten Bereiche: Wir möchten vielleicht stückweise stetige Randbedingungen definieren, nicht abnehmende Zeitvariationen ( zB reine Sinuskurve), die zwar glatt sind, aber nicht das Kriterium des schnellen Abfalls erfüllen, sondern nur das viel schwächere$\left|\mathbf{r}\right| \psi\left(\mathbf{r}\right) \rightarrow 0$als$\left|\mathbf{r}\right| \rightarrow \infty$und in der Tat$\left|\mathbf{r}\right|^2 \psi\left(\mathbf{r}\right)$weicht generell ab. Daher betrachten wir den topologischen Dualraum$\mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$aller komplexwertigen linearen Funktionale im Schwartz-Raum; Das topologische Dual wird durch eine stärkere Topologie definiert als einfach die$\mathbf{L}^2$Norm des ursprünglichen Hilbertraums$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$. Diese stärkere Topologie wird durch die Normenfamilie induziert:

$$\rho_{\alpha,\,\beta}(f) \stackrel{def}{=} \sup\limits_{\mathbf{u}\in\mathbb{R}^N} \left.||\mathbf{x}|^\alpha\,D^\beta f(\mathbf{x})|\right|_{\mathbf{x}=\mathbf{u}}$$

So ist beispielsweise das Dirac-Delta eine stetige lineare Funktion auf$\mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$mit dieser Topologie ausgestattet, aber sie ist auf dem Hilbert-Raum nicht stetig$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$bestückt mit dem Original$\mathbf{L}^2$Norm. Wir haben also die stärkere Topologie zum Tragen gebracht, um alle linearen Funktionale aufzuspüren, die für uns nützlich sind (Dirac-Delta, Multiplikationsoperator$f(x)\mapsto x\,f(x)$,$f(x)\mapsto e^{i\,k\,x}\,f(x)$usw.), die die ursprüngliche Topologie nicht "erschnüffeln" konnte.

Die Mitglieder von$\mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$sind als temperierte Verteilungen oder manchmal verallgemeinerte Funktionen bekannt. Wir können uns ein gewöhnliches Skalarfeld vorstellen$\psi\left(\mathbf{r}\right)$als lineares Funktional$\Psi : \mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \rightarrow \mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right): \varphi \in \mathscr{S}\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right) \mapsto \int_{\mathbb{R}^N} \psi\left(\mathbf{u}\right) \varphi\left(\mathbf{u}\right) \mathrm{d}^N u$; ein lineares Funktional gegeben$\Psi \in \mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^N, \mathbb{C}\right)$, können wir die gewöhnliche Funktion wiederherstellen, indem wir beispielsweise auswerten$\Psi\left(\kappa^N \exp\left(-\kappa^2 \left|\mathbf{r} - \mathbf{u}\right|^2\right) / \pi^{3/2}\right)$und nehmen die Grenze als$\kappa\rightarrow\infty$. Wenn die fragliche lineare Funktion wie gerade beschrieben von einer gewöhnlichen Funktion definiert wird, ist der Wert der gewöhnlichen Funktion at$\mathbf{r}\in\mathbb{R}^N$wird durch die Grenze wiederhergestellt. Wenn nicht ( z. B. wenn das Funktional die Delta-Funktion ist), existiert der Grenzwert nicht an allen Punkten. Die temperierten Verteilungen haben auch die nützlichen Eigenschaften, dass:

1. Die Fourier-Transformation einer temperierten Verteilung ist ebenfalls eine temperierte Verteilung;

2. Jede temperierte Verteilung ist die Fourier-Transformation einer temperierten Verteilung; Und

3. Der Kern der Fourier-Transformation ist trivial. Markanter,$\mathfrak{F}$ergibt sich dann eine unitäre Bijektion (eins zu eins, auf Karte) aus$\mathscr{S}^\prime\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}\right))$auf sich selbst.

Jetzt haben wir also wieder:

Temperierte Verteilungen an$\mathbb{R}^N$und ihre Fourier-Transformationen bilden genau die gleiche Information

und fast alles, was man sich in praktischen Problemen ausgedacht hat, kann durch temperierte Verteilungen dargestellt werden.

Einige gute Referenzen für diese Konzepte:

1. EM Stein und GL Weiss, Introduction to fourier analysis on euclidian spaces, Princeton University Press, 1990, Kapitel 1, insbesondere Abschnitte 2 und 3 in diesem Kapitel.

