Monodromiematrix und Differentialgleichungen

Ich werde erklären, wie der Monodromie-Ansatz zur Berechnung des halbklassischen konformen Blocks entsteht.

Das Ziel besteht darin, den konformen Block zu berechnen, der dem Austausch des Operators entspricht$\mathcal{O}$in der Vierpunktfunktion

$$\langle V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle,\qquad (1)$$ In $V_1V_2-V_3V_4$Kanal. Beachten Sie hier, dass wir, da wir über etwas sprechen, das vollständig durch die konforme Algebra bestimmt ist, eigentlich nur das holomorphe Problem betrachten können. Also hier $V_i$sind die formalen Operatoren, die durch konformes Gewicht gekennzeichnet sind $h_i$.

Jetzt ist eine Umparametrisierung des Problems bequem,

$$h_i=\frac{1}{b^2}\delta_i,\quad h_\nu=\frac{1}{b^2}\delta_\nu, \quad \delta_i=\frac{1-\lambda_i^2}{4},\quad \delta_\nu=\frac{1-\nu^2}{4},\\ c=1+6(b+b^{-1})^2,$$ Wo $h_\nu$ist die Dimension von ausgetauscht $\mathcal{O}$.

Wir betrachten nun die 5-Punkt-Funktion

$$\langle V_{(1,2)}(z)V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle,$$ Wo $V_{(1,2)}$ist ein entartetes Virasoro-Feld (ich verwende die Notation von Di Francesco, glaube ich). Natürlich muss dieses Feld in der Theorie nicht existieren, wir betrachten es hier nur formal, da es die Eigenschaften der konformen Algebra widerspiegelt. Dieser Korrelator erfüllt eine Differentialgleichung aufgrund der Entartung von $V_{(1,2)}$, $$\left[\frac{1}{b^2}\frac{\partial^2}{\partial z^2}+\sum_{i=1}^4\left(\frac{h_i}{(z-z_i)^2}+\frac{1}{z-z_i}\frac{\partial}{\partial z_i}\right)\right]\langle V_{(1,2)}(z)V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle=0,$$ und jeder konforme Block dieses Korrelators erfüllt dieselbe Gleichung (weil diese Gleichung eine Eigenschaft ist, die allein aus der konformen Algebra folgt; Sie können dies explizit überprüfen, indem Sie Projektionsoperatoren in den Korrelator einfügen und die Tatsache verwenden, dass sie mit allen Virasoro-Generatoren kommutieren) .

Wir betrachten dann einen bestimmten konformen Block, den durch das Bild gegebenen, wo Sie fusionieren$V_1$Und$V_2$erhalten$\mathcal{O}$, Dann$\mathcal{O}$Sicherungen mit$V_{(1,2)}$einige zu werden$\mathcal{O}'$und dann$\mathcal{O}'$wird$V_3$Und$V_4$. Sie sollten sich dies als den konformen Block für vorstellen$(1)$wo das Zwischenprodukt$\mathcal{O}$Interagiert mit$V_{(1,2)}$.

Wir betrachten die Grenze der großen zentralen Ladung$c$, korrespondierend zu$b\to 0$, und gleichzeitig nehmen wir$h_i$,$h_\nu$groß sein, halten$\delta_i,\delta_\nu$Fest. Die physikalische Annahme ist, dass seit der Skalierungsdimension von$V_{(1,2)}$in dieser Grenze endlich bleibt, ist der konforme 5-Punkte-Block durch die Formel gegeben

$$\langle V_{(1,2)}(z)V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3)V_4(z_4)\rangle_{CB}=\psi(z|z_i)e^{\frac{1}{b^2}f_{\nu,\delta_i}(z_i)},$$ Wo $\psi(z|z_i)$ist die „Wellenfunktion“ des Lichts $V_{(1,2)}$im Hintergrund der semiklassische 4-Punkt-konforme Block $e^{\frac{1}{b^2}f_{\nu,\delta_i}(z_i)}$. Ich bin mir nicht sicher, ob es einen Beweis für diese Aussage in der Literatur gibt. Was wir wissen, ist, dass es getestet werden kann und getestet wurde.

Setzen wir diesen Ansatz in die Differentialgleichung für den konformen 5-Punkt-Block ein, finden wir eine Wellengleichung

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}+\psi\sum_{i=1}^4\left(\frac{\delta_i}{(z-z_i)^2}+\frac{c_i}{z-z_i}\right)=0,$$ Wo $$c_i=\frac{\partial f_{\nu,\delta_i}}{\partial z_i}$$ sind die sogenannten Zubehörparameter. (Es gibt vier von ihnen, aber nur einer ist unabhängig. Dies liegt daran, dass der semiklassische konforme 4-Punkte-Block konform kovariant ist und dies Beziehungen zwischen induziert $c_i$. Z.B $\sum_{i=1}^4 c_i=0$wegen der Translationsinvarianz von $f_{\nu,\delta_i}$).

