Eigenwertgleichung für kinetische und potentielle Energie

Auf der Oberseite der Abbildung haben wir$\:n+1\:$ideale Federn u$\:n\:$Teilchen im Gleichgewicht. Die Konstanten der Federn sind$\:k_{\rho}\: (\rho=1,2,\cdots, n+1) \:$mit Gleichgewichtslängen$\:\ell_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n+1 )\:$und die Teilchenmassen$\:m_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n)$. Stört das System aus diesem Gleichgewicht die Bewegungsgleichung des Teilchens$\:m_{\rho}\:$Ist

$$\begin{equation} m_{\rho}\ddot{x}_{\rho} =-k_{\rho}\left(x_{\rho}-x_{\rho-1} \right)+k_{\rho+1}\left(x_{\rho+1}-x_{\rho} \right) \tag{01} \end{equation}$$

Wo$\:x_{\rho}(t)\:$die Verschiebung dieses Teilchens aus seiner Gleichgewichtslage, siehe in der Mitte der obigen Abbildung. Legen wir fest$\:x_{0}(t)=0\:$Und$\:x_{n+1}(t)=0\:$für die extremen Fixpunkte A bzw. B.

Gleichung (01) kann geschrieben werden als

$$\begin{equation} m_{\rho}\ddot{x}_{\rho}-k_{\rho}x_{\rho-1} +\left(k_{\rho}+k_{\rho+1} \right)x_{\rho}-k_{\rho+1}x_{\rho+1}=0 \tag{02} \end{equation}$$

oder

$$\begin{equation} \mathrm{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{K}\mathbf{x}=0 \tag{03} \end{equation}$$

Wo

$$\begin{equation} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \tag{04} \end{equation}$$

$\:\mathrm{M}\:$Die$\:n \times n\:$diagonale Matrix

$$\begin{equation} \mathrm{M}= \begin{bmatrix} m_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & m_{2} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_{3} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & m_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & m_{n} \end{bmatrix} \tag{05} \end{equation}$$ Und$\:\mathrm{K}\:$Die$\:n \times n\:$Tridiagonale symmetrische Matrix

$$\begin{equation} \mathrm{K}= \begin{bmatrix} (k_{1}+k_{2}) & -k_{2} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3} & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -k_{3} & (k_{3}+k_{4}) & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & (k_{n-1}+k_{n}) & -k_{n} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -k_{n} & (k_{n}+k_{n+1}) \end{bmatrix} \tag{06} \end{equation}$$

Gleichung (03) liefert

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\left(\mathrm{M}^{-1}\mathrm{K}\right)\mathbf{x}=0 \tag{08} \end{equation}$$

oder

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{S}\mathbf{x}=0, \qquad \mathrm{S}\equiv \mathrm{M}^{-1}\mathrm{K} \tag{09} \end{equation}$$

Wenn jetzt$\:\mathrm{S}=\mathrm{M}^{-1}\mathrm{K}\:$ist mit Eigenwerten diagonalisierbar$\:\lambda_{\rho}\:(\rho=1,2,\cdots, n)$Und$\:\mathrm{P}\:$eine invertierbare Matrix, die es dann diagonalisiert

$$\begin{equation} \mathrm{P}^{-1}\mathrm{S} \mathrm{P} = \rm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \tag{10} \end{equation}$$ Definieren $$\begin{equation} \mathbf{y}\equiv\mathrm{P}^{-1}\mathbf{x} \tag{11} \end{equation}$$ und Multiplizieren von (09) mit$\:\mathrm{P}^{-1}\:$, wir haben $$\begin{equation} \ddot{\mathbf{y}}+\left(\mathrm{P}^{-1}\mathrm{S} \mathrm{P}\right)\mathbf{y}=0 \tag{12} \end{equation}$$

das ist$\:n \:$ unabhängige Differentialgleichungen

$$\begin{equation} \ddot{y}_{\rho}+\lambda_{\rho}y_{\rho}=0, \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{13} \end{equation}$$ Beachten Sie, dass das innere Produkt von (03) mit der "Geschwindigkeit"$\:n-$Vektor$\:\dot{\mathbf{x}} \:$ $$\begin{equation} \dot{\mathbf{x}}= \begin{bmatrix} \dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\\ \dot{x}_{3}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n-1}\\ \dot{x}_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \tag{14} \end{equation}$$

wir haben

$$\begin{equation} \langle\mathrm{M}\ddot{\mathbf{x}},\dot{\mathbf{x}}\rangle+\langle\mathrm{K}\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}\rangle=0 \tag{15} \end{equation}$$

das ist die Energieerhaltungsgleichung

$$\begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d}t }\left[\frac12\langle\mathrm{M}\dot{\mathbf{x}},\dot{\mathbf{x}}\rangle+\frac12\langle\mathrm{K}\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle\right]=0 \tag{16} \end{equation}$$

im Zusammenhang mit der Frage.