2. MJ Lighthill, „Introduction to fourier analysis and generalized functions“, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996, Kapitel 4, insbesondere Abschnitt 4.2 und Theorem 17. Lighthill verwendet den etwas unkonventionellen Namen „gute“ Funktion für jedes Mitglied des Schwartz-Raums; Abgesehen von der ungewohnten Nomenklatur ist dies eine hervorragend lesbare Referenz.

3. JK Hunter und B. Nachtergaele, „Applied analysis“, World Scientific Publishing Company Incorporated, Singapur, 2005, Kapitel 11, Abschnitt 11.2.

4. Der Abschnitt "Temperierte Verteilungen und Fourier-Transformation" auf der Wikipedia-Seite für Verteilung_(Mathematik)

Ich nehme an, dass der ursprüngliche Ausgangspunkt der Satz der Maxwell-Gleichungen für E und B ist . Das Eliminieren des zweiten ergibt eine Gleichung für E , die seine zweite zeitliche Ableitung beinhaltet. Daher müssen sowohl E als auch d/dt E zum Anfangszeitpunkt angegeben werden. Wenn letzteres endlich ist, sagen wir t=0, dann kann eine komplexe Laplace-Transformation (komplexe Variable z mit positivem Imaginärteil) gemacht werden. Das Ergebnis zeigt den inversen Helmholtz-Operator L (z)^(-1), der auf Terme wirkt, die proportional zu E (t=0) und (d/dt E )(t=0) sind. Die inverse Laplace-Transformation ergibt dann E (t). Beachten Sie, dass L(z)^(-1) führt zur entsprechenden Green'schen Funktion G (* x *, y ,z)= < x|L (z)^(-1)| y >. Fourier-Transformationen sind bei solchen Problemen mit zeitlichen Anfangsbedingungen nicht so bequem wie Laplace-Transformationen.

In Streusituationen das Verhalten der Felder für alle$t\in (-\infty,+\infty)$ist relevant. Betrachten Sie den Fall, in dem ein elektromagnetisches Wellenpaket von einem endlichen dielektrischen Objekt wie einer Kugel gestreut wird. Für große negative Zeiten bewegt es sich zunächst frei auf den Streuer zu und nach der Streuung bewegt sich das gestreute Wellenpaket wieder frei,

$$\mathbf{E}(\mathbf{x},t)\overset{t\rightarrow\pm\infty}{\sim}\mathbf{E}_{\pm }(\mathbf{x},t),\;\mathbf{B}(\mathbf{x},t)\rightarrow\overset{t\rightarrow \pm\infty}{\sim}\mathbf{B}_{\pm}(\mathbf{x},t),$$

Wo$\mathbf{E}_{\pm}(\mathbf{x},t)$Und$\mathbf{B}_{\pm}(\mathbf{x},t)$Erfüllen Sie die Maxwell-Gleichungen im Vakuum. Das Standardverfahren besteht dann darin, Wellenoperatoren einzuführen, was zu einem Streuoperator führt, aus dem alle Eigenschaften des Streuprozesses erhalten werden können. Nun gibt es keine vorgegebene Anfangsbedingung, sondern einen Ausdruck für die asymptotische Bewegung des Systems as$t\rightarrow-\infty$die das Verhalten der Felder festlegt. Das eigentliche Verfahren ist ziemlich langwierig, siehe zB A. Tip, Phys. Rev. 56 , 4818 (1998), Abschnitt VI.

Noch eine Bemerkung zu den Laplace-Transformationen: Sie sind äußerst wichtig für die Untersuchung einer einheitlichen Zeitentwicklung im Hilbert-Raum (eine lineare Zeitentwicklung im elektromagnetischen Fall kann so formuliert werden). Dann, modulo eine Konstante, ist die Laplace-Transformation der Evolution gleich der Auflösung$R(z)=[z-H]^{-1}$seines Generators

$$\int_{0}^{\infty}dt\exp[izt]\exp[-iHt]=-i[z-H]^{-1}$$ (Ich bin $z>0$) und es hat sich herausgestellt, dass die Untersuchung der Eigenschaften von $H$werden am bequemsten durch seinen Resolventen durchgeführt (siehe Kato's Linear Operators oder die Bände von Reed und Simon).