Korrekter Weg zur Lösung der Gleichung für einfache harmonische Bewegung

Ich glaube, du machst dir zu viele Sorgen. Dies ist der richtige Ansatz (ich werde etwas leichtfertig sein, also nimm diesen ersten Absatz beim ersten Lesen nicht zu ernst :)):

1. Schritt 1: Die Bedeutung des Satzes von Picard-Lindelöf verstehen ;
2. Schritt 2: Verstehen Sie, dass Sie nacharbeiten können, indem Sie Zustandsvariablen allen außer der Ableitung höchster Ordnung zuweisen$\ddot x +\omega^2\,x=0$in eine Vektorversion der Standardform$\dot{\mathbf{u}} = f(\mathbf{u})$vom PL-Theorem angesprochen und dass in diesem Fall die$f(\mathbf{u})$erfüllt die Bedingungen des PL-Theorems (es ist Lipschitz-stetig)
3. Schritt 3: Wählen Sie Ihre bevorzugte Methode, um eine Lösung für die DE und die Randbedingungen zu finden - Tricks, die Sie in Differentialgleichungen 101 lernen, Versuch und Irrtum, Vermutungen einfüllen und sehen, was passiert ... alles! .... und dann GO FOR IT!

Okay, das ist ein bisschen leichtsinnig, aber der Punkt ist, dass Sie aus grundlegenden theoretischen Überlegungen wissen, dass es eine Lösung geben muss, und wie auch immer Sie die Gleichung lösen, wenn Sie eine Lösung finden können, die zu der Gleichung und den Randbedingungen passt, müssen Sie einfach die haben richtige und einzige Lösung , egal wie Sie sie ableiten .

Insbesondere gelten die obigen theoretischen Überlegungen, ob die Variablen reell oder komplex sind. Wenn Sie also eine Lösung mit komplexen Variablen finden und sie zu den realen Randbedingungen passen, dann muss die Lösung die gleiche sein wie die, die durch Kleben gefunden werden soll mit reeller Variablenschreibweise. In der Tat kann man die Begriffe von definieren$\sin$Und$\cos$durch die Lösungen von$\ddot x +\omega^2\,x=0$und sie müssen aufgrund der obigen Überlegungen zum PL-Theorem äquivalent zu komplexen Exponentiallösungen sein. Diese erzwungene Gleichwertigkeit können Sie sich dann als Grund für Ihre eigene schön formulierte Erkenntnis vorstellen, die Sie sich erarbeitet haben:

"Die Verwendung von sin / cos und gerade ist also im Wesentlichen äquivalent, solange Sie komplexe Konstanten zulassen, um einen Umrechnungsfaktor zwischen den beiden bereitzustellen."

Lassen Sie das Wort "im Wesentlichen" fallen und Sie haben alles sortiert!

Lassen Sie uns eigentlich zu Schritt 2 in meiner "augenzwinkernden" (aber insgesamt theoretisch fundierten) Antwort zurückkehren, da sie uns zeigt, wie wir all diese Ansätze vereinen und die Physik gut einbringen können. Brechen Sie die Gleichung in ein gekoppeltes Paar von Gleichungen erster Ordnung auf, indem Sie schreiben:

$$\dot{x} = \omega\,v;\, \dot{v} = -\omega\,x$$

und jetzt können wir die Dinge kurz und bündig als Matrixgleichung schreiben:

$$\dot{X} = -i\,\omega \, X;\quad i\stackrel{def}{=}\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\text{ and } X = \left(\begin{array}{c}x\\v\end{array}\right)\tag{1}$$

deren eindeutige Lösung die Matrixgleichung ist$X = \exp(-i\,\omega\,t)\,X(0)$. Hier$\exp$ist die Exponentialmatrix. Beachten Sie auch, dass als reelle Koeffizientenmatrix$i^2=-\mathrm{id}$. Nun, Sie wissen vielleicht, dass eine absolut gute Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen, die folgende ist: das Feld$(\mathbb{C},\,+,\,\ast)$ist isomorph zum Kommutativkörper von Matrizen der Form:

$$\left(\begin{array}{cc}x&-y\\y&x\end{array}\right);\quad x,\,y\in\mathbb{R}\tag{2}$$

zusammen mit Matrixmultiplikation und -addition. Für Matrizen dieser speziellen Form ist die Matrizenmultiplikation kommutativ (obwohl es natürlich nicht allgemein so ist) und der Isomorphismus wird durch die Bijektion gezeigt

$$z\in\mathbb{C}\;\leftrightarrow\,\left(\begin{array}{cc}\mathrm{Re}(z)&-\mathrm{Im}(z)\\\mathrm{Im}(z)&\mathrm{Re}(z)\end{array}\right)\tag{3}$$

