Asymptotische Symmetriealgebra

Nach vielen Recherchen und Tonnen von Papieren, die ich durchgegangen bin, habe ich endlich eine Idee, wie ich die Gleichungen lösen kann, die mir Kandidaten für die asymptotische Symmetriegruppe für die Kerr / CFT-Korrespondenz liefern. Man hat Randbedingungen$h_{\mu\nu}$, und Metrik, die sich wie verhält$g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, wo$\bar{g}_{\mu\nu}$ist die Hintergrundmetrik (in diesem Fall wird sie als extreme Kerr-Metrik in der Nähe des Horizonts verwendet ) und$h_{\mu\nu}$sind Störungen (gegeben).

Die Aufgabe besteht also darin, Diffeomorphismen zu finden$\xi$für die sich diese Metrik entsprechend transformieren wird

$$\bar{g}_{\mu\nu}+\mathcal{L}_\xi \bar{g}_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$

Und das löst man, indem man Gleichungen löst

$$\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\mathcal(r^m)$$

wo$\mathcal{O}(r^m)$sind Randbedingungen, die in Radialkoordinaten angegeben sind. Aus diesem und der Tatsache, dass$h_{\mu\nu}=h_{\nu\mu}$Ich bekomme zehn Gleichungen.

Jetzt ist mein Problem folgendes: Was soll ich als Ansatz nehmen?$\xi$?

In einigen Papieren nehmen sie dies:

$$\xi^\mu=\xi^\mu_0(t,\theta,\phi)+r\xi^\mu_1(t,\theta,\phi)+\mathcal{O}(r^2)$$

Aber in bestimmten Artikeln habe ich festgestellt, dass Autoren diese Form annehmen (siehe nach Gl. 4.4 hier , oder hier Gl. 5.1)

$$\xi^\mu=\sum\limits_{n=-1}^\infty \xi^\mu_n r^{-n}$$

so dass wir subführende Beiträge haben (ein Abfall in radialer Koordinate).

Nun neige ich dazu, den zweiten zu verwenden, da der Diffeomorphismus in Guica et. al wird mit vorangestellten Begriffen angegeben.

Ich sollte dies lösen, indem ich ein paar bestimmte Terme einfüge und schaue, was die Randbedingung sagt. Wir haben zum Beispiel

$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)$$

Das bedeutet, dass alle$\mathcal{O}(r^2)$Beiträge werden storniert, und nur Gleichungen mit$r$, oder kleiner$r$Beiträge werden überleben. Aber die Antwort ist drastisch anders, wenn ich den ersten oder zweiten Ansatz nehme.

Was also nehmen? Bin ich auf dem richtigen Weg? Wenn ich den zweiten nehme, mit welchem ​​n sollte ich beginnen?$n=-1$oder$n=-2$?

Oh, und ich habe endlich herausgefunden, wie ich das lösen kann, indem ich mir diