Warum wirkt sich die Erdbeschleunigung ggg nicht auf die Periode einer vertikal montierten Feder aus?

Die Wirkung der Schwerkraft besteht nur darin, den Gleichgewichtspunkt zu verschieben, sodass im Gleichgewicht (im Ruhezustand) eine vertikale Feder im Vergleich zu derselben Feder in horizontaler Position gedehnt wird. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Periode.

Die Gleichung für die Dynamik der Feder lautet$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx+mg$. Sie können die Variable ändern$x$Zu$x'=x+mg/k$und bekomme$m\frac{d^2x'}{dt^2}=-kx'$. Die Dynamik entspricht also der der Feder mit gleicher Konstante, aber mit um eine Strecke verschobenem Gleichgewichtspunkt$mg/k$

Aktualisieren:

wenn Sie ersetzen$x$in dir gleichung hast du$x=x'-mg/k$also bekommst du$m\frac{d^2(x'-mg/k)}{dt^2}=-k(x'-mg/k)+mg$

Auf der linken Seite haben Sie$m\frac{d^2(x'-mg/k)}{dt^2}=m\frac{d^2x'}{dt^2}$weil die Ableitung einer Konstanten ($mg/k$) ist Null, und auf der rechten Seite erhalten Sie$-kx'$nach dem verteilen.

Schau dir einfach die Bewegungsgleichung an.

Angenommen, Sie hängen eine Feder von der Decke und sie hängt in einiger Entfernung$y_0$von der Decke im Gleichgewicht (wir richten unsere Achse so aus, dass positiv$y$zeigt nach unten). Dann lautet die Bewegungsgleichung

Die Schwingungsdauer hängt von der Rückstellkraft und der Trägheit (Masse) ab, die schwingt.

Die Schwerkraft ist eine konstante Kraft. Wenn sich die Masse in ihrer Gleichgewichtslage befindet, wird diese Kraft durch die Federkraft ausgeglichen. Wenn sich die Masse aus dem Gleichgewicht bewegt, ändert sich die Schwerkraft nicht, nur die Federkraft ändert sich. Die Rückstellkraft wird nur durch die Federkraft bewirkt.

Obwohl die Schwerkraft die Gleichgewichtsdehnung beeinflusst, ist sie nicht die Rückstellkraft und beeinflusst daher nicht die Schwingungsdauer einer Masse an einer Feder.

Die Schwerkraft beeinflusst jedoch die Periode eines Pendels. Die Gravitationskraft auf die Pendelmasse ist konstant und unabhängig von der Verschiebung, aber das Moment dieser Kraft, das bewirkt, dass sich die Pendelschnur zurück in Richtung der Gleichgewichtsposition dreht, ist nicht konstant. Sie nimmt mit der Winkelverschiebung zu. Das Rückstellmoment (Drehmoment) hängt von der Schwerkraft ab, also beeinflusst die Schwerkraft die Periode eines Pendels.

Wenn wir ein Federpendel aufhängen, dann ist die Nettokraft auf dieses Pendel Null, das heißt, eine Kraft ist die Schwerkraft und eine andere Kraft ist gegen die Schwerkraft. Wir können also festlegen, dass das Pendel im Gleichgewicht ist, weil die Nettokraft jetzt Null ist, wenn wir eine äußere Kraft auf es anwenden Pendel, dann wird es um eine gewisse Verschiebung verschoben und SHM beginnt.

Ich habe diese Antwort nicht gesehen, also würde ich sie der Vollständigkeit halber einschließen.

Die drei Basisparameter, die hier am Werk sind, sind Masse mit Einheit$\text{kg}$, Erdbeschleunigung mit Einheit$\text{m}/\text{s}^2$, und eine Federkonstante mit Einheit$\text{kg}/\text{s}^2$.

Die Dimensionsanalyse besagt, dass Sie einer beliebigen mathematischen Funktion nur einen Ausdruck zuführen können, der keine Einheiten hat; Sie finden alle Möglichkeiten, Ihre Basisparameter zu einheitenlosen Parametern zu kombinieren$\beta_{1,2,\dots}$und dann muss jede andere Größe, die Sie berechnen möchten, die Form annehmen$\alpha~f(\beta_1,\beta_2,\dots)$im Allgemeinen, wo$\alpha$ist eine Kombination der ursprünglichen Parameter, die die richtigen Einheiten hat.

Es gibt also keine Möglichkeit, irgendwelche interessanten einheitenlosen Parameter oben zusammenzustellen$f$muss eine Konstante sein, und die nur mal muss alles als ausdrückbar sein$f~\sqrt{m/k}$für eine konstante einheitslose Zahl$f$. Alles andere hätte einfach keine Zeiteinheiten oder würde eine willkürliche Funktion eines einheitstragenden Parameters annehmen.

Um das Problem ein wenig grundsätzlicher zu behandeln: Wir wissen nicht, ob die Schwerkraft einen Einfluss auf die Periode hat oder nicht. Natürlich macht es für jede getestete Situation keinen Unterschied, aber das "Äquivalenzprinzip" wurde nicht in jedem Regime getestet, es gibt immer noch einen kleinen Spielraum. Im Wesentlichen haben wir keinen Beweis dafür, dass das „m“ in F=ma das gleiche „m“ ist wie das in G=m1m2/r^2, daher ist es möglich, dass Objekte mit unterschiedlicher Masse auf (sehr leicht) fallen könnten . unterschiedliche Beschleunigungen in einem gegebenen Gravitationsfeld.

Das ist "echte" Physik, aber am Rande, also zitiere das nicht in einer Klausur ;)