Also, wenn wir jetzt lassen$Z$sei ein$2\times2$Matrix dieser Form, dann können wir (1) lösen, indem wir den Zustandsvektor abbilden$X = \left(\begin{array}{c}x\\v\end{array}\right)$bijektiv zum$2\times 2$Matrix$Z = \left(\begin{array}{cc}x&-v\\v&x\end{array}\right)$, Lösung der Gleichung$\dot{Z} = -i\,\omega\,Z$, dh $Z(t) = \exp(-i\,\omega\,t)\,Z(0)$, Wo$Z(0)$ist der$2\times 2$Matrix der Form (2) mit den korrekten Werten von$x(0)$Und$v(0)$die die Randbedingungen erfüllen, und dann nur die erste Spalte des Ergebnisses nehmen$2\times 2$Matrixlösung$Z(t)$zu bekommen$X(t)$.

Dies entspricht genau der komplexen Notationsmethode, die Sie verwendet haben, wie Sie hoffentlich sehen werden, wenn Sie das Obige ein wenig untersuchen. Die Phasenwinkel werden durch die Phase der kodiert$2\times2$Matrix$Z$, gedacht als komplexe Zahl durch den oben beschriebenen Isomorphismus.

Außerdem gibt es hier einige schöne Physik. Betrachten Sie die quadratische Norm des Zustandsvektors$X$; es ist$E = \frac{1}{2}\,\langle X,\,X\rangle = \frac{1}{2}(x^2 + v^2)$und das können Sie sofort aus (1) ableiten

$$\dot{E} = \langle X,\,\dot{X}\rangle = X^T\,\dot{X} = -\omega\,X^T \,i\, X = 0\tag{4}$$

Dies hat zwei Interpretationen. Zuerst,$E$ist die Gesamtenergie des Systems, aufgeteilt in potentielle Energie$\frac{1}{2}\,x^2$und kinetisch$\frac{1}{2}\,v^2$. Zweitens zeigt (4), dass der Zustandsvektor, geschrieben als kartesische Komponenten, dem Kreis folgt$x^2+v^2=2\,E$und tatsächlich ist diese Bewegung eine gleichmäßige kreisförmige Bewegung$\omega$Radianten pro Zeiteinheit. Diese einfache harmonische Bewegung ist also die Bewegung einer beliebigen kartesischen Komponente einer gleichförmigen Kreisbewegung.

Sie könnten das Problem auch lösen, indem Sie mit (1) beginnen, (4) ableiten und dann die Substitution vornehmen

$$x=\sqrt{2\,E}\,\cos(\theta(t));\quad\, v=\sqrt{2\,E}\,\sin(\theta(t))\tag{5}$$

was durch das Denkmalschutzgesetz bestätigt wird$x^2+v^2=2\,E$mit$\dot{E}=0$. Dann ersetzen$x$zurück in die ursprüngliche SHM-Gleichung, um dies abzuleiten

$$\theta(t) = \pm\omega\,t+\theta(0)\tag{6}$$

Der einfachste Einblick in eine Differentialgleichung wie

$$\ddot{x}+ a\dot{x}=- b x$$ ist zu beachten, dass die linke Seite Ihnen die Ableitungen der Funktion anzeigt $x(t)$muss ein Vielfaches dieser Funktion sein, da die rechte Seite proportional zu ist $x(t)$.

Was sind denn die (einfachen) Funktionen, die bei Differentiation ein Vielfaches von sich zurückgeben? Da ist nur$Ae^{\lambda t}$(mit$\lambda$Und$A\ne 0$Konstanten) oder die triviale Funktion$x=$Konstante. Keine andere Funktion gibt unter Differenzierung ein Vielfaches von sich selbst zurück.

Es folgt dem$x$muss die Form haben$x=Ae^{\lambda t}$. Wenn Sie dies in die Differentialgleichung einsetzen, wandeln Sie das Problem vom Finden der Funktion zum Finden der Konstanten um$\lambda$Und$A$.

