Warum sind Differentialgleichungen für Felder in der Physik von Ordnung zwei?

Zunächst einmal stimmt es nicht, dass alle wichtigen Differentialgleichungen in der Physik zweiter Ordnung sind. Die Dirac-Gleichung ist erster Ordnung.

Die Anzahl der Ableitungen in den Gleichungen ist gleich der Anzahl der Ableitungen im entsprechenden relevanten Term der Lagrange-Funktion. Diese kinetischen Terme haben die Form

Für Bosonen, die einen ganzzahligen Spin haben, gibt es jedoch nichts dergleichen$\gamma_\mu$auf sie einwirken. Also muss die Lorentz-Invarianz, also das Verschwinden der Lorentz-Indizes in den Termen mit Ableitungen erreicht werden, indem man eine gerade Anzahl von ihnen hat, wie in

Sie sind tatsächlich auch in den Gleichungen vorhanden. Aber ihre Koeffizienten sind Potenzen einer mikroskopischen Skala oder Entfernungsskala$L$– weil der Ursprung dieser Begriffe Kurzstreckenphänomene sind. Jedes Mal, wenn Sie ein Derivat hinzufügen$\partial_\mu$zu einem Begriff müssen Sie hinzufügen$L$auch, um die Einheiten des Begriffs nicht zu ändern. Folglich sind die Koeffizienten von Termen höherer Ableitung positive Potenzen von$L$was bedeutet, dass diese Koeffizienten einschließlich der Ableitungen, wenn sie auf eine typische makroskopische Situation angewendet werden, von Ordnung sind$(L/R)^k$wo$1/R^k$kommt von den zusätzlichen Derivaten$\partial_\mu^k$und$R$ist eine Entfernungsskala des makroskopischen Problems, das wir hier lösen (die typische Skala, bei der sich das Feld um etwa 100 Prozent ändert).

Folglich können die Koeffizienten mit höheren Ableitungen in allen klassischen Grenzen vernachlässigt werden. Sie sind da, aber sie sind vernachlässigbar. Einstein glaubte, dass man "schöne" Gleichungen ohne die Terme höherer Ableitungen konstruieren sollte, und er konnte als Ergebnis die richtigen Niedrigenergie-Näherungsgleichungen erraten. Aber er hat sich geirrt: Die höheren Ableitungsterme fehlen nicht wirklich.

Warum stoßen wir nun nicht auf Gleichungen, deren Ableitungsterme niedrigster Ordnung fehlen? Das liegt daran, dass ihr Koeffizient im Lagrangian genau null sein müsste, aber es gibt keinen Grund dafür, dass er null ist. Es ist also unendlich unwahrscheinlich, dass der Koeffizient Null ist. Es ist zwangsläufig ungleich Null. Dieses Prinzip ist als anarchisches (oder totalitäres) Prinzip von Gell-Mann bekannt: Alles, was nicht verboten ist, ist obligatorisch.

Man kann jede pde jeder Ordnung als ein System von pde erster Ordnung umschreiben, daher ist die Annahme hinter der Frage etwas fragwürdig. Es gibt auch physikalisch relevante PDEs erster Ordnung (Dirac-Gleichung, Burgers-Gleichung, um nur zwei zu nennen).

Es ist jedoch üblich, dass Größen in der Physik in konjugierten Paaren von Potentialfeldern und ihrer zugehörigen Feldstärke auftreten, die durch den Potentialgradienten definiert sind. Nun wirken die Gradienten der Feldstärke als verallgemeinerte Kräfte, die versuchen, das System in einen Gleichgewichtszustand zu bringen, bei dem diese Gradienten verschwinden. (Sie werden nur gelingen, wenn genügend Reibung und keine äußere Kraft vorhanden ist.)

In einer Formulierung, in der nur eine Hälfte jedes konjugierten Paares in den Gleichungen explizit ist, ergibt sich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Zum Beispiel haben wir in der Hamiltonschen Formulierung der konservativen Mechanik

Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf Systeme, die ein Wirkprinzip haben. (Für fundamentale und quantenmechanische Systeme ist dies oft der Fall.) Lassen Sie uns die Frage von OP wie folgt umformulieren:

Warum haben die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen für ein relativistisches (nicht-relativistisches) System jeweils höchstens zwei Raum-Zeit-Ableitungen (Zeit-Ableitungen)?

