Klassische konforme Invarianz

Question

Klassische konforme Invarianz

Benutzer37343

Also versuche ich, die klassische konforme Invarianz zu verstehen.

Wir bewegen uns also sanft von der allgemeinen Koordinateninvarianz zur Weyl-Invarianz zur konformen Invarianz, und jetzt beginnen sie mit dieser Sache namens Weyl-Invarianz

G_{μ v} (X) \to Ω (X) G_{μ v} (X),

$g_{\mu \nu}(x) \rightarrow \Omega(x)g_{\mu \nu}(x),$ und erwähnen Sie auch die Infintesimalform

G_{μ v} (X) \to G_{μ v} + ω (X) G_{μ v} (X)

$g_{\mu \nu}(x) \rightarrow g_{\mu \nu} + \omega(x)g_{\mu \nu}(x)$ Ich las dann die folgende Aussage, die einen gewissen Sinn zu machen scheint:

"Dann ist eine Koordinatentransformation, die als Weyl-Transformation auf die Metrik wirkt, eine konforme Transformation."

Jetzt verstehe ich nicht, was dieser letzte Teil ganz bedeutet. Machen wir nur Rotationen? Kann jemand mit mir in einem ähnlichen Geist gehen, aber klar zeigen, was diese Transformationen sind, um zur klassischen konformen Invarianz zu gelangen? Ich folge diesem Text , weil er zugänglicher ist als einige der Dinge, die ich gesehen habe.

ACuriousMind

1. Bitte lesen Sie Ihre Beiträge vor dem Absenden Korrektur und verwenden Sie keine übermäßigen und überflüssigen Satzzeichen. 2. Was meinst du mit "Machen wir nur Rotationen?" - warum sollten hier gerade Rotationen ins Spiel kommen? 3. Der von Ihnen verwendete Text definiert eine konforme Transformation als Koordinatentransformation, die eine Weyl-Transformation für die Metrik induziert. Was ist deine Frage dazu? 4. Wenn Sie wissen wollen, was explizit eine konforme Transformation ist (Rotation, Dilatation, was auch immer), dann hängt dies davon ab, ob Sie sich in zwei oder in höheren Dimensionen befinden, und Sie sollten einfach weiterlesen.

Benutzer37343

Ich scheine also zu verstehen, was das konzeptionell bedeutet, aber in 1.1.3 erwähnen sie, direkt nachdem sie die Auswirkung der allgemeinen Koordinatentransformation auf die Metrik demonstriert haben, dass Rotationen und Translationen die Metrik nicht ändern und alle . . . Ich sehe nicht, woher dies bei der konformen Transformation kommt. Rotiert die Transformation die Metrik?

ACuriousMind

Wissen Sie, wie sich Koordinatentransformationen im Allgemeinen auf die Metrik auswirken? (Es ist Gleichung (1.8)) Alle Übersetzungen ändern die Metrik trivialerweise nicht, sondern stecken sie einfach ein. Drehungen ändern die Metrik nur dann nicht, wenn die Metrik die Standard-Euklidische Metrik ist, die Aussage gilt im Allgemeinen nicht. Stecken Sie sie einfach wieder ein.

Antworten (1)

Klassische konforme Invarianz

1. Bitte lesen Sie Ihre Beiträge vor dem Absenden Korrektur und verwenden Sie keine übermäßigen und überflüssigen Satzzeichen. 2. Was meinst du mit "Machen wir nur Rotationen?" - warum sollten hier gerade Rotationen ins Spiel kommen? 3. Der von Ihnen verwendete Text definiert eine konforme Transformation als Koordinatentransformation, die eine Weyl-Transformation für die Metrik induziert. Was ist deine Frage dazu? 4. Wenn Sie wissen wollen, was explizit eine konforme Transformation ist (Rotation, Dilatation, was auch immer), dann hängt dies davon ab, ob Sie sich in zwei oder in höheren Dimensionen befinden, und Sie sollten einfach weiterlesen.
Ich scheine also zu verstehen, was das konzeptionell bedeutet, aber in 1.1.3 erwähnen sie, direkt nachdem sie die Auswirkung der allgemeinen Koordinatentransformation auf die Metrik demonstriert haben, dass Rotationen und Translationen die Metrik nicht ändern und alle . . . Ich sehe nicht, woher dies bei der konformen Transformation kommt. Rotiert die Transformation die Metrik?
Wissen Sie, wie sich Koordinatentransformationen im Allgemeinen auf die Metrik auswirken? (Es ist Gleichung (1.8)) Alle Übersetzungen ändern die Metrik trivialerweise nicht, sondern stecken sie einfach ein. Drehungen ändern die Metrik nur dann nicht, wenn die Metrik die Standard-Euklidische Metrik ist, die Aussage gilt im Allgemeinen nicht. Stecken Sie sie einfach wieder ein.