Tatsächlich erhalten wir die Hilfsgleichung$\lambda^2+a\lambda=-b$mit dem Faktor$A$abbrechen.$\lambda$kann dann durch Lösen der Quadrate gefunden werden. Da es (normalerweise) zwei Wurzeln gibt$\lambda_\pm$die allgemeine Lösung wird sein

$$x(t)=A_+e^{\lambda_+ t}+A_-e^{\lambda_-t}\, .$$ Denn die Stellung $x(t)$eine reelle Zahl ist, muss es sein, dass die Konstante $A_\pm$, die durch die Anfangsbedingungen des Problems bestimmt werden, verbinden sich zu reellen Funktionen; wenn die Wurzeln $\lambda_\pm$Imaginäre Teile haben, muss es sein, dass bei Verwendung des Satzes von Euler $x(t)$nimmt die Gestalt an $$x(t)=e^{-\gamma t}\left(B_+\cos(\omega t)+B_-\sin(\omega t)\right)$$ Hier $-\gamma$ist der Realteil und $\omega$ist der Imaginärteil von $\lambda_\pm=-\gamma\pm i\omega$.

Das gleiche Argument gilt, wenn$a=0$: Welche Funktionen sind so, dass ihre zweiten Ableitungen ein Vielfaches von sich selbst sind? Nochmal$e^{\pm\lambda t}$aber jetzt auch$\sin(\omega t)$Und$\cos(\omega)$. Ersteres verwandelt sich in ein positives Vielfaches von sich selbst und die beiden letzteren in negative Vielfache von sich selbst. So können Sie die Form der Lösung aus dem Vorzeichen von spezialisieren$b$in der Differentialgleichung. Für reine harmonische Bewegung,$b=\sqrt{\omega}>0$.

Wie Sie erraten haben, gibt es also eine Redundanz in den Methoden. Ein wenig Einblick in das Verhalten von Funktionen unter Differenzierung, kombiniert mit einigen physikalischen Anforderungen, reicht aus, um die Form der Lösung schnell zu isolieren, wobei unbekannte Koeffizienten mit Ihrem spezifischen Problem abgeglichen werden müssen.

Da alle drei mehr oder weniger gleichwertig sind, verwenden Sie, was immer Sie für richtig halten; Einige sind jedoch je nach Situation nützlicher als andere.

Komplexe Exponentiale zu verwenden und am Ende den Realteil zu nehmen, ist nützlich, wenn Sie kompliziertere Probleme lösen, z. B. in erzwungenen einfachen harmonischen Schwingungen mit Dämpfung:

$$\ddot x +\gamma \dot x+\omega_0^2x=\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$$

Wir streben eine Steady-State-Lösung an. In der komplexen Ebene lautet die Bewegungsgleichung

$$\ddot{\widetilde{x}} +\gamma \dot{\widetilde{x}} +\omega_0^2{\widetilde{x}}=\frac{F_0}{m}e^{i\omega t}$$

Wir lösen, indem wir die Versuchslösung einsetzen

$${\widetilde{x}}=Ae^{i(\omega t + \phi)}$$

Das ist eine komplexe Lösung, und wir würden bis zum Ende warten (nachdem alle Differenzierungen und Ersetzungen vorgenommen wurden), um den Realteil zu nehmen, um die physikalische Lösung zu erhalten.

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Aber für einfachere Situationen wie

$$\ddot x +\omega ^2x=0$$

Es ist absolut in Ordnung, Methode 1 zu verwenden:

$$x=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$

Aber es muss zumindest eine physikalische Bedeutung haben, dies in den verschiedenen Methoden anzugehen, und ich wäre dankbar, wenn jemand es erklären könnte.

Es gibt viele Probleme, die mit (scheinbar) unterschiedlichen mathematischen Werkzeugen gelöst werden können. Es ist ein Fehler zu glauben, dass diese unterschiedlichen Ansätze eine unterschiedliche Bedeutung haben.

Sie versuchen, mehr als nötig in den Prozess einzulesen.

Mathematisch erhalten Sie das gleiche Ergebnis, unabhängig davon, welchen Ansatz Sie wählen. Die drei Ergebnisse sind verschiedene Formen desselben Ausdrucks.

Jede Bedeutung ergibt sich aus dem Kontext, in dem Ihr Ergebnis verwendet wird.

Bei manchen Problemen sind die Begriffe Phase, Frequenz und Amplitude sinnvoller. In manchen Kontexten ist die Phase nicht unbedingt hilfreich, aber die Form, die eine Überlagerung von zwei Funktionen ist, ist nützlicher. In manchen Situationen würde die Verwendung komplexer Formulare praktischen Notwendigkeiten einfach im Wege stehen.

Es gibt keine feste Regel, was funktioniert, und die Verwendung dieses speziellen Problems ist insofern irreführend, als echte Probleme selten so sauber funktionieren. Bei der Suche nach Näherungslösungen für einige Probleme kann es wichtig sein, die erwartete Form der Lösung in eine im Kontext des Problems sinnvolle Form zu gießen. Dies ist eine Art Kunst und wird mit Übung und Vertrautheit mit dem spezifischen Problem natürlicher.