Für den Spezialfall einer gemeinsamen Federkonstante$\:k_{\rho}=k \: (\rho=1,2,\cdots, n+1) \:$und gemeinsame Teilchenmasse$\:m_{\rho}=m \: (\rho=1,2,\cdots, n) \:$, Gleichung (08) ergibt

$$\begin{equation} \ddot{\mathbf{x}}+\omega_{o}^{2}\,\mathrm{\Xi}\,\mathbf{x}=0 \tag{17} \end{equation}$$

Wo

$$\begin{equation} \omega_{o}\equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}}= \textrm{fundamental frequency} \tag{18} \end{equation}$$

Und$\:\mathrm{\Xi}\:$die folgende$\:n \times n\:$tridiagonale symmetrische Matrix (ein Sonderfall der sogenannten Toeplitz-Matrizen)

$$\begin{equation} \mathrm{\Xi}= \begin{bmatrix} 2& -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2& \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1& 2 \end{bmatrix} \tag{19} \end{equation}$$ mit reellen positiven Eigenwerten

$$\begin{equation} \xi_{\rho}= 4\sin^{2}\left[ \rho\dfrac{\pi}{2(n+1)} \right]=2\Bigg(1-\cos\left[ \rho\dfrac{\pi}{(n+1)} \right]\Bigg), \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{20} \end{equation}$$

und Eigenvektoren ⁽¹⁾ $\:\mathbf{e}_{\rho}\:$mit$\:\sigma-$Komponente

$$\begin{equation} \left(\mathbf{e}_{\rho} \right)_{\sigma}=\sqrt{\dfrac{2}{n+1}}\sin\left( \rho \sigma \dfrac{\pi}{n+1} \right) , \quad \rho,\sigma=1,2,\cdots, n \tag{21} \end{equation}$$ In diesem Spezialfall ist das System unabhängiger Gleichungen (13).

$$\begin{equation} \ddot{y}_{\rho}+\left(\xi_{\rho}\omega_{o}^{2}\right)y_{\rho}=0, \quad \rho=1,2,\cdots, n \tag{22} \end{equation}$$

das ist :

Die Bewegung eines Systems von$\:n\:$Teilchen gleicher Masse$\:m\:$verbunden über$\:n+1\:$ideale Federn gleicher Konstante$\:k\:$, siehe Abbildung oben, ist die Überlagerung von$\:n\:$unabhängige harmonische Schwingungen mit Frequenzen

$$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\omega_\rho=\sqrt{\xi_{\rho}}\omega_o=2\omega_o \sin\left[\rho\dfrac{\pi}{2(n+1)} \right],\:\:\omega_{o}\equiv \sqrt{\dfrac{k}{m}} , \:\: \rho=1,2,\cdots,n-1,n \tag{23} \end{equation}$$ wie in der Abbildung unten gezeigt.

^{(1) Beliebig$\:n \times n\:$tridiagonale symmetrische Toeplitz-Matrix hat die gleichen Eigenvektoren !!!}

BEARBEITEN

Für andere allgemeinere Fälle ist unten ein nützlicher Satz aus "Matrix Theory" von Joel N. Franklin unverändert angegeben:

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Satz Let$\:\mathrm{M}\:$Und$\:\mathrm{K}\:$Sei$\:n \times n\:$Hermitesche Matrizen. Wenn$\:\mathrm{M}\:$positiv definit, dann gibt es a$\:n \times n\:$Matrix$\:\mathrm{C}\:$wofür

$$\begin{equation} \mathrm{C}^{*}\mathrm{M}\mathrm{C}=\mathrm{I} \quad \textrm{and} \quad \mathrm{C}^{*}\mathrm{K}\mathrm{C}=\Lambda= \rm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \tag{t-17} \end{equation}$$

Die Zahlen$\:\lambda_{j}\:$sind real. Wenn$\:\mathrm{K}\:$ist positiv definit, die$\:\lambda_{j}\:$sind positiv. Der$\:\lambda_{j}\:$verallgemeinerte Eigenwerte erfüllen

$$\begin{equation} \mathrm{K}\,c^{j}=\lambda_{j}\,\mathrm{M}\,c^{j}, \quad c^{j}\ne 0 \quad (j=1,\cdots, n) \tag{t-18} \end{equation}$$

Wenn$\:\mathrm{K}\:$Und$\:\mathrm{M}\:$reell sind, dann eine reelle Matrix$\:\mathrm{C}\:$, mit Spalten$\:c^{j}\:$, kann als zufriedenstellend empfunden werden (t-17) und (t-18).

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