Jetzt sind wir in der Lage zu verstehen, woher das Problem der Monodromie kommt. Sie können sehen, dass wir eine ODE zweiter Ordnung für erhalten haben$\psi$, die zwei linear unabhängige Lösungen hat, wohingegen$\psi$sollte, wie es scheint, nur einen konformen 5-Punkte-Block bestimmen. Was ist also die Interpretation der beiden Lösungen? Wie sich herausstellt, gibt es tatsächlich zwei konforme Blöcke, die wir bestimmen. Als wir den konformen 5-Punkte-Block spezifizierten, war der Operator$\mathcal{O}$zum Betreiber geworden$\mathcal{O}'$nach der Interaktion mit$V_{(1,2)}$. Was ist dieser Operator? Nun, seit$V_{(1,2)}$ein entartetes Feld ist, kann es nur eine Dreipunktfunktion ungleich Null haben$\langle \mathcal{O}V_{(1,2)}\mathcal{O}'\rangle$wenn die Skalierungsdimension von$\mathcal{O}'$Ist$h'=h_\nu\pm \frac{\nu}{2}$.

Wir berechnen also tatsächlich zwei 5-Punkte-Blöcke, und deshalb gibt es zwei Lösungen für$\psi$. Wie können wir nun die beiden spezifischen Linearkombinationen identifizieren, die den gesuchten Blöcken entsprechen? Bei der Berechnung des 5-Punkte-Blocks ersetzen wir$V_1(z_1)V_2(z_2)$mit$\mathcal{O}(z_1)$und seine Nachkommen, und dann, für$|z-z_1|>|z_1-z_2|$, ersetzen wir$\mathcal{O}(z_1)V_{(1,2)}(z)$von$\mathcal{O}'(z_1)$. Wenn man über die Skalierungsabmessungen nachdenkt, kann man feststellen, dass der konforme 5-Punkt-Block eine Erweiterung für haben muss$|z_2-z_1|<|z-z_1|<|z_3-z_1|,|z_4-z_1|$des Formulars

$$\sum_n a_n (z-z_1)^{h_{\mathcal{O}}+h_{(1,2)}-h_{\mathcal{O}'}}$$ . Daraus folgt dann, dass die Monodromie des 5-Punkte-Blocks bei $z$geht gegen den Uhrzeigersinn herum $z_1$Und $z_2$(Wir müssen herumgehen $z_2$da diese Erweiterung nur für funktioniert $|z_2-z_1|<|z-z_1|$) Ist $$\exp\left\{2\pi i\left(h_{\mathcal{O}}+h_{(1,2)}-h_{\mathcal{O}'}\right)\right\}=-\exp(\pm i\pi\nu),$$ bei dem die $\pm$entspricht der Wahl des konformen Blocks wie in $h'=h_\nu\pm \frac{\nu}{2}$.

Wir sehen also, dass die Basis der Lösungen, die den zwei möglichen 5-Punkt-konformen Blöcken entsprechen, die Monodromie um die Punkte herum diagonalisiert$z_1$Und$z_2$, und die Monodromien müssen sehr spezifisch sein. Auf dieser Basis die Monodromiematrix für die Kontur$\gamma_{12}$herumgehen$z_1,z_2$gegen den Uhrzeigersinn ist dann

$$M(\gamma_{12})=\begin{pmatrix} -e^{i\pi\nu} & 0\\ 0 & -e^{-i\pi\nu} \end{pmatrix}.$$ Eine basisinvariante Art, diese Monodromie zu charakterisieren, ist zu sagen $$\mathrm{tr} M(\gamma_{12})=-2\cos\pi\nu,$$ und dies bestimmt eindeutig die Eigenwerte (weil die Monodromiematrix in diesem Fall unimodular sein muss, aber ich kann mich nicht erinnern warum).

Jetzt ist es eine gute Zeit, einen Schritt zurückzutreten und zu rekapitulieren. Anstatt den semiklassischen konformen 4-Punkt-Block direkt zu berechnen, haben wir uns überlegt, wie er in die Berechnung eines konformen 5-Punkt-Blocks mit einem entarteten Körper einfließt. Wir haben festgestellt, dass der 5-Punkte-Block dann durch eine ODE zweiter Ordnung bestimmt wird. Die Koeffizienten in dieser ODE werden durch den semiklassischen 4-Punkt-konformen Block bestimmt. Konsistenz erfordert dann, dass diese ODE eine bestimmte Monodromie-Eigenschaft hat; dies schränkt die Koeffizienten der ODE und damit den semiklassischen 4-Punkt-konformen Block ein.