(Hier hängt die genaue Anzahl der Ableitungen davon ab, ob man die Lagrange- oder die Hamilton-Formulierung betrachtet, die über die Legendre-Transformation miteinander verbunden sind . Im Falle einer singulären Legendre-Transformation sollte man die Dirac-Bergmann- oder die Faddeev-Jackiw- Methode verwenden, um zurückzugehen und her zwischen den beiden Formalismen. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.)

Antworten:

Die Terme höherer Ableitungen werden in bestimmten Theorien aus Dimensionsgründen durch die natürlichen Skalen des Problems unterdrückt. Dies kann zB in renormierbaren Theorien vorkommen.

Aber die allgemeine Antwort ist, dass die Bewegungsgleichungen eigentlich nicht geordnet sein müssen$\leq 2$.

Wenn jedoch für eine generische Quantentheorie höherer Ordnung Terme höherer Ableitung nicht natürlich unterdrückt werden, führt dies typischerweise zu Geistern des sogenannten schlechten Typs mit falschem Vorzeichen des kinetischen Terms, negativen Normzuständen und Verletzung der Einheitlichkeit.

Auf der naiven Ebene können explizite Erscheinungen höherer Zeitableitungen in Formeln entfernt werden, indem mehr Variablen eingeführt werden, entweder über die Ostrogradsky-Methode oder äquivalent über die Lagrange-Multiplikatormethode . Das Positivitätsproblem wird jedoch aufgrund der Ostrogradsky -Instabilität durch solche Umschreibungen nicht behoben, und das Quantensystem bleibt schlecht definiert. Siehe auch zB diese und diese Phys.SE-Antwort.

Daher kann man Theorien höherer Ordnung oft keinen konsistenten Sinn geben, und dies kann der Grund sein, warum OP ihnen selten gegenübersteht.

Lassen Sie uns abschließend erwähnen, dass es heutzutage populär ist, effektive Feldtheorie höherer Ableitungen zu studieren , mit der möglicherweise unbegründeten Hoffnung, dass eine zugrunde liegende, angeblich wohldefinierte, einheitliche Beschreibung, zB die Stringtheorie, alle Pathologien heilen wird.

Der Grund dafür, dass physikalische Gleichungen höchstens zweiter Ordnung sind, liegt an der sogenannten Ostrogradskischen Instabilität. (siehe Artikel von Woodard ). Dies ist ein Satz, der besagt, dass Bewegungsgleichungen mit Ableitungen höherer Ordnung prinzipiell instabil bzw. nichtlokal sind. Dies lässt sich leicht mit dem Lagrange- und dem Hamilton-Formalismus zeigen.

Der entscheidende Punkt ist, dass wir, um eine Bewegungsgleichung dritter Ordnung in den Ableitungen zu erhalten, eine Lagrange-Funktion benötigen, die von den Koordinaten und den verallgemeinerten Geschwindigkeiten und Beschleunigungen abhängt:$L(q,\dot{q},\ddot{q})$. Indem wir eine Legendre-Transformation durchführen, um den Hamilton-Operator zu erhalten, impliziert dies, dass wir zwei verallgemeinerte Impulse benötigen. Der Hamiltonoperator ist in mindestens einem der Impulse linear und daher nach unten unbeschränkt (er kann negativ werden). Dies entspricht einem Phasenraum, in dem es keine stabilen Umlaufbahnen gibt.

Ich würde gerne den Beweis hier schreiben, aber er wurde in diesem Beitrag bereits beantwortet . Da stellt sich die Frage, warum Lagrange-Operatoren nur eine Ableitung haben, die aber eigentlich eng verwandt ist, da man die Bewegungsgleichungen immer aus einem Lagrange-Operator finden kann und umgekehrt.

