Interpretieren der physikalischen Bedeutung von Normalmodi

Was ist eigentlich ein normaler Modus? Vielleicht liegt es an meinen Lehrern, aber ich finde es sehr abstrakt. Ich weiß, dass "numerisch" den Eigenvektoren der Gleichung entspricht X ¨ = − M − 1 K X mit der Lösung der Form A e − ich w T bereits angeschlossen, aber was ist überhaupt die physikalische Bedeutung dieser Eigenvektoren? Ist es die Amplitude des Systems im Normalmodus? Und (hier geht's) was bedeutet es, sich in einem normalen Modus zu befinden?

Ich schätze Ihre Antwort im Voraus.

Hast du einen Kontext? Ich könnte ein Beispiel geben, wie Normalschwingungen in der Chemie verwendet werden, um Molekülschwingungen zu beschreiben. Aber das wäre sinnlos, wenn Sie sich hauptsächlich für die allgemeine Mathematik interessieren.
@HansWurst Ich interessiere mich nicht für die Mathematik selbst, ich möchte verstehen, was die Mathematik bedeutet

Antworten (3)

In einem normalen Modus schwingen alle Teile des Systems mit einer einzigen Frequenz. Wenn wir die Positionen der Objekte als Spaltenvektor schreiben X , können die (linearisierten ungedämpften ungetriebenen) gekoppelten Differentialgleichungen im Allgemeinen geschrieben werden als

X ¨ = M X
Wo M repräsentiert die Koeffizienten. Um nach den Normalmoden aufzulösen, müssen wir annehmen, dass die Frequenz ist ω , also ersetzen wir X = A e ich ω T zu bekommen
− ω 2 A = M A
das ist das gesuchte Eigenwertproblem. Daher können wir sehen, dass die Eigenwerte − ω 2 stellen die reinen Frequenzen der Normalmoden dar, während die Eigenvektoren A die relativen Amplituden jedes Objekts darstellen.

Dies ist völlig analog zur gewöhnlichen Differentialgleichung X ¨ = − ω 2 X für einen einzelnen Oszillator. Die allgemeine Lösung ist dann eine Linearkombination der Normalmoden.

Was macht diese Frequenzen besonders? Sind normale Moden nichts anderes als einfachere Lösungen, um die allgemeine Lösung abzuleiten?
@arpg Nein, die normalen Modi sind keine "einfacheren Lösungen". Sie sind grundlegend. Sie müssen die gleiche Lösung erhalten, unabhängig davon, wie Sie die Differentialgleichungen lösen. Bei kleinen Systemen (mit nur zwei oder drei Objekten) können Sie versuchen, sie zu lösen, indem Sie Linearkombinationen der Gleichungen finden, die eine einfache harmonische Bewegung ergeben, anstatt die Eigenvektormethode zu verwenden.

Stellen Sie sich eine Kette vor, die aus einer Reihe von Federn mit etwas Masse besteht M befindet sich zwischen jeder Feder und der nächsten.

Nehmen wir nun an, Sie wackeln dieses System in einer komplizierten wackeligen Bewegung (kein normaler Modus). Alle Massen bewegen sich um unterschiedliche Beträge und in einer komplizierten Bewegung auf und ab. Wenn Sie die durch die Bewegung erzeugten Schallwellen hören könnten, würde es wie Lärm klingen.

Nehmen wir stattdessen an, dass Sie sorgfältig arrangieren, dass eine der Massen streng periodisch auf und ab geht: nur eine Frequenz, nur eine „Note“, wenn Sie sie hören könnten. Die benachbarten Massen nehmen diese Bewegung ebenfalls auf, und dann die benachbarten usw. Die Bewegung im gesamten System wird für eine Weile kompliziert bleiben, aber schließlich kann sie sich in einem Muster niederlassen, in dem alle Massen auf und ab gehen die gleiche Frequenz. Sie müssen nicht in Phase sein: Einige können steigen, während andere fallen, aber diese Phasendifferenz wird zeitlich konstant sein. Sie müssen auch nicht die gleiche Amplitude haben: Einige können mehr auf und ab gehen als andere. Wenn Sie sich das System ansehen, sieht es so aus, als hätte es eine stehende Welle, bei der alle Bewegungen genau die gleiche Frequenz haben und sich immer wieder wiederholen.

Diese Art der Bewegung wird als „Schwingungsmodus“ oder kurz „Modus“ bezeichnet. Wenn Sie ohne Dämpfung keine externe Kraft aufbringen müssen, weil das System durchgehend nur mit einer einzigen Frequenz schwingt, dann spricht man von einem „Normalmodus“.

