Feldlösungen für die kovariante Ableitung des auf Null beschränkten Vektorfeldes

Question

Feldlösungen für die kovariante Ableitung des auf Null beschränkten Vektorfeldes

Physik
Vektorfelder
Differentialgeometrie
Differentialgleichung

Student4life

Frage:

Was bedeuten die Lösungen von $\nabla_\mu A^\nu = 0$ aussehen?
Und ist es möglich, dass die Raumzeitkrümmung die Lösung irgendwie einschränkt? $A^\nu = 0$ ?

Hier ist mein aktuelles Verständnis und meine Gedanken.

Wenn ein Skalarfeld eine Beschränkung in Form der partiellen Differentialgleichung hätte:

\partial_{μ} ϕ = 0

$\partial_\mu \phi = 0$

Dann ist die einzige Lösung $\phi$ ist konstant.

Für eine kovariante Ableitung stattdessen:

\nabla_{μ} ϕ = 0

$\nabla_\mu \phi = 0$

Die Lösung ist dieselbe, da für ein Skalarfeld die kovariante Ableitung nur die gewöhnliche partielle Ableitung ist.

Was ist nun mit einem Vektorfeld?

Was genau können wir über ein Vektorfeld schlussfolgern, wenn seine kovariante Ableitung überall Null ist?

Für ein Vektorfeld:

\partial_{μ} A^{v} = 0

$\partial_\mu A^\nu = 0$

bedeutet, dass jede Komponente konstant ist. Aber mit einer kovarianten Ableitung:

\nabla_{μ} A^{v} = \partial_{μ} A^{v} + Γ^{v}_{μ λ} A^{λ}

$\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda$

Also eine Konstante ungleich Null $A^\nu$ funktioniert nicht, wenn die Christoffel-Symbole ungleich Null sind.

Da (die Produktregel gilt, richtig?):

\nabla_{μ} A_{v} A^{v} = \nabla_{μ} G_{λ v} A^{λ} A^{v} = A^{λ} A^{v} \nabla_{μ} G_{λ v} + 2 G_{λ v} A^{λ} \nabla_{μ} A^{v} = A^{λ} A^{v} \nabla_{μ} G_{λ v}

$\nabla_\mu A_\nu A^\nu = \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} A^\lambda A^\nu = A^\lambda A^\nu \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} + 2 g_{\lambda\nu} A^\lambda \nabla_\mu A^\nu = A^\lambda A^\nu \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu}$

Geht man vom einfachen Fall einer metrisch kompatiblen Verbindung aus, bedeutet das:

\nabla_{μ} A_{v} A^{v} = 0

$\nabla_\mu A_\nu A^\nu = 0$

Und da $A_\nu A^\nu$ ein Skalar ist, dann die Größe von $A^\nu$ muss konstant sein.

Ich habe Probleme, diese Lösungen zu visualisieren.

Wenn die Raumzeit flach ist, dann kann ich ein Koordinatensystem wählen, in dem die Christoffel-Symbole überall Null sind und daher die Komponenten $A^\nu$ sind alle konstant.

Für die gekrümmte Raumzeit konnte ich sehen, dass es Probleme wie beim Hairy-Ball-Theorem gibt, so dass es keine Möglichkeit gibt $A^\nu$ mit einer überall konstanten Größe und auch ungleich Null, ohne auf Widersprüche zu stoßen. Es scheint also plausibel, dass die kovariante Ableitung, die Null ist, tatsächlich viel restriktiver sein könnte und dazu führen könnte, dass die einzige generische Lösung darin besteht, dass das Feld selbst Null ist.