Zitat von Woodard ( https://arxiv.org/pdf/hep-th/0207191v1.pdf ): „Es scheint mir seit langem, dass die Ostrogradskische Instabilität die stärkste und am wenigsten anerkannte grundlegende Einschränkung der Lagrangeschen Feldtheorie ist. Es schließt weitaus mehr Lagrange-Kandidaten aus als jedes Symmetrieprinzip Theoretische Physiker mögen es nicht, wenn ihnen gesagt wird, dass sie etwas nicht tun können, und ein so unverblümtes No-Go-Theorem provoziert sie dazu, sich gewundene Ausweichmanöver ins Auge zu fassen ... Die Ostrogradskische Instabilität sollte nicht überraschen. Es erklärt, warum Jedes einzelne System, das wir bisher beobachtet haben, scheint auf der fundamentalen Ebene durch einen lokalen Lagrange-Operator beschrieben zu werden, der keine höheren Ableitungen als die der ersten Zeit enthält. Das Bizarre und Unglaubliche wäre, wenn diese Tatsache einfach ein Zufall wäre.

Tatsächlich sind Evolutionsgleichungen sogar mehr als nur Zeit zweiter Ordnung: Sie hängen nicht naiv von der Ableitung erster Ordnung ab, dh von der "Geschwindigkeit". Dies kann leicht als die Tatsache verstanden werden, dass es keine privilegierten Inertialsysteme gibt. Die Änderung (das heißt, was absolut ist) ist durch Beschleunigung und nicht durch Geschwindigkeit gegeben. Wenn es naiv von einigen Geschwindigkeitsbedingungen abhängen würde, würde dies implizieren, dass es einen privilegierten Rahmen gibt.

Machen wir eine Analogie zur Newtonschen Mechanik. Wenn wir in einem Aristoteles-Universum mit privilegiertem Bezugsrahmen leben würden, dann$F = mv$. Die Bewegung wäre also absolut, ebenso die Geschwindigkeit. Da es keinen solchen privilegierten Bezugsrahmen gibt, sondern eine ganze Klasse von Privilegierten (die Inertialen),$F = ma$. Warum kann es nicht sein, dass wir in einem Universum leben, wo$F = m \dot a$? Einfach wegen der galiläischen Prinzipien.

Wenn Sie glauben, dass Beschleunigung und Geschwindigkeiten "aufhebbar" sind und dass die tatsächliche Änderung durch die Ableitung der Beschleunigung gegeben ist, müssen Sie an ein Galileisches Prinzip zweiter Ordnung von Invarianz und Trägheit glauben. Das Invarianzprinzip zweiter Ordnung würde Ihnen sagen, dass die Gesetze der Physik in allen Trägheitsrahmen und allen gleichmäßig beschleunigten Rahmen gleich sein müssen, andernfalls würde es bedeuten, dass es eine Möglichkeit gibt, sie zu unterscheiden, und daher keine Äquivalenz zwischen ihnen besteht Trägheit oder gleichmäßig beschleunigt werden. Dies bedeutet insbesondere, dass, wenn Sie sich in einem dieser Rahmen befinden und Sie jemanden sehen, der in Bezug auf Ihren gleichmäßig beschleunigt wird$x$Achse, das heißt$x_1(t) = gt^2/2$, und Sie sehen auch jemanden, der in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt wird, das heißt,$x_2(t) = -gt^2/2$, dann aus der Sicht von$x_2$, wird das erste Objekt durch beschrieben$x_2(t) = g t^2$. Dies impliziert, dass Sie Objekte mit beliebig hoher Beschleunigung sehen können, und dies ohne die Notwendigkeit, "Energie" zu verbrauchen.

Dies ist nicht das, was wir in diesem Universum beobachten, Sie beschleunigen ein Objekt nicht gleichmäßig "umsonst". Es sieht also so aus, als hätte die Natur gewählt, so einfach wie möglich zu sein, um eine Symmetrie zwischen allen Trägheitssystemen aufrechtzuerhalten: ihre zweite Ordnung in der Zeit, nicht die dritte oder noch schlimmer. Beachten Sie, dass man sagen könnte, dass es Machian ist, das heißt, dass es bis zu jeder Beschleunigungsordnung symmetrisch ist. Dies würde implizieren, dass es überhaupt keinen Unterschied zwischen Rotation und Trägheit gibt. Das heißt, wenn ich mir einen Typen anschaue, der sich mit einem Ball in seinen Händen dreht, der ihn schließlich loslässt, macht der Ball dann eine spiralförmige Bewegung und seine Winkelgeschwindigkeit nimmt weiter zu, je weiter er sich von dem Typen entfernt wer es gestartet hat (tatsächlich muss letzterer sehen, dass es nach dem Galileo-Trägheitsprinzip in eine gerade Linie geht).

