Warum können alle Lösungen der einfachen harmonischen Bewegungsgleichung in Form von Sinus und Cosinus geschrieben werden?

Dies folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen , der besagt, dass für eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung Ordnung gilt$n$, es gibt höchstens$n$linear unabhängige Lösungen.

Das Ergebnis davon ist, dass, wenn Sie eine ODE zweiter Ordnung haben (wie zum Beispiel die für den harmonischen Oszillator) und Sie mit allen Mitteln, die Ihnen einfallen, zwei linear unabhängige Lösungen konstruieren können, dann sind Sie es garantiert, dass jede Lösung der Gleichung eine Linearkombination Ihrer beiden Lösungen ist.

Somit ist es völlig egal, wie Sie zu dem Vorschlag kommen$\sin(\omega t)$Und$\cos(\omega t)$als prospektive Lösungen: alles, was Sie tun müssen, ist

1. überprüfen Sie, ob es sich um Lösungen handelt, dh stecken Sie sie einfach in die Ableitungen und prüfen Sie, ob das Ergebnis identisch Null ist; Und
2. Überprüfen Sie, ob sie linear unabhängig sind.

Sobald Sie das getan haben, werden die Details darüber, wie Sie Ihre Lösungen erstellt haben, völlig irrelevant. Aus diesem Grund bezeichne ich (und viele andere) dies allgemein als die Methode der göttlichen Inspiration: Ich kann Ihnen nur sagen, dass die Lösung in einem Traum zu mir kam, überreicht von einer fliegenden Masse von Spaghetti, und$-$egal wie gekünstelt oder aufwändig die Lösung aussieht$-$Wenn es die beiden oben genannten Kriterien erfüllt, ist die Tatsache, dass es die Lösung ist, kugelsicher, und es bedarf keiner weiteren Erklärung, wie es gebaut wurde.

Wenn dieser Rahmen unklar oder ungewohnt ist, dann sollten Sie sich mit einem einführenden Lehrbuch zu Differentialgleichungen hinsetzen. Es gibt einen beträchtlichen Hintergrund, der diese Art von Dingen klarer macht und der einfach nicht in das Format dieser Site passt.

Wie können wir so klar annehmen, dass es nur sin oder cosinus sein sollte

Es ist buchstäblich nur eine Vermutung. Das sind offensichtliche Lösungen, die leicht überprüft werden können, und wenn es sich um so einfache Funktionen handelt, werden Sie sie bald nur noch bemerken können. Es ist ähnlich, wenn Sie eine Gleichung wie haben$f'(x)=K\times f(x)$, Sie sehen nur , dass die Lösungen Exponentiale sind. Danach weißt du das für eine Differentialgleichung wie$f^{(n)}(x)=Kf(x)$Sie können bis zu haben$n$Lösungen, sodass Ihnen bei der Betrachtung von Sinus und Cosinus nichts entgeht.

Es ist eine nette Idee, keine Zeit/Mühe/Raum zu verschwenden, um solche Gleichungen formal zu lösen, wenn die Lösungen kanonisch sind.

Dies sind alles gute und richtige Antworten, aber ich werde aus einer anderen Perspektive antworten.

Beliebige lineare Differentialgleichung des Grades$n$hat$n$linear unabhängige Lösungen, dh. diese$n$Lösungen spannen einen Vektorraum auf, wobei Lösungsmengen eine Basis bilden.

Für einfache harmonische Bewegungen lautet die Differentialgleichung:

Wie in anderen Antworten angegeben, kann man die Lösungen als lineare Kombinationen von annehmen$\sin(\omega t)$Und$\cos(\omega t)$, oder man könnte nehmen$\exp(i\omega t)$Und$\exp(-i\omega t)$. Dies sind beide Sätze von linear unabhängigen Funktionen, und beide Paare lösen die Gleichung, aber sie sind nicht die gleichen Funktionen – sie sind zwei verschiedene Sätze von Basisfunktionen .

Um von einem Lösungssatz zu einem anderen zu gelangen, muss man die Basis ändern.

Eine Möglichkeit zur Ableitung ist die Verwendung von Taylor-Reihen (obwohl dies, um ganz streng zu sein, eine weitere Begründung für die Beschränkung auf analytische Funktionen erfordert). Wir haben das$f(x) = \sum a_n x^t$, So$f''(t)=\sum (n+1)(n+2)a_{n+2}t^n$. Wenn$f''(t)=-\frac k m f(t)$, Dann$(n+1)(n+2)a_{n+2} = -\frac k m a_n$, So$a_{n+2} = \frac {-k a_n}{(n+1)(n+2)m}$. So$a_0$bestimmt$a_2$, die bestimmt$a_4$, usw. und$a_1$bestimmt$a_3$was bestimmt$a_5$, usw. Da alle geraden Terme linear vom 0. Term abhängen und nicht von den ungeraden Termen abhängen und umgekehrt für die ungeraden Terme, können wir eine Lösung finden$f_0$indem$a_0=1, a_1=0$Und$f_1$aus$a_0=0, a_1=1$, und alle Lösungen werden eine Linearkombination von sein$f_0$Und$f_1$. Und wenn Sie herausfinden, was diese Lösungen sind, entsprechen sie Kosinus bzw. Sinus.

Sie können auch zu Sinus und Cosinus gelangen, indem Sie nehmen$f(t)=e^{at}$. Dann$f''(t)=a^2e^{at}$, also wenn$f'' = -\frac km f$, Dann$a^2= -\frac km$. Dies führt zu den beiden Lösungen$a = \pm i\sqrt{\frac km}$. Keine Wurzel gibt eine echte Lösung, aber$f(x) = \frac 12 (e^{ct} + e^{-ct})$Und$f(x) = \frac 1{2i} (e^{ct} - e^{-ct})$, Wo$c = i\sqrt{\frac km}$, Tun. Diese entsprechen Cosinus und Sinus.