Wenn ich bei gekrümmter Raumzeit einen Koordinatenfleck in einem kleinen Bereich so wähle $A^\nu$ immer in z-Richtung ist, und skalieren Sie die Koordinaten so, dass die Komponente $g_{33}$ in diesem Patch konstant ist, dann bedeutet die Anforderung, dass die Größe von A konstant ist, die partielle Ableitung der Komponenten $A^\nu$ ist Null. Aber das bedeutet wiederum

\nabla_{μ} A^{v} = \partial_{μ} A^{v} + Γ^{v}_{μ λ} A^{λ} = Γ^{v}_{μ λ} A^{λ} = 0 ⟹ Γ^{v}_{μ 3} = 0 Ö R A^{λ} = 0

$\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda = \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda = 0 \quad \implies \quad \Gamma^\nu{}_{\mu 3} = 0 \ \ \mathrm{or} \ \ A^\lambda = 0$

Es scheint mir nicht, dass die Skalierung der Koordinaten zu machen $g_{33}$ konstant, würde dies verursachen. Dies scheint also eine abgeleitete Bedingung für die Geometrie oder eine Anforderung dafür zu sein $A^\nu=0$ .

Ist die flache Raumzeit hier also irgendwie etwas ganz Besonderes? Ist die einzige Lösung $A^\nu=0$ außer einigen ganz speziellen Raum-Zeit-Geometrien? Wie sehen diese Lösungen und Sondergeometrien aus?

Benutzer10851

Interessante Frage. Also

\nabla_{μ} A_{ν}

$\nabla_\mu A_\nu$ ist halbwegs auf der linken Seite der Killing-Gleichung, also sind alle Lösungen trivialerweise Killing-Felder. Es sieht auch aus wie ein Tensor, der in einigen Formen der geodätischen Abweichungsgleichung auftaucht. Und wenn

n

$n$ geodätisch ist und als Einheitsnormalenvektorfeld einer Familie von Hyperflächen angenommen wird

\nabla_{μ} n_{ν}

$\nabla_\mu n_\nu$ umfassen die zweiten Grundformen dieser Oberflächen. Ich wünschte, ich könnte etwas Bestimmteres sagen.

Antworten (1)

Feldlösungen für die kovariante Ableitung des auf Null beschränkten Vektorfeldes

Interessante Frage. Also $\nabla_\mu A_\nu$ ist halbwegs auf der linken Seite der Killing-Gleichung, also sind alle Lösungen trivialerweise Killing-Felder. Es sieht auch aus wie ein Tensor, der in einigen Formen der geodätischen Abweichungsgleichung auftaucht. Und wenn $n$ geodätisch ist und als Einheitsnormalenvektorfeld einer Familie von Hyperflächen angenommen wird $\nabla_\mu n_\nu$ umfassen die zweiten Grundformen dieser Oberflächen. Ich wünschte, ich könnte etwas Bestimmteres sagen.

asperanz · Answer 1

Sie haben im Grunde die richtige Vorstellung: Die Existenz eines kovariant konstanten Vektorfeldes ist eine große Einschränkung der Metrik.

Das hast du schon entdeckt $A^a$ hat eine konstante Norm. Das nächste, was wir finden, ist das $A^a$ ist ein Tötungsvektor, weil offensichtlich

\nabla_{(A} A_{B)} = 0.

$\nabla_{(a}A_{b)}=0.$ Außerdem,

A^{a}

$A^a$ ist geodätisch,

A^{a} \nabla_{a} A^{b} = 0

$A^a\nabla_a A^b=0$ , und Hyperfläche orthogonal, da die Frobenius-Integrierbarkeitsbedingung ist

A_{[a} \nabla_{b} A_{c]} = 0

$A_{[a}\nabla_b A_{c]}=0$ .

Das heißt, wir können schreiben

A_{A} = N \nabla_{A} Z

$A_a=N \nabla_a Z$ für einige Skalarfunktionen

N

$N$ Und

Z

$Z$ . In der Tat,

N

$N$ muss eigentlich eine Funktion von sein

Z

$Z$ . Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist von

\nabla_{[A} A_{B]} = \nabla_{[A} N \nabla_{B]} Z = 0

$\nabla_{[a}A_{b]}=\nabla_{[a}N \nabla_{b]}Z=0$ was impliziert, dass die Steigungen

\nabla_{a} N

$\nabla_a N$ Und

\nabla_{a} Z

$\nabla_aZ$ sind linear abhängig. Also durch Neudefinition

Z \mapsto Z^{'} (Z)

$Z\mapsto Z'(Z)$ , wir können schreiben

A_{a} = \nabla_{a} Z^{'}

$A_a=\nabla_a Z'$ , dh loszuwerden

N

$N$ .