Warum hängt dann die Schrödinger-Gleichung von der Zeit erster Ordnung ab? Weil es eine Modalgleichung ist: Sie braucht einen Beobachter, um Sinn zu machen und Messungen vorzunehmen. Daher gibt es eine Schrödinger-Gleichung pro Beobachter (der Hamilton-Operator hängt vom Beobachter und dem System ab, das er betrachtet, siehe die relationalen Interpretationen). Zumindest ist das meine Interpretation davon.

Zunächst einmal stimmt es nicht, dass alle wichtigen Differentialgleichungen in der Physik zweiter Ordnung sind. Die Dirac-Gleichung ist erster Ordnung.

Das ist richtig. Physikalische Evolutionsgleichungen sind jedoch hyperbolische Gleichungen zweiter (zeitlicher) Ordnung. Tatsächlich folgt jede Komponente des Dirac-Spinors einer Gleichung zweiter Ordnung, nämlich der Klein-Gordon-Gleichung.

Was ist nun mit den Termen in den Gleichungen mit vierten oder höheren Ableitungen?

Sie sind tatsächlich auch in den Gleichungen vorhanden.

Weder die Lagrange-Funktion des Standardmodells (SM) noch die Einstein-Hilbert-Wirkung (EH) enthalten zeitliche Ableitungen höherer Ordnung als zweiter Ordnung. Dies sind die Aktionen, die experimentell getestet werden, und diese beiden Theorien sind die grundlegendsten wissenschaftlichen Theorien, die wir haben. Wir wissen, dass es Physik jenseits dieser beiden Theorien gibt, und Menschen haben gute Kandidaten für die zugrunde liegenden Theorien, aber Physik ist eine experimentelle Wissenschaft, und diese Theorien werden nicht experimentell verifiziert. Der effektive SM-Lagrangian (eine Lorentz-Invariantentheorie mit den Eichsymmetrien des SM, aber mit irrelevanten Operatoren) enthält zeitliche Ableitungen höherer als zweiter Ordnung. Gleiches gilt für die EH-Aktion plus Skalare höherer Ordnung. Zwei Klarstellungen sind jedoch angebracht:

• Diese irrelevanten Begriffe werden nicht experimentell verifiziert. Fast jeder ist sich sicher, dass Neutrinomassenterme (die irrelevante Operatoren sind, aber keine Ableitungen höherer Ordnung enthalten) existieren, um Neutrinooszillationen zu erklären, aber bisher haben wir keine direkten Messungen von Neutrinomassen, daher dürfen wir diese nicht behaupten Begriffe existieren. Zusammenfassend: Der effektive SM ist keine verifizierte Theorie.

• Der Ursprung dieser irrelevanten Terme ist eine Folge der Integration von Feldern mit einer Masse, die viel größer ist als die uns interessierende Energieskala. Dies könnte der Fall des Neutrino-Massenterms und eines rechtshändigen Neutrinos sein. Wenn man sich beispielsweise in der Quantenelektrodynamik für die Physik bei viel niedrigeren Energien als der Elektronenmasse interessiert, kann man das Elektronenfeld aus dem Elektronenfeld integrieren (oder die Natur integriert heraus), wodurch man eine effektive Lagrange-Funktion (Euler-Heisenberg-Lagrange) mit Termen erhält Derivate höherer Ordnung wie$\frac{\alpha ^2}{m_e^4}~F_{\mu\nu}~F^{\mu\nu}~F_{\rho\sigma}~F^{\rho\sigma}$(das vier Ableitungen enthält). Dies sind Terme, die durch Kopplungskonstanten ($\alpha$) und Hochenergiewaagen ($m_e$). Es gibt Terme mit beliebig vielen Ableitungen, die aus Inversen von Differentialoperatoren stammen . Dadurch gehen die Ableitungen höherer Ordnung nicht in die Bewegungsgleichung nullter Ordnung ein.

