Bewegung geladener Teilchen in em-Wellen

Sie können das Problem in zwei Regime aufteilen: (nicht relativistisch) wo die Geschwindigkeit geladener Teilchen ist$\ll c$und die Lösung ist einfach, siehe unten. (relativistisch) wobei die nicht-relativistische Annahme nicht gemacht werden kann und die Lösung ziemlich schwierig ist.

Nicht relativistisch. Das sagen wir

$$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}).$$ Aber für eine ebene Welle im Vakuum wissen wir das $B = E/c$und so kann der zweite Term auf der rechten Seite ignoriert werden.

Also zum Beispiel, wenn Sie eine ebene Welle haben, die sich mit Amplitude entlang der x-Achse bewegt$E_0$und Frequenz$\omega$:

$$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = qE_0 \sin (\omega t - kx) \vec{j},$$ wobei ich mich dafür entschieden habe, die Welle entlang der y-Achse zu polarisieren und das B-Feld entlang der z-Achse.

Wenn wir jetzt annehmen, dass das geladene Teilchen in Ruhe und am Ursprung beginnt, dann haben wir durch zweimalige Integration

$$\vec{r} = \frac{q E_0}{m \omega} \left( t - \frac{\sin \omega t}{\omega} \right) \vec{j}.$$

Es gibt eine Oszillation zweiter Ordnung in der$x$Richtung, mit der doppelten Frequenz, aber mit einer viel kleineren Amplitude.

Relativistisch. Viel härter.

Die vier Beschleunigungskomponenten sind:

$$m \ddot{x} = -q\dot{y} B_0 \sin \omega t$$ $$m \ddot{y} = q( \dot{x}B_0 \sin \omega t + \dot{t} E_0 \sin \omega t)$$ $$m \ddot{z} = 0$$ $$m \ddot{t} = \frac{q \dot{y}}{c}E_0 \sin \omega t$$ wo die Ableitungen hier in Bezug auf die Eigenzeit sind $\tau$und die Beziehung zwischen Eigenzeit und Koordinatenzeit $t$Ist $$d\tau = dt \left[ 1 - \frac{1}{c^2}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right) \right]^2 \right]^{1/2}$$

Wie Sie vielleicht erwarten, sind die Ergebnisse der Integration dieser unordentlich. Das Ganze wird in Kruger & Bovyn (1976) durchgegangen und die Ergebnisse als Funktionen von ausgedrückt$\tau$und die Zyklotronfrequenz$\Omega = eB_0/m$(Gleichungen 12a-d in dieser Literaturstelle geben allgemeine Ausdrücke für eine Erregung durch eine ebene Welle). Die Ergebnisse können jedoch als Reihenentwicklung von Frequenzharmonischen ausgedrückt werden$\omega^*$, Wo$\omega^*$bezieht sich auf$\omega$durch eine Dopplerverschiebung (siehe S. 1844 der Arbeit) - das heißt, die Schwingungen können nicht mehr als auf einer einzigen Frequenz liegend betrachtet werden und finden in beiden statt$x$Und$y$Richtungen.

Die Lorentzkraft, die auf ein freies geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld wirkt${\bf E},{\bf B}$Ist${\bf F} = q({\bf E} + {\bf v}\times{\bf B})$und wenn Sie nicht-relativistische Mechanik verwenden, müssen Sie die Gleichung lösen

$$m\frac{d {\bf v}}{dt} = q({\bf E} + {\bf v}\times{\bf B})$$ mit (aus Ihrer Frage nehme ich an, Sie meinen eine ebene Welle, die sich in der bewegt $z$Richtung) $${\bf E}= E_0{\bf i} sin(\omega t + kz), {{\bf B}= B_0{\bf j} sin(\omega t + kz)}$$

(Es kann einfacher sein, die komplexe Form für das em-Feld beizubehalten, dh zu ersetzen$\sin$von$e^{i(\omega t + k z)}$?). Bei einer ebenen Welle besteht eine Beziehung zwischen den Amplituden$E_0, B_0$Normalerweise ist der Term der magnetischen Kraft jedoch viel kleiner als der Term der elektrischen Kraft (wenn Sie von einer nichtrelativistischen Mechanik ausgehen, ist dies sicherlich der Fall).

Um das Problem zu lösen${\bf v}$Sie benötigen die Anfangsbedingungen. Im einfachsten Fall liegt die Ladung bei$t = 0$ruht zunächst am Ursprung Ich vermute, dass es einfacher sein könnte, nach einer numerischen Lösung zu suchen: Wenn die Ladung ruht, spürt sie die Kraft des elektrischen Felds, das sie in die Richtung bewegt${\bf i}$und dann drückt die Magnetkraft es in die Richtung${\bf i}\times{\bf j} = {\bf k}$so dass Sie die Variation mit der Entfernung der ebenen Welle berücksichtigen müssen.

PS: Beachten Sie, dass es nicht nur nicht relativistisch ist, sondern auch die Ladung ignoriert (da es beschleunigt) und auch Energie ausstrahlt.