Konforme Transformation / Weyl-Skalierung sind das zwei verschiedene Dinge? Verwirrt!

Die Weyl-Transformation und die konforme Transformation sind völlig verschiedene Dinge (obwohl sie oft in ähnlichen Kontexten diskutiert werden).

Eine Weyl-Transformation ist überhaupt keine Koordinatentransformation des Raums oder der Raumzeit. Es ist eine physikalische Änderung der Metrik,$g_{\mu\nu}(x)\to g_{\mu\nu}(x)\cdot \Omega(x)$. Es ist eine Transformation, die die Eigendistanzen an jedem Punkt um einen Faktor verändert, und der Faktor kann vom Ort abhängen – aber nicht von der Richtung der Linie, deren Eigendistanz wir messen (weil$\Omega$ist ein Skalar).

Beachten Sie, dass eine Weyl-Transformation keine Symmetrie der üblichen Gesetze ist, die wir kennen, wie Atomphysik oder das Standardmodell, da Partikeln eine bevorzugte Längenskala zugeordnet ist, sodass die Physik nicht skaleninvariant ist.

Andererseits sind konforme Transformationen eine Teilmenge von Koordinatentransformationen. Sie beinhalten Isometrien – die echten geometrischen „Symmetrien“ – als Teilmenge. Isometrien sind solche Koordinatentransformationen$x\to x'$die die Eigenschaft haben, die der metrische Tensor als Funktionen ausdrückt$x'$ist dasselbe wie der metrische Tensor, ausgedrückt als Funktionen von$x$. Konforme Transformationen sind fast dasselbe: aber man fordert nur, dass diese beiden Tensoren bis auf eine Weyl-Neuskalierung gleiche Funktionen sind.

Wenn Sie beispielsweise eine Metrik auf der komplexen Ebene haben,$ds^2=dz^* dz$, dann jede holomorphe Funktion, wie z$z\to 1/z$, ist konform invariant, weil die Winkel erhalten bleiben. Wenn Sie zwei unendlich kleine Pfeile auswählen$dz_1$und$dz_2$ausgehend vom gleichen Punkt$z$und wenn Sie alle Endpunkte der Pfeile über die Transformation an einen anderen Ort transformieren$z\to 1/z$, dann ist der Winkel zwischen den letzten Pfeilen gleich. Folglich ist die Metrik in Bezug auf$z'=1/z$wird noch von gegeben

$$ds^2 = dz^* dz = d(1/z^{\prime *}) d (1/z') = \frac{1}{(z^{\prime *}z')^2} dz^{\prime *} dz'$$ das ist die gleiche Metrik bis zur Weyl-Skalierung durch den Bruch am Anfang. Deshalb ist diese holomorphe Transformation winkeltreu und winkeltreu. Aber eine konforme Transformation ist eine Koordinatentransformation, ein Diffeomorphismus. Die Weyl-Transformation ist etwas anderes. Es hält die Koordinaten fest, ändert aber direkt die Werte einiger Felder, insbesondere des metrischen Tensors, an jedem Punkt um einen skalaren Multiplikationsfaktor.

Eine konforme Transformation ist eine Raum-Zeit-Transformation, die die Metrik bis zum Maßstab invariant lässt und somit Winkel erhält. Eine Weyl-Transformation skaliert die Metrik aktiv .

Formeller:

Lassen$M, N$seien zwei Mannigfaltigkeiten mit inneren Produkten$g, h$und Koordinaten$x=(x^i), y=(y^j)$beziehungsweise.

Eine Landkarte$f:M\rightarrow N$heißt konform, falls es eine Funktion gibt$\Omega\in\mathcal C^\infty(M)$damit der Pullback trifft

$$f^*h=\Omega g$$ die in Koordinaten liest $$h_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x)$$ wo $y=f(x)$.

Bei konformen Transformationen$M=N$und$g=h$und somit

$$f^*g = \Omega g$$ die in Koordinaten liest $$g_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x)$$ und sieht aus wie eine Koordinatentransformation $x\mapsto y$, ist aber der Koordinatenausdruck eines tatsächlichen (siehe meine andere Antwort ).

Im Fall von Weyl-Transformationen haben wir wieder$M=N$. Allerdings wird die Karte von gegeben werden$f=\mathrm{id}_M$nachgeben

$$h=\Omega g$$ mit dem trivialen Koordinatenausdruck $$h_{ij}(x)=\Omega(x)g_{ij}(x)$$ was nicht als Koordinatentransformation angesehen werden kann, da sich die Koordinaten nicht ändern.

Konforme Transformation sind die aktiven Koordinatentransformationen (Diffeomorphismus)$\sigma^a \longrightarrow \sigma'^a=\sigma'^a(\sigma)$die die Metrik in der folgenden Form ändern:

$$g'_{ab}(\sigma')\equiv\frac{\partial\sigma^c}{\partial\sigma'^a}\frac{\partial\sigma^d}{\partial\sigma'^b}g_{cd}(\sigma)=\Omega(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Eine konforme Transformation ist also eigentlich eine aktive Koordinatentransformation (dh Diffeomorphismus), die die Metrik um einen positionsabhängigen Faktor skaliert.