In einer fundamentalen Theorie (im Gegensatz zu einer effektiven) sind endliche Ableitungen höherer Ordnung in interaktiven Theorien nicht erlaubt (es gibt einige Ausnahmen bei Eichfeldern, aber zum Beispiel eine generische$f(R)$Gravitationstheorie widersprüchlich). Der Grund dafür ist, dass diese Theorien nicht von unten begrenzt sind (siehe Warum gibt es in der Lagrange-Funktion nur Ableitungen zur ersten Ordnung? ) oder in einigen Quantisierungen negative Normzustände enthalten. Diese Begriffe gehören zu den verbotenen Operatoren im totalitären Prinzip von Gell-Mann.

Zusammenfassend sind Evolutionsgleichungen aufgrund der Existenz eines normierbaren Vakuumzustands und der Einheitlichkeit (einschließlich der Tatsache, dass physikalische Zustände eine positive Norm haben müssen) Ordnung zwei. Newton hatte recht, als er schrieb

Weinberg gibt darauf in Band 1 seines QFT-Opus eine ziemlich gute Antwort: Differentialgleichungen 2. Ordnung tauchen in den für die Teilchenphysik relevanten Feldtheorien wegen der relativistischen Masse-Schale-Bedingung auf$p^2 = m^2$.

Wenn wir ein Quantenfeld haben$\phi$, und wir denken an seine Fourier-Modi$\phi(p)$als Teilchen mit 4-Impuls erzeugen$p$, dann stellt die Mass-Shell-Bedingung eine Einschränkung bereit:$(p^2 - m^2)\phi(p) = 0$, weil wir keine Partikelerstellung außerhalb der Shell wollen. Fourier-transformieren Sie dies zurück in den Positionsraum, und Sie finden das$\phi$muss einer Differentialgleichung 2. Ordnung gehorchen.

Gelegentlich tauchen Differentialgleichungen höherer Ordnung auf: Die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen, das die Abraham-Lorentz-Kraft erfährt, sind dritter Ordnung. (Um fair zu sein, ist dies ein großer Teil des Grundes, warum viele Physiker das Konzept der Abraham-Lorentz-Kraft nicht mögen!)

Es wurde bereits in anderen Antworten darauf hingewiesen, dass Felder in der Physik nicht immer durch partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung (PDEs) geregelt werden. Es wurde zB gesagt, dass die Dirac-Gleichung eine PDE erster Ordnung ist. Die Dirac-Gleichung ist jedoch ein System von PDEs für vier komplexe Funktionen - Komponenten des Dirac-Spinors. Es wurde auch erwähnt, dass jede PDE einem System von PDEs erster Ordnung entspricht.

Ich habe bereits erwähnt, dass die Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld im Allgemeinen einer partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung für nur eine komplexe Komponente entspricht, wobei diese Komponente auch durch eine Eichtransformation (http://akhmeteli.org/wp-content /uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (mein Artikel veröffentlicht im Journal of Mathematical Physics) oder http://arxiv.org/abs/1008.4828 ). Lassen Sie mich auch meinen Artikel http://arxiv.org/pdf/1111.4630.pdf erwähnen , in dem gezeigt wird, dass die Gleichungen der Spinor-Elektrodynamik (die Dirac-Maxwell-Elektrodynamik) im Allgemeinen einem System von PDEs dritter Ordnung entsprechen komplexes Vierer-Potenzial des elektromagnetischen Feldes (erzeugt das gleiche elektromagnetische Feld wie das übliche reelle Vierer-Potenzial des elektromagnetischen Feldes).

(Kommentar als Antwort hinzufügen)

Tatsächlich kann die gesamte klassische Mechanik (und Quantenmechanik) nur mit Ableitungen 1. Ordnung formuliert werden (mit dem Aufwand, zusätzliche Dimensionen hinzuzufügen, dh Phasenraum, Hamiltonscher Formalismus).