Jetzt können wir verwenden $Z'$ als eine Koordinate, und wählen Sie die anderen Koordinaten so aus $A^\alpha\propto\delta^\alpha_{Z'}$ , mit einer konstanten "Proportionalitätskonstante". Dann seit $A^a$ ein Killing-Vektor ist, müssen die metrischen Komponenten in diesem Koordinatensystem unabhängig davon sein $Z'$ . Außerdem haben wir solche Koordinaten gewählt $g_{Z' \beta} = 0$ für $\beta\neq Z'$ .

Sie können dann sehen, dass wir eine Metrik für eine Mannigfaltigkeit erhalten, die entlang der Richtung flach ist $A^a$ . Die Mannigfaltigkeit muss also lokal die Form haben $\mathbb{R}\times M$ oder $S^1\times M$ (im Allgemeinen könnte es die Struktur von a haben $U(1)$ oder $\mathbb{R}$ Faserbündel, das eine nichttriviale Topologie haben kann). Das Linienelement ist dann

D S^{2} = C D {Z^{'}}^{2} + H_{ich J} D X^{ich} D X^{J},

$ds^2=Cd{Z'}^2 + h_{ij} dx^i dx^j,$ Wo

C

$C$ ist eine Konstante und die Transversalmetrik

h_{i j}

$h_{ij}$ An

M

$M$ ist unabhängig von

Z^{'}

$Z'$ . Wir finden also tatsächlich einige sehr nicht triviale Einschränkungen der Metrik, wann immer es einen von Null verschiedenen, kovariant konstanten Vektor gibt

A^{a}

$A^a$ .

Was bedeutet in diesem Zusammenhang " $A^a$ ist geodätisch" gemeint? Dass, wenn wir irgendwo beginnen und in Richtung des Feldes mit einer Geschwindigkeit folgen, die durch seine Größe gegeben ist, dass es eine Geodäte definiert?
Ich folge einigen Schritten nicht. Wie kann ich sehen, dass die Lösung zu $(A_{[a}\nabla_bA_{c]} = 0) \quad \implies (A_a = N \nabla_a Z)$ ? Ich hätte das naiv angenommen $N$ wurde nicht benötigt. Und $\nabla_{[a}N\nabla_{b]}Z = (\nabla_{[a}N)(\nabla_{b]}Z) + N(\nabla_{[a}\nabla_{b]}Z) = 0$ , Rechts? Ich habe Probleme zu sehen, wie dies impliziert, dass der Gradient von N und Z unabhängig ist, und möchten wir nicht, dass sie abhängig sind , wenn wir behaupten, dass N als Funktion von Z geschrieben werden kann? Kannst du das etwas erweitern?
@Student4life Erstens, richtig $A^a$ geodätisch bedeutet, dass es der Tangentenvektor einer geodätischen Kurve ist.
@Student4life Die Aussage, dass $A_{[a}\nabla_bA_{c]}=0\implies A_a = N \nabla_a Z$ ist im Grunde eine Formulierung des Satzes von Frobenius, der ein Standardergebnis in der Differentialgeometrie ist, aber ich bin mir nicht sicher, ob er einfach zu beweisen ist. Überhaupt die Funktion $N$ wird benötigt, weil wir das gefunden haben $A_a$ hat eine feste Norm, aber es gibt keinen Grund für die Steigung $\nabla_a Z$ eine feste Norm haben, also $N$ liefert grundsätzlich die entsprechende Normalisierung.
@Student4life Beachten Sie für Ihre nächste Frage, dass kovariante Ableitungen pendeln, wenn sie auf Skalare wirken (das ist ziemlich einfach zu beweisen, also probieren Sie es aus). Auch ja, ich sagte, es impliziert, dass die Gradienten linear abhängig sind und daher N eine Funktion von Z ist.

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