Greensche Funktion auf Torus

Wenn beide "Leerzeichen" ($x$) und Zeit" ($y$) Richtungen sind periodisch, der Laplace-Operator auf Torus mit Koordinaten$z=x+iy$hat einen normalisierten Nullmodus

$$\varphi_0(z) = \frac 1 {\sqrt{{\rm Im}(\tau)}}$$ (Hier$\tau$ist der modulare Parameter, der den Torus definiert.)

Als

$$-\nabla^2 \varphi_0=0.$$ Der Nullmodus bedeutet, dass der Laplace-Operator nicht 1-1 ist und verhindert so, dass der Laplace-Operator mit periodischen Randbedingungen eine Inverse hat. Es gibt also keine eigentliche Green-Funktion. Stattdessen müssen wir daher auf eine modifizierte Green-Funktion zurückgreifen . Wir können eine Theta-Funktion mit Eigenschaften verwenden, die durch definiert sind $$\theta\left[ \matrix{a\cr b}\right] (z|\tau)= \sum_{m=-\infty}^\infty \exp\{i\pi \tau(m+a)^2 +2\pi i (m+a)(z+b)\}, \quad {\rm Im}(\tau)>0\quad a,b \in {\mathbb R}.$$

Beachten Sie das

$$F(x,y) \equiv e^{-\pi y^2/ {\rm Im}(\tau)} \theta\left[ \matrix{\textstyle{\frac 12}\cr \textstyle{\frac 12}}\right] (z|\tau)$$ gehorcht $$F(x+1,y) =-F(x,y), \quad F(x+ {\rm Re}(\tau), y+{\rm Im}(\tau)) =({\rm phase}) F(x,y)$$ So $$G_0(x,y)) = -\frac{1}{2\pi} \ln |F| = -\frac{1}{2\pi} \ln\left| \theta\left[ \matrix{\textstyle{\frac 12}\cr \textstyle{\frac 12}}\right] (z|\tau)\right| + \frac 12 y^2 / {\rm Im}(\tau)\\ = -\frac 1{2\pi} \ln |E(z)| + \frac 12 y^2 / {\rm Im}(\tau)+const.$$ ist sowohl auf dem Torus periodisch als auch gehorcht $$-\nabla^2 G_0(x,y) = \delta^2(x,y) - 1/{\rm Im}(\tau)\\ = \sum_n \varphi_n(z) \varphi^*_n(0)- \varphi_0(z)\varphi_0(0)$$ Hier geht es um die Summe$n$einschließlich$n=0$. Der$\varphi_n(z)$,$n>0$sind die Eigenfunktionen des Laplace-Operators mit Eigenwerten ungleich Null.

Zur Lösung kann die modifizierte Green-Funktion verwendet werden

$$-\nabla^2 \phi= f(x,y)$$ als $$\phi(x,y) = \int_{\rm torus} G_0(x-x', y-y'))f(x',y') dx' dy'=0.$$ unter der Vorraussetzung, dass$f$ist senkrecht zum Nullmodus, dh $$\int_{\rm torus} f(x,y) dx dy=0.$$

Dies steht im Einklang mit der Fredholm-Alternative für lineare Operatoren.

Der konstante Term wird benötigt, weil es auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit periodischen Randbedingungen einen Nullmodus im Spektrum des Laplace-Operators gibt. Dies ist leichter auf dem Kreis zu sehen, wo$\frac{d^2}{dt^2}f = \lambda f$hat die periodisch konstante Lösung$f(t) =c$. Dies macht den Operator nicht-inveritble.

Stattdessen sollte im Raum orthogonal zu den Nullmoden gearbeitet werden. Schauen wir uns die spektrale Zerlegung der Green-Funktion an:

$$G(t, t') = \sum_\lambda u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') \times \lambda^{-1},$$ Wo$u_\lambda(t)$sind die Eigenfunktionen des Operators. Beachten Sie, dass $$\nabla^2 G = \sum_\lambda u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') = \delta(t - t')$$ nach Vollständigkeit.

Jetzt sehen Sie im Ausdruck für die Green-Funktion, warum$\lambda = 0$wäre problematisch. Wir entfernen dies aus der Summe, um an dem Unterraum zu arbeiten, der orthogonal zu dieser Funktion ist, und erhalten

$$G'(t, t') = \sum_{\lambda \neq 0} u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') \times \lambda^{-1}$$ Danach erhalten wir eine modifizierte Green-Gleichung $$\nabla^2 G = \sum_{\lambda \neq 0} u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') = \delta(t - t') - u_0^*(t)u(t').$$ Dieser letzte Term entspricht dem konstanten Stück, das Sie bei periodischen Randbedingungen subtrahieren, weil wir gesehen haben, dass die Null-Eigenfunktionen konstant sind. Der Faktor von T stammt einfach von irgendeiner Normalisierungsbedingung.

Die andere Sichtweise ist, in Begriffen der Elektrostatik zu denken. Auf einer kompakten Mannigfaltigkeit stimmt die Periodizität nicht mit der Green-Funktion überein, die die Reaktion auf eine Punktladung darstellt, die an einem bestimmten Punkt platziert wird:

$$\int_{M} \delta(t, t') = \int_{M} \nabla^{2} G = \int_{\partial M}\nabla G \cdot dn = 0$$ da die Green-Funktion periodisch sein wird. Die linke Seite integriert sich jedoch nicht auf 0. Um dies zu beheben, müssen wir eine konstante negative "Hintergrundladung" hinzufügen, die die LHS auf modifiziert$\int_{M}\delta(t, t') - |c|^{2}$mit$c$so gewählt, dass das Integral verschwindet. Mit anderen Worten wird diese Hintergrundladung benötigt, um die Kompatibilität mit den periodischen Randbedingungen zu gewährleisten.