Andererseits hat die Weyl-Transformation nichts mit Koordinatentransformation zu tun. Es wirkt nicht auf Koordinaten, sondern auf den metrischen Tensor:

$$\sigma^a\longrightarrow \sigma'^a(\sigma)=\sigma^a \\ g_{ab}(\sigma) \longrightarrow g'_{ab}(\sigma')=g'_{ab}(\sigma)=\Lambda(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Eine Weyl-Transformation ist also eine Transformation, die auf den metrischen Tensor wirkt, nicht auf die Koordinaten.

Dies ist meine ursprüngliche Antwort, die leider den Hauptpunkt der Frage verfehlte. Da ich jedoch einige Zeit investiert habe, um es zu schreiben, und es tatsächlich zumindest einen Teil der Frage beantwortet, werde ich es so lassen, wie es ist.

Dies ist ein Trugschluss des praktischen Ansatzes zur Differentialgeometrie, der nur Koordinatenausdrücke verwendet, und einer der Gründe, warum ich den abstrakt-geometrischen Ansatz bevorzuge.

Nehmen wir der Einfachheit halber diese abstrakte Mannigfaltigkeit an$M$ermöglicht globale Koordinatensysteme

$$\begin{align} \varphi:M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x^\mu \end{align}$$ und $$\begin{align} \varphi':M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x'^\mu \end{align}$$ Die Koordinatentransformation von ungestrichenen zu gestrichenen Koordinaten ist gegeben durch $$\begin{align} \varphi'\circ\varphi^{-1}:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto x'^\mu \end{align}$$ Nun wäre eine echte Transformation ein Diffeomorphismus $$\begin{align} f:M&\rightarrow M \\ p&\mapsto q \end{align}$$ die mit einem Koordinatenausdruck kommt $f^\varphi=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ $$\begin{align} f^\varphi:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto y^\mu \end{align}$$ wo $x^\mu=\varphi(p)$und $y^\mu=\varphi(q)$. Wenngleich $f^\varphi$ wie jede andere Koordinatentransformation aussieht , bleiben wir im gleichen ungestrichenen Koordinatensystem.

A-Koordinatentransformationen ändern den Wert von skalaren Ausdrücken - zB Kontraktion des metrischen Tensors mit zwei Vektoren zur Berechnung ihres Skalarprodukts - nach Definition der Transformationsgesetze für Tensoren nicht.

Bei reellen Transformationen ist dies nicht der Fall: Da wir die Koordinatensysteme nicht ändern, transformieren sich die Komponenten des metrischen Tensors nicht und können somit die Koordinatenänderung der Vektoren nicht ausgleichen.

Nach einer Koordinatentransformation berechnen wir immer noch dieselbe Größe, ähnlich wie bei der Verwendung eines anderen Satzes von Einheiten, während wir nach einer echten Transformation tatsächlich eine andere Größe berechnen, wenn wir an verschiedenen Punkten auf der Mannigfaltigkeit auswerten, dh uns darin bewegen Freizeit.

Es gibt einen Anhang (Anhang D) über konforme Transformationen in Walds Buch über die Allgemeine Relativitätstheorie. Der erste Absatz davon ist relevant für Ihre Frage. Seine Terminologie unterscheidet sich jedoch von Ihrer und mit dem Begriff konforme Transformationen meint er einfach Weyl-Transformationen.

Der metrische Tensor (oder jeder andere Tensor) ändert sich natürlich in keiner Weise unter Koordinatentransformationen. Jedoch, wenn$M$ist eine Mannigfaltigkeit, und$f:M\rightarrow M$wenn eine differenzierbare Funktion, dann für jedes kovariante Tensorfeld$T$an$M$wir können ein entsprechendes zurückgezogenes Tensorfeld definieren$f^*T$an$M$(Siehe wiederum Walds Anhang C für Definitionen). Insbesondere wenn$g$metrischer Tensor ist, dann können wir einen zurückgezogenen metrischen Tensor definieren$f^*g$an$M$. Wenn$f$ist ein Diffeomorphismus und$g$ist dann nicht entartet$f^*g$too wird nicht entartet sein und dieselbe Signatur wie die von haben$g$. Ebenfalls$f^*g$wird sich im Allgemeinen von unterscheiden$g$, dh das Zurückziehen unter eine Karte ist etwas anderes als die Koordinatentransformation. (Der Unterschied ist etwas Ähnliches wie bei "passiven" und "aktiven" Koordinatentransformationen, aber diese Terminologie könnte hier sehr verwirrend sein).

Wenn$f$ist ein Diffeomorphismus, so dass die Metrik zurückgezogen wird$f^*g$ist gleich$\Omega g$für eine positive Funktion$\Omega$, dann spricht man von einer konformen Isometrie. Die konforme Feldtheorie ist per Definition diejenige, deren Symmetriegruppe eine Gruppe von (möglicherweise nur "lokalen") konformen Isometrien als Untergruppe enthält.