Selene Rouley · Answer 1

Ich werde dies als nichtkonformer Feldtheoretiker beantworten, aber ich habe in letzter Zeit ein wenig über dieses Zeug nachgedacht. Aber ich glaube, ich kann die einfachste Ihrer Fragen beantworten: Ich bin sicher, ein Experte wird das Folgende richtig stellen, wenn es Fehler gibt.

"Dann ist eine Koordinatentransformation, die als Weyl-Transformation auf die Metrik wirkt, eine konforme Transformation." Jetzt verstehe ich nicht, was dieser letzte Teil ganz bedeutet.

Es ist einfach eine Definition. Aber das ist wahrscheinlich keine sehr befriedigende Antwort für Sie: Sie möchten eine Motivation für diese Definition; Ich glaube, das kommt als Antwort auf Ihre Frage:

Machen wir nur Rotationen?

Sie haben fast Recht: Richtig ist, dass die Transformation lokal alle Winkel beibehält; das bedeutet, dass sich alle inneren Produkte von Vektoren im Tangentialraum an jedem Punkt zur Mannigfaltigkeit durch transformieren $\langle X,\,Y\rangle \mapsto \Omega\langle X,\,Y\rangle$ Wo $\Omega$ ist eine reelle Skalierungskonstante, die im Allgemeinen von der Position in der Mannigfaltigkeit, aber nicht von den Vektoren abhängt $X$ Und $Y$ ( $\Omega$ ist für einen gegebenen Tangentenraum fixiert). Eine äquivalente Aussage ist das $\frac{\langle X,\,Y\rangle}{\|X\|\,\|Y\|}$ bleibt an jedem Tangentenraum invariant. Dies ist wiederum äquivalent zu der Aussage, dass Tangentenvektoren an die Mannigfaltigkeit durch echte Lorentz-Transformationen transformiert werden, multipliziert mit einem positionsabhängigen realen Skalenfaktor $\sqrt{\Omega}$ . In einer formelleren Sprache lebt das Vorantreiben der Transformation in $(\mathbb{R}^+,*)\times SO(1,\,3)$ an allen Punkten in der Mannigfaltigkeit (manchmal könnten wir diese Aussagen auf eine offene Teilmenge der Mannigfaltigkeit beschränken).

Die Situation ist ganz analog zu einer holomorphen Funktion. Eine Möglichkeit, die Cauchy-Riemann-Beziehungen zu formulieren, lautet: „Das Vorantreiben einer konformen Transformation auf $\mathbb{C}$ lebt in $(\mathbb{R}^+,*)\times SO(2)$ an allen Punkten der Übereinstimmung", dh wenn die holomorphe Funktion geschrieben wird als $(x,\,y)\mapsto (u,\,v)$ mit $x,\,y,\,u,\,v\in\mathbb{R}$ dann die Matrix:

\begin{matrix} (1) & (\begin{array}{cc} \frac{\partial u}{\partial X} & \frac{\partial u}{\partial j} \\ \frac{\partial v}{\partial X} & \frac{\partial v}{\partial j} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & - β \\ β & a \end{array}) = \sqrt{Ω} (\begin{array}{cc} \cos θ & - Sünde θ \\ Sünde θ & \cos θ \end{array}) \end{matrix}

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial\,u}{\partial\,x}&\frac{\partial\,u}{\partial\,y}\\\frac{\partial\,v}{\partial\,x}&\frac{\partial\,v}{\partial\,y}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{array}\right) = \sqrt{\Omega} \left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)\tag{1}$

ist ein skalares Vielfaches einer Rotationsmatrix (hier der Skalierungsfaktor $\sqrt{\Omega}=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ Und $\tan\theta = \beta/\alpha$ ) (falls Sie dies noch nicht getan haben, überprüfen Sie, ob die Cauchy-Riemann-Beziehungen äquivalent zu (1) sind). Die lokale Transformation ist also eine Rotation, die aus einer gleichmäßigen Dilatation besteht (oder umgekehrt; sie pendeln eindeutig).

