Stimmt es, dass auf die Feder bei ihrer positiven maximalen Amplitude mehr Kraft wirkt als bei der negativen?

Die Gleichgewichtslage ist in diesem Fall nicht dort, wo die Feder nicht gespannt ist, sondern tatsächlich um a gespannt ist$\Delta x$Menge mit$F_{spring}(0) = k\Delta x$.

Die Federkraft an Punkt A ist also etwas kleiner als an Punkt -A, da$F_{spring}(A) = -k(A-\Delta x)$Und$F_{spring}(-A) = k(A+\Delta x)$so kompensiert es die "zusätzliche" Kraft.

Das muss man in dieser Gleichgewichtsposition merken

$F_{spring} - mg = 0$,

So

$F_{spring} = k\Delta x = mg$

mit

$\Delta x = mg/k$.

Einwechseln

$F_{net}(A) = F_{spring}(A) - mg = -k(A-\Delta x) - mg = -k(A - \frac{mg}{k}) - mg = -kA$

das gleiche gilt für die Position -A

$F_{net}(-A) = F_{spring}(-A) - mg = -k(-A-\Delta x) - mg = -k(-A-\frac{mg}{k}) - mg = kA$

Nach dem Hookeschen Gesetz ist die Kraft linear mit dem Abstand. Die Einbeziehung der Schwerkraft bedeutet nur, dass sich die Gleichgewichtsposition der Feder geändert hat, die "Null", um die sie schwingt. Die Gewichtskraft wird bereits durch die Feder kompensiert. Somit ist die Größe der Kraft gleich$-A$Und$+A$.

Bearbeiten: Wenn die Schwerkraft auf die Masse an der Feder berücksichtigt wird, verlängert sich die Feder. Dadurch ergibt sich eine neue Equillibirum-Position$x'_0 = x_0 + \Delta x = x_0 + \frac{m g}{k}$. Da die Kraft (in Hookes Regime) immer linear mit dem Abstand ist, können Sie die Gravitationskraft einfach vernachlässigen, da sie durch die Feder kompensiert wird. Es ist eine einfache Überlagerung von Kräften.

Die Antwort ist nein. Die Nettokraft an den maximalen Dehnungspunkten hat die gleiche Größe. Denn der Ruhepunkt der Feder wird durch das Gravitationsgewicht der Masse verändert. Die Masse schwingt um diesen neuen Ruhepunkt, und an den Punkten maximaler Amplitude ist die Nettokraft dieselbe. Man merkt, dass die Gravitationskraft "herausintegriert" werden kann.

Um dies genauer zu sehen, betrachten Sie die Nettokraft auf die Masse, die in diesem Fall die Summe aus der elastischen Kraft und der Gravitationskraft (die konstant ist) ist:

$$F=mg- k (x-x_0)$$ Wo $x_0$ist die Ruhelage der Feder (ohne Masse). Jetzt können Sie die Ruheposition berechnen $x_0'$der Feder einschließlich der Wirkung der Gravitation, die als der Punkt definiert ist, wo $F=0$. Das erhalten Sie also an der Stelle $x=x_0'$du hast $$0=mg- k (x_0'-x_0)\Rightarrow x_0'=x_0+mg/k$$ Was passiert nun, wenn man die Koordinaten ändert? $$F=mg- k (x-x_0)=mg- k [x-(x_0'-mg/k)]=mg- k [x-x_0']-mg=-k(x-x_0')$$ was bedeutet, wenn man die Verschiebung in Bezug auf den neuen Ruhepunkt betrachtet $x_0'$, die Kraft ist einfach gegeben durch $$F=-k(x-x_0')$$ Nun ist leicht zu erkennen, dass die Nettokraft an den beiden Punkten maximaler Dehnung die gleiche Größe, aber entgegengesetztes Vorzeichen hat.

Bearbeiten: Betrachten Sie die maximale Dehnung$A$, die in Bezug auf den neuen Ruhepunkt gemessen wird$x_0'$. Man kann die von mir durchgeführte Transformation umkehren und die Nettokraft erhalten$x-x'_0=\pm A$(dh,$x=x'_0\pm A$) Ist

$$F=mg- k (x'_0\pm A-x_0)=\mp k(x-x_0')$$ Beachten Sie, dass die Nettokraft die gleiche Größe hat, aber die Dehnung der Feder in Bezug auf den ursprünglichen Ruhepunkt $x_0$(ohne Berücksichtigung der Masse $m$) ist nicht dasselbe, aber es ist $(x'_0-x_0\pm A)$.