Dies ergibt in der Tat eine dynamische Beschreibung eines physikalischen Systems. Außerdem kann jede beliebige Ordnung von Differentialgleichungen auf die gleiche Weise in 1. Ordnung umgewandelt werden.

Die nichtlineare Dynamik (dh die Chaostheorie) macht in ihren Studien nur starken Gebrauch von dynamischen Gesetzen 1. Ordnung.

Das Hinzufügen weiterer Befehle zu dynamischen Gesetzen erfordert das Hinzufügen weiterer Informationen (Anfangsbedingungen) und lässt sich in den meisten Fällen nicht mehr explizit oder algorithmisch lösen.

Darüber hinaus bieten dynamische Gesetze erster Ordnung (mindestens) gute Annäherungen oder sogar eine vollständige Abdeckung der dynamischen Entwicklung eines untersuchten Systems

Wellengleichung zweiter Ordnung kann faktorisiert werden, zwei Wellengleichungen 1. Ordnung (Einweg-Wellengleichung) resultieren. Wellengleichungen zweiter Ordnung sind in Bezug auf die Wellenausbreitungsrichtung aufgrund der quadratischen Wellengeschwindigkeit mehrdeutig, während Einweg-Wellengleichungen eine vordefinierte Ausbreitungsrichtung haben. Wellengleichung zweiter Ordnung bzw. "Zweiwege-Wellengleichung" beschreibt eher ein stehendes Wellenfeld.

https://en.wikipedia.org/wiki/One-way_wave_equation#:~:text=A%20one%2Dway%20wave%20equation,propagating%20wave%20travelling%20in%20a

Etwas spät zur Party, aber lassen Sie mich den vorherigen Antworten etwas hinzufügen.

Der Hauptgrund dürfte in der Tat die bereits erwähnte Ostrogradsky-Instabilität sein. Aber es gibt andere.

In stochastischen Differentialgleichungen begegnen wir häufig der Fokker-Planck-Gleichung, während eine Beschreibung mit einer Gleichung höherer Ordnung auch aus der Kramers-Moyal-Entwicklung gewonnen werden kann. Ein Grund für das Abschneiden der Entwicklung nach dem Term zweiter Ordnung ist das Pawula-Theorem: Die Entwicklung endet nach dem zweiten Term oder hat unendlich viele Terme. Wenn Sie eine solche Erweiterung nach einer endlichen Anzahl von Termen abschneiden, kann das Lösen der resultierenden Gleichung negative Wahrscheinlichkeitsdichten ergeben. (siehe das klassische Buch von Risken!) Pawula nennt dies eine „logische Inkonsistenz“, was meiner Meinung nach falsch ist, da die Erweiterung asymptotisch ist und ein kleiner Fehlerterm, der einen nicht negativen Wert in einen negativen Wert kleiner Größe ändert, dies nicht tut einen Widerspruch darstellen.

Auch in der Materialmodellierung gibt es Materialien höherer Ordnung wie in der Dehnungsgradientenelastizität (Arbeiten von Mindlin und Toupin in den 60er Jahren, laufende Forschung heute ...). Im Vergleich dazu wird die klassische Elastizität durch Entfernen der Terme höherer Ordnung erhalten, und für die meisten Absichten und Zwecke wird die klassische Theorie bereits ausreichen. Die Effekte von Modellen höherer Ordnung kommen nur in speziellen Szenarien zum Tragen, beispielsweise bei der Modellierung kleinräumiger Phänomene. Dass Sie hauptsächlich mit Gleichungen zweiter Ordnung arbeiten werden, liegt also daran, dass sie die einfachste und erfolgreichste Näherung sind.

Und nun einige Beispiele für Gleichungen höherer Ordnung (nicht alle Feldgleichungen in der Physik sind von zweiter Ordnung!): https://en.wikipedia.org/wiki/Cahn%E2%80%93Hilliard_equation , https://en .wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Bernoulli_beam_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Kramers%E2%80%93Moyal_expansion , https://en.wikipedia.org/wiki/Korteweg%E2 %80%93De_Vries_equation