Ihre Situation ist einfach die obige mit dem Begriff "Rotationsmatrix in $SO(2)$ " ersetzt durch " (eigentliche) Lorentz-Isometrie in $SO(1,\,3)$ ", die jeweils echte, homogene Isometrien des betreffenden Tangentialraums sind.

Es scheint, dass das Obige nicht ganz klar war: Anstatt die Antwort neu zu schreiben, halte ich ein Gespräch zwischen mir und dem Benutzer ACuriousMind fest, das meinen Mangel an Klarheit und die Antwort veranschaulicht, die ich gegeben habe, um zu versuchen, Wiedergutmachung zu leisten und meine Beschreibung zu klären.

ACuriousMind sagt:

Nö. Während die Lorentz-Gruppe in 4D zur konformen Gruppe gehört (mit Signatur (1,3)), ist die Gruppe der konformen Transformationen größer - sie hat auch Dilatationen (den Skalierungsfaktor), aber auch "spezielle konforme Transformationen". Die Gruppe der konformen Transformationen in 2D ist tatsächlich unendlichdimensional (ihre Algebra ist die Witt-Algebra). Konforme Transformationen sind mehr als Rotationen oder Lorentz-Transformationen (sonst wären sie ziemlich langweilig!), nämlich die konforme Algebra in $d>2$ mit Unterschrift $(p,q)$ ist isomorph zu $so(p+1,q+1)$ .

Was ich wie folgt beantwortet habe.

Sprechen Sie global? Denn hier spreche ich über das Vorantreiben der Transformation: damit (in 2D), ja, die Algebra von Vektorfeldern, die zB zu ebenen Kurven exponentieren $Re$ Und $Im$ meromorpher Funktionen ist zwar unendlichdimensional, aber lokal ist eine konforme Transformation eine Isometrie und Dilatation. Ich bin mir bewusst, dass die Gruppe der global konformen Transformationen von $\mathbb{R}^{p+q}$ ist größer als die Gruppe globaler Isometrien, die aus Dilatationen zusammengesetzt sind (aber erstaunlicherweise nicht viel größer, wenn $p+q>2$ , wie Sie wissen).

Und dies schien die Verwirrung aufzuklären, die ich verursacht hatte, als ACuriousMind antwortet:

Ah, ich habe falsch verstanden, was Sie mit "lokal" gemeint haben - wenn Sie es noch einmal lesen, ist es klar und richtig.

Ich hoffe, die Situation ist jetzt für andere Leser klarer!

Nö. Während die Lorentz-Gruppe in 4D Teil der konformen Gruppe ist (mit Signatur $(1,3)$ ), ist die Gruppe der konformen Transformationen größer - es gibt auch Dilatationen (den Skalierungsfaktor), aber auch "spezielle konforme Transformationen". Die Gruppe der konformen Transformationen in 2D ist tatsächlich unendlichdimensional (ihre Algebra ist die Witt-Algebra). Konforme Transformationen sind mehr als Rotationen oder Lorentz-Transformationen (sonst wären sie ziemlich langweilig!), nämlich die konforme Algebra in $d>2$ mit Unterschrift $(p,q)$ ist isomorph zu $\mathfrak{so}(p+1,q+1)$ .
@ACuriousMind (Lassen Sie uns zum Chat übergehen, wenn Sie nicht einfach antworten können) OK: Ich werde löschen, wenn das obige falsch ist, aber zuerst nur eine Frage. Sprechen Sie global? Denn hier spreche ich über das Vorantreiben der Transformation: damit (in 2D), ja, die Algebra von Vektorfeldern, die zB zu ebenen Kurven exponentieren ${\rm Re}$ Und ${\rm Im}$ meromorpher Funktionen ist zwar unendlichdimensional, aber lokal ist eine konforme Transformation eine Isometrie und Dilatation.
@ACuriousMind Ich bin mir bewusst, dass die Gruppe der global konformen Transformationen von $\mathbb{R}^{p+q}$ ist größer als die Gruppe globaler Isometrien, die aus Dilatationen zusammengesetzt sind (aber erstaunlicherweise nicht viel größer, wenn $p+q>2$ , wie Sie wissen).
Ah, ich habe falsch verstanden, was Sie mit "lokal" gemeint haben - wenn Sie es noch einmal lesen, ist es klar und richtig.

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