Sollte nicht jede Koordinatentransformation Winkel zwischen Vektoren erhalten? Wenn ja, warum ist dann die konforme Transformation etwas Besonderes?

Ja, alle Koordinatentransformationen bewahren Winkel zwischen Vektoren, da Koordinatentransformationen einfach Änderungen in der Art und Weise sind, wie eine bestimmte Mannigfaltigkeit abgebildet wird$\mathbb{R}^n$. Also ein Koordinatensystem für (eine offene Teilmenge) einer Mannigfaltigkeit$\mathcal{M}$ist eine Bijektion$f: U\subseteq\mathcal{M}\to V\subseteq\mathbb{R}^n$. Gegeben zwei Koordinatensysteme definiert durch$f$Und$g$die die gleichen Patches abdecken$\mathcal{M}$Und$\mathbb{R}^n$dann ist eine Koordinatentransformation zwischen ihnen nur eine Karte$g \circ f^{-1}: V\to V$.

Offensichtlich kann so etwas nichts an der Mannigfaltigkeit oder ihrer Metrik ändern: Es ändert nur, wie wir sie darstellen . Es gibt keine Koordinaten in der Natur, also kann das Ändern von Koordinaten niemals die Physik verändern.

Aber eine konforme Transformation ist keine Koordinatentransformation: Es ist eine Änderung in der Metrik selbst. Im Allgemeinen kann eine solche Änderung Winkel zwischen Vektoren verändern, da wir eine beliebige Metrik auswählen können, für die wir möchten$\mathcal{M}$solange es die Anforderungen erfüllt, um eine Metrik zu sein.

Eine eingeschränkte Art solcher Transformationen behält jedoch Winkel bei: diejenigen, bei denen$\mathbf{g}'(p) = \alpha(p)\mathbf{g}(p)$, Wo$\mathbf{g}$,$\mathbf{g}'$sind die alten und neuen Metriken,$p\in\mathcal{M}$Und$\alpha(p)$ist eine Funktion von$p$.

Sie können mehr oder weniger äquivalent über konforme Transformationen als Diffeomorphismen zwischen verschiedenen Mannigfaltigkeiten sprechen, so dass die Metriken durch einen Skalarfaktor in Beziehung stehen (oder wirklich, die zurückgezogene Metrik ist durch einen Skalarfaktor mit der 'nativen' verbunden ' metrisch). Sie können sehen, dass dies größtenteils dasselbe ist, aber es ermöglicht Ihnen, über konforme Beziehungen zwischen Mannigfaltigkeiten nachzudenken, die nicht offensichtlich gleich sind: Penrose-Diagramme sind ein gutes Beispiel dafür.

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Hinweis: Ich spreche hier von konformen Transformationen (auch konforme Abbildungen genannt), wie sie in GR verwendet werden. Ich denke, die andere Antwort spricht wirklich über konforme Transformationen zwischen Koordinatensystemen, was eine andere (wenn auch verwandte) Sache ist. Also gehe ich hier davon aus, worum es in der Frage geht, und meine Annahme könnte falsch sein.

Lassen$\mathcal{M}^d$sei ein$d$-dimensional$(p,q)$Riemannsche Mannigfaltigkeit und let$f\colon \mathcal{M}^d\to\mathcal{M}^d$eine Koordinatentransformation sein. Eine solche Transformation wird als konform bezeichnet, wenn per Definition

$$g'_{\mu\nu}(x') = e^{\omega(x)}g_{\mu\nu}(x)$$ $x' = f(x)$die Art und Weise, wie die Koordinaten von einer solchen Transformation beeinflusst werden (offensichtlich komponentenweise beabsichtigt). Die Ausarbeitung der obigen Definition führt zu der folgenden Menge möglicher Transformationen: $$x'^{\mu} = x^{\mu} + a^{\mu}\qquad \textrm{translations}$$ $$x'^{\mu} = \lambda x^{\mu}, \quad \lambda\in\mathbb{R}\qquad \textrm{dilations}$$ $$x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}\quad \Lambda\in\textrm{SO}(p,q)\qquad \textrm{Lorentz}$$ $$x'^{\mu} = \frac{x^{\mu}-b^{\mu}x^2}{1-2b\cdot x +b^2 x^2} \qquad\textrm{special conformal}$$ Die oben genannten sind die einzige Sammlung von Transformationen, die die ursprüngliche Anforderung erfüllen, dass sich die Metrik nur um einen (positiven) Skalierungsfaktor ändert. In der Standardterminologie sagt man, dass winkeltreue Transformationen die Winkel erhalten, da dies aufgrund des multiplikativen Vorfaktors, der sich bei der Berechnung der Skalarprodukte und der anschließenden Division durch die Norm der ursprünglichen Vektoren aufhebt, offensichtlich so ist.

Unten zeige ich, dass sich das Skalarprodukt durch eine Koordinatentransformation nicht ändert.

Nun, das Skalarprodukt wird per Definition von Skalar durch eine Änderung der Koordinaten unverändert gelassen, es besteht keine Notwendigkeit, irgendetwas zu berechnen.