Warum ist die Wellengleichung so allgegenwärtig?

Die homogene Wellengleichung kann in kovarianter Form ausgedrückt werden als

◻ 2 φ = 0

wo ◻ 2 ist der D'Alembert-Operator und φ ist ein physikalisches Feld .

Die Schallwellengleichung nimmt diese Form an.

Der klassische Elektromagnetismus wird durch die inhomogene Wellengleichung beschrieben

◻ 2 EIN μ = J μ

wo EIN μ ist das elektromagnetische Vierpotential und J μ ist der elektromagnetische Vierstrom .

Die relativistische Wärmeleitung wird durch die relativistische Fourier-Gleichung beschrieben

( ◻ 2 − a − 1 ∂ t ) θ = 0

wo θ ist das Temperaturfeld und a ist die Temperaturleitfähigkeit .

Die Entwicklung eines quantenskalaren Feldes wird durch die Klein-Gordon-Gleichung beschrieben

( ◻ 2 + μ 2 ) ψ = 0

wo μ ist die Masse und ψ ist die Wellenfunktion des Feldes.

Warum sind die Wellengleichung und ihre Varianten in der Physik so allgegenwärtig? Mein Gefühl ist, dass es etwas mit den Lagrange -Operatoren dieser physikalischen Systeme und den Lösungen der entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen zu tun hat . Es könnte auch damit zu tun haben, dass hyperbolische partielle Differentialgleichungen im Gegensatz zu elliptischen und parabolischen eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit haben.

Sind diese Intuitionen richtig? Gibt es einen tieferen Grund für diese Verbreitung?

EDIT: Mir ist gerade etwas eingefallen. Könnte die Allgegenwart der Wellengleichung etwas damit zu tun haben, dass Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion harmonische Funktionen sind ? Bedeutet dies, dass die Felder, die durch die Wellengleichung beschrieben werden, lediglich die realen und imaginären Komponenten eines grundlegenderen, komplexeren Feldes sind, das analytisch ist?

EDIT 2: Diese Frage könnte relevant sein: Warum sind Differentialgleichungen für Felder in der Physik der Ordnung zwei?

Außerdem: Warum gehen Differentialgleichungen der Physik nicht über die zweite Ordnung hinaus?

In einem sehr realen Sinne entwickelt die Natur nur hyperbolische Gleichungen; Elliptische und parabolische Gleichungen sind das, was wir erhalten, wenn wir verschiedene Annäherungen machen, die die Frage von "wie entwickelt sich das?" zu "was entwickelt sich daraus?" oder "Wie entwickelt sich das ungefähr?" Aber selbst dann ist die Wellengleichung nicht die einzige hyperbolische Gleichung da draußen. Naturschutzgesetze (bspw ∇ μ T μ v = 0 ) erzeugen auf natürliche Weise hyperbolische Systeme erster Ordnung.

Antworten (1)

Dies ist die Antwort eines Experimentalforschers, der seit 1968 Daten mit mathematischen Modellen anpasst.

Beim Anpassen von Daten geht man zu den einfachsten mathematischen Modellen. Wenn die Daten Schwankungen in Zeit und Raum anzeigen, ist die Fourier-Entwicklung äußerst nützlich, da sie die Frequenzen und Amplituden liefert, die zu einem periodischen Datensatz passen. Als Lösungen erhält man Sinus und Cosinus und die reinsten Differentialgleichungen sind die Wellendifferentialgleichungen.

Auf einer sehr vereinfachten Ebene sind Wellengleichungen allgegenwärtig, ähnlich wie die Allgegenwart des harmonischen Oszillatorpotentials: Der erste Term in geraden Potentialen ist das harmonische Oszillatorpotential. Die Stringtheorie zum Beispiel verwendet dies, und jetzt geht man in die M-Theorie und vielleicht höhere "Terme / Funktionen" über die Idee der Periodizität von Dimensionen ein.

Also scheint mir das KISS-Prinzip (keep it simple stupid :) ) am Werk zu sein. Schließlich werden physikalische Theorien „erfunden“, um Observablen anzupassen und neue Beobachtungen vorherzusagen, und Einfachheit ist eine Faustregel in der Physik.

Der Schlüsselteil hier ist die Tatsache, dass die meisten physikalischen Systeme nahe dem Gleichgewicht harmonisch sind. Das ist wirklich alles, was dazu gehört.
@DanielSank ja, ähnlich der niedrigsten Ordnung bei der Erweiterung eines geraden Potentials, das das harmonische Oszillatorpotential ist
Einige dieser Wellengleichungen scheinen jedoch grundlegend zu sein und nicht nur Annäherungen, wie zum Beispiel die Klein-Gordon-Gleichung oder die kovariante Potentialgleichung für den klassischen Elektromagnetismus. Würde das nicht darauf hindeuten, dass hier etwas Tieferes vor sich geht?
Die Klein-Gordon-Gleichung kann als Gaußscher Fixpunkt eines RG-Flusses betrachtet werden .
Ich denke, das OP fragt nicht, warum die Leute immer wieder Versionen der Wellengleichung ausprobieren, ich denke, es ist eher, warum es weiter funktioniert. KISS bezieht sich auf menschliches Verhalten , nicht unbedingt auf das Verhalten der physikalischen Systeme , das von Menschen beobachtet (oder nicht) wird .
@uhoh Das Anpassen von Kurven an Daten ist menschliches Verhalten. Wenn das Modell prädiktiv ist, wird es validiert und es wird angenommen, dass es auch dann gilt, wenn niemand es beobachtet. Darüber hinaus beschäftigt man sich mit Metaphysik, nicht mit Physik. Existierst du, wenn ich deinen Kommentar nicht anschaue?
Viele, wenn nicht die meisten Beispiele für Phänomene, die mit verschiedenen Formen der Wellengleichung in der Frage erklärt werden können, beinhalten nicht wirklich ein harmonisches Oszillatorpotential, aber ich denke, Sie haben dies nur als Beispiel für die Allgegenwart erwähnt. Ich würde auch gerne wissen: „ Warum sind die Wellengleichung und ihre Varianten in der Physik so allgegenwärtig? “ Was Ihre Frage angeht, ich bin mir wirklich nicht so sicher, dass ich existiere, nie gewesen bin. Aber wenn ich mich bei Stackexchange anmelde und Dinge sehe, von denen ich ziemlich sicher bin, dass ich sie geschrieben habe, gibt mir das Vertrauen, dass ich es tun könnte!
@uhoh, ja, der harmonische Oszillator erscheint praktisch in allen Annäherungen an quantenmechanische Potentiale, und es ist hervorzuheben, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass die meisten Potentiale in Raumkoordinaten symmetrisch sind. Natürlich, wenn man kann, kann man nach der vollen potentiellen Funktion lösen.
Warum ist die Wellengleichung so allgegenwärtig?
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