Warum müssen die Feldgleichungen differentiell sein?

Dies beantwortet nicht wirklich Ihre Frage, warum die Gleichung differentiell sein sollte. Aber ich denke, dass die beiden von Ihnen erwähnten Lokalitätsbegriffe nur gleichwertig sind, wenn ich mich nicht irre.

Beweisen wir, dass die zweite Definition die erste impliziert. Man muss das zeigen, wenn ein Punkt$x$gehört nicht dazu$supp(f)$dann$x$gehört nicht dazu$supp(Df)$. In der Tat gibt es dann eine offene Nachbarschaft$V$von$x$so dass$f|_V=0$. Daher durch die Annahme$Df|_V=0$. Somit$x\not\in supp(Df)$wie gewünscht.

Beweisen wir nun die umgekehrte Aussage, dass die erste Definition die zweite impliziert. Annehmen, dass$f|_V=g|_V$. Dann$(f-g)|_V=0$. Somit$supp(f-g)\cap V=\emptyset$. Folglich$supp(D(f-g))\cap V=\emptyset$, dh$D(f-g)|_V=0$. Das bedeutet, dass$Df|_V=Dg|_V$.

Alle physikalischen Phänomene treten auf einem Substrat, Medium oder „Raum“ auf. Dieser Raum hat Eigenschaften, die die Stabilität des Systems garantieren, wie zB das Vorhandensein einer charakteristischen Ausbreitungsgeschwindigkeit von 'c'. Die an jedem Punkt im Raum und in jedem Moment erlaubte Reaktion ist ausschließlich auf die lokale Umgebung, ihre unmittelbare Nachbarschaft zurückzuführen, und daher ist weder eine „Fernwirkung“ noch eine Unendlichkeit zulässig.
Diese physische Umgebung (1D) ist in diesem Bild (von Hans de Vries) dargestellt und in seinem Online-Buch „Understanding Relativistic Quantum Field Theory“ zu finden . Dieses Medium ermöglicht die Fortpflanzung der klassischen Wellengleichung

ψ ist die vertikale Verschiebung im mechanischen Modell. ... die Gleichung wird durch jede beliebige Funktion erfüllt, die sich zusammen mit einer Geschwindigkeit v (oder −v) verschiebt. Eine um den Faktor v „gestreckte“ Funktion hat eine um den Faktor v verringerte Steigung, während ihre Ableitungen zweiter Ordnung um einen Faktor niedriger sind$v^2$.

Nicht alle Felder folgen dem Superpositionsprinzip. Ein Temperaturfeld nicht. Ein Druckfeld tut es usw.

Diese Worte in Landau-Lifshitz 'Buch sind ein Versuch, Gleichungen zu "begründen", die hauptsächlich empirisch im Rahmen eines differenziellen Ansatzes erhalten wurden.

Es ist nicht klar, was die physikalische Bedeutung von local sein sollte. Es gibt eine große Literatur darüber und keinen überwältigenden Konsens. Siehe meine eigene Frage, wo ich die scheinbar beste Antwort akzeptiert habe, obwohl nichts wirklich vollständig geregelt wurde. Lokalität in der Quantenmechanik Die mir zur Verfügung gestellte Referenz war äußerst interessant, siehe arXiv:quant-ph/9809030 Außerdem haben die Positionsoperatoren, die für die relativistische Teilchenmechanik vorgeschlagen wurden, sehr unbequeme Nicht-Lokalitätseigenschaften. Darüber hinaus ist es ein Mythos, dass die spezielle Relativitätstheorie die Ausbreitung von Informationen mit Überlichtgeschwindigkeit verbietet, wie Prof. Geroch aus Chicago in «¿Faster than Light?» gezeigt hat. http://arxiv.org/abs/1005.1614Die physikalische Grundlage dessen, was ein Ort sein sollte, ist also ziemlich kompliziert ... und mir noch nicht klar.

Beachten Sie die Antwort von @MKO, die beweist, dass die Definitionen des Ortes gleichwertig sind. Allerdings führen nicht alle Feldtheorien zu linearen Operatoren (z. B. Allgemeine Relativitätstheorie), sodass Sie das Argument der Linearität nicht allgemein verwenden können.

Tatsächlich hat man manchmal algebraische Gleichungen für einige Felder; In allen Beispielen, die ich nennen kann, sind diese Felder jedoch redundant, dh sie vermitteln keine Informationen über die Dynamik des Systems.

Wenn Sie darüber nachdenken, sind Differentialoperatoren die allgemeinsten lokalen Operatoren, die Sie mit einer gegebenen Menge von Funktionen auf einem "schön genug" Raum (verbunden und vielleicht sogar glatt?) bauen können. Natürlich schließe ich algebraische Operatoren (Ordnung Null) ein.

Wenn Sie also die lokale Dynamik beschreiben, können Sie entweder einen (echten) Differentialoperator (order$\geq 1$) oder ein einfacher algebraischer Operator. Aber algebraische Gleichungen fixieren das System, ohne Ihnen die Möglichkeit zu geben, die Anfangsdaten zu bestimmen, also sind sie Einschränkungen.

Diese Argumentation scheint nur Differentialoperatoren übrig zu lassen. Die Wahrheit ist, dass Sie immer noch algebraische Gleichungen schreiben könnten, die zur Lösung der Dynamik des Systems führen, indem Sie die willkürlichen Konstanten einbeziehen, die als Anfangsdaten dienen. Aber ein solches Gleichungssystem schreiben zu können, bedeutet, dass man die Form der Lösung bereits kennt: Die Operatoren, die Sie verwenden, müssen die explizite Form der Lösung in irgendeiner Weise enthalten.

Daher unterscheidet sich die Verwendung einer algebraischen Gleichung nicht wesentlich davon, dass die endgültigen Lösungen bereits aufgeschrieben sind (vielleicht auf unordentliche Weise neu angeordnet).

Eine Theorie, die etwas vorhersagt, muss anders sein. Ergo, wenn der Raum und die Felder "schön genug" sind (der übliche Fall der Feldtheorie, kein Gitter oder irgendetwas Seltsames), bleiben Ihnen Differentialoperatoren. Sie sind nur die generischsten Operatoren, die die in den Feldern enthaltenen Informationen lokal verwenden (dh Nachbarschaft für Nachbarschaft).