Schneller als kritische Dämpfung für harmonischen Oszillator?

Lass uns nehmen$k=1$der Einfachheit halber. Dann unsere Funktion$f(t)$als Lösung der Gleichung

$$\ddot f=-f-c \dot f,$$ $$f(0)=1,$$ $$\dot f(0)=0$$

wird aussehen wie:

$$f(t)=e^{-\frac{ct}2}\left(\cos\left(\frac12\sqrt{4-c^2}t\right)+\frac{c\sin\left(\frac12\sqrt{4-c^2}t\right)}{\sqrt{4-c^2}}\right).$$

Eine kritisch gedämpfte Version davon ist, wenn wir Limit nehmen$c\to2$:

$$f_c(t)=e^{-t}(t+1).$$

Lass uns jetzt vergleichen$f(t)$mit$f_c(t)$bei unendlich. Für$c>2$wir haben

$$\lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{f_c(t)}=\infty,$$

dh eine Überdämpfung macht das Erreichen der Ruhelage auf Dauer unendlich langsamer ^* .

Jetzt für$0<c<2$wir haben:

$$0<\sqrt{4-c^2}<2;$$

und der Begriff

$$\frac{c\sin\left(\frac12\sqrt{4-c^2}t\right)}{\sqrt{4-c^2}}$$

wird mit einer gewissen Amplitude oszillieren, die als unendlich geht$c\to2$.

Vergleicht man nun den verbleibenden Faktor von$e^{-\frac{ct}2}$mit$f_c(t)$gibt

$$\lim_{t\to\infty}e^{t-\frac{ct}2}(t+1)=\lim_{t\to\infty}e^{\left(1-\frac{c}2\right)t}(t+1)=\infty,$$

als$1-\frac{c}2>0$. Eine Unterdämpfung verlangsamt also auch längerfristig den Übergangsprozess.

Unterm Strich also: Nein, besser als kritische Dämpfung kann man das Erreichen der Ruhelage nicht beschleunigen.

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_{* Diese Grenze habe ich in Mathematica gefunden. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es richtig ist, da ich mir auch die Funktion der Zeit und angesehen habe$c$, aber zögern Sie nicht, bei Bedarf nachzufragen.}