Für jeden gegebenen Satz von Federn und Massen kann die Normalmodusbewegung nur bei einer Frequenz aus einem diskreten Satz von Frequenzen stattfinden (das sagen Ihnen die Eigenwerte). Und jede Normalmode hat ihre eigene charakteristische Form der Verschiebungen entlang des Systems (das sagen Ihnen die Eigenvektoren).

Ich habe über Federn und Massen gesprochen, aber das Konzept ist allgemeiner und findet in der Physik eine ziemlich weit verbreitete Anwendung, so ziemlich immer dann, wenn etwas komplizierter ist als ein einzelnes Teilchen und einer Art Schwingbewegung unterliegen kann.

"Die Bewegung im Normalmodus kann nur bei einer Frequenz aus einem diskreten Satz von Frequenzen stattfinden" - und wenn Sie stattdessen eine der Massen mit einer Frequenz oszillieren lassen, die nicht in diesem Satz enthalten ist, erhalten Sie einen evaneszenten Modus mit dem Höhepunkt bei dieser Masse . Dieser abklingende Exponent ist die Hüllkurve des (im Raum) häufigeren Schwingungsmusters.
"Diese Art von Bewegung (...)" könnten Sie bitte etwas genauer werden? Was braucht es, physikalisch, nicht in der mathematischen Welt, um ein normaler Modus zu sein - wenn wir irgendwie jedes Objekt jedes Systems mit der gleichen Frequenz vibrieren lassen, wäre das ein normaler Modus, ist es das, worum es geht?
@arpg versuchen Sie, in Google oder ähnlichem nach "GIF im Normalmodus" zu suchen, und verwenden Sie die Registerkarte "Bild", und durchsuchen Sie sie nach Belieben, z .

Nachdem ich kürzlich an dieser Frage von mir vorbeigegangen bin, dachte ich, ich sollte sie beantworten, da ich es jetzt kann.

Normalmodi ist ein ziemlich schönes Konzept – @Andrew Steane hat es mir fast beantwortet – aber im Grunde haben Sie diese superkomplizierte Bewegung, oder es könnte eine Welle sein, aber die Idee ist, dass es etwas wirklich Komplexes und Kompliziertes ist, und die Prämisse ist Sie können diese Bewegung tatsächlich nachbilden, indem Sie wirklich einfache Bewegungen überlagern.

Wenn wir beispielsweise von einem 1-D-gekoppelten Oszillator sprechen, der ziemlich komplexe Bewegungen zur Analyse erzeugen kann, können Sie ihn tatsächlich in zwei einfache Bewegungen zerlegen, und die komplexe Bewegung wird eine Art Überlappung dieser sein zwei einfache Bewegungen. Diese beiden einfachen Bewegungen werden als normale Modi bezeichnet.

Die Idee ist bei Vektoren genau gleich, man kann jeden noch so komplizierten Vektor mit den Basisvektoren darstellen. Normalmodi funktionieren als Basisvektoren (tatsächlich sind sie, wenn sie richtig normalisiert sind, dasselbe) – Sie können sie zusammenfassen, um die superkomplizierte Bewegung nachzubilden, die passiert.

Die Visualisierung des Hinzufügens einfacher Bewegungen, die letztendlich die eigentliche Bewegung ergeben, ist nicht leicht vorstellbar, aber um mich davon zu überzeugen, dass Bewegungen tatsächlich zusammengefasst werden können, denke ich gerne in zwei einfache Bewegungen, zum Beispiel einen 1-D-Oszillator, der mit einem bestimmten vibriert Frequenz (sozusagen in eine bestimmte Richtung) und die andere einfache Bewegung wäre der gleiche 1-D-Oszillator, der mit der gleichen Frequenz, aber mit einem Phasenunterschied von vibriert π (mit anderen Worten, es vibriert sozusagen in die entgegengesetzte Richtung des ersten Satzes). Es ist sinnvoll, dass, wenn wir diese beiden einfachen Bewegungen hinzufügen (mit gleichem Beitrag jeder Bewegung), der Gesamteffekt wäre, dass der 1-D-Oszillator in Ruhe wäre, da sich die einfachen Bewegungen gegenseitig aufheben. Es macht also Sinn, dass wir andere Bewegungen erzeugen können, indem wir andere Bewegungen summieren.

Ich hoffe, meine Antwort konnte Ihnen helfen, die Intuition hinter den normalen Modi zu verstehen, etwas, das damals für mich schwer zu verstehen war.

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