Diffeomorphismen und Randbedingungen

Der schwierigste Teil besteht darin, überhaupt einen Satz konsistenter Randbedingungen zu erhalten – dies erfordert eine Kombination aus fundiertem Raten, physikalischen Erkenntnissen, vorheriger Erfahrung mit verwandten Problemen, detaillierten Berechnungen und Trial-and-Error. Kurz gesagt, es ist ein bisschen eine Kunst.

Sobald Sie jedoch eine Reihe von Randbedingungen haben (wie in Ihrem Fall die NHEK-Randbedingungen), sind die Dinge ziemlich einfach.

Lassen Sie mich die asymptotische Hintergrundmetrik mit bezeichnen$g$und die zustandsabhängigen Schwankungen um$h$, sodass jede Metrik des Formulars$g+O(h)$ist durch die Randbedingungen erlaubt.

Ihr Ziel ist es, zu überprüfen, welche Spurweitentransformationen Ihre Randbedingungen beibehalten. In reiner Schwerkraft müssen dies einige Diffeomorphismen sein, die von einem Vektorfeld erzeugt werden$\xi$, so dass

$$\begin{equation} L_\xi (g+h) = O(h) \end{equation}$$ Wo $L_\xi$ist die Lie-Ableitung. Da dies eine Gleichung für einen symmetrischen Tensor in ist $D$Maße, die Sie erhalten $D(D+1)/2$unabhängige lineare PDEs erster Ordnung für das Vektorfeld $\xi$.

Wenn Sie versucht haben, die obige Gleichung zu lösen, haben Sie genau das Richtige getan, was hoffentlich einen Teil Ihrer Frage beantwortet. Lassen Sie mich nun auf den anderen Teil eingehen, nämlich wie man diese PDEs löst.

In vielen Beispielen können Sie nach dem allgemeinsten Vektorfeld auflösen$\xi$kompatibel mit obiger Bedingung, indem man einfach einen passenden Ansatz errät und dann zeigt, dass es funktioniert.

In den meisten Anwendungen haben Sie eine Reihenerweiterung der asymptotischen Metrik in Potenzen einer radialen Koordinate$r$(oder in Exponentialen von$r$, hängt von Ihrer Wahl des Messgeräts für die radiale Koordinate ab).

Um Unordnung zu vermeiden, lassen Sie mich annehmen, dass die verschiedenen Tensorkomponenten von$g$Und$h$werden in einigen Laurent-Reihen ausgedrückt$r$, und das$r\to\infty$entspricht der asymptotischen Grenze.

Dann machen Sie einfach den gleichen Potenzreihenansatz für das Vektorfeld$\xi$. Typischerweise beginnen alle Komponenten des Vektorfelds bei$O(1)$oder kleiner, aber das muss nicht der Fall sein. Wenn du überhaupt keine Ahnung hast, dann mach einfach den Ansatz

$$\begin{equation} \xi^0 = r^{n_0} (\xi^0_0 + \xi^0_1/r + ...) \end{equation}$$ wo der Koeffizient funktioniert $\xi^0_i$von allen Randkoordinaten a priori abhängen dürfen. Einen ähnlichen Ansatz machst du für alle anderen Komponenten des Vektorfeldes.

Die Auswertung der Bedingungen aus der Lie-Variation bestimmt dann die Exponenten$n_i$und kann die Funktionen einschränken$\xi^i_j$.

Siehe zum Beispiel Übung (17.1) in den Übungen der Woche 7 auf meiner Lehrwebseite http://quark.itp.tuwien.ac.at/~grumil/teaching.shtml für eine Führung durch das Standard-AdS$_3$Beispiel. Wenn Sie diese Art von Berechnung noch nie durchgeführt haben, empfehle ich Ihnen, mit diesem Beispiel zu beginnen, bevor Sie den NHEK brechen.

[Nebenbei bemerkt habe ich nie versucht, diesen Algorithmus in Mathematica zu implementieren, da ich normalerweise in 3 Dimensionen arbeite, wo eine Berechnung von Hand ziemlich schnell geht, aber ich sehe keinen Grund, warum es in Mathematica nicht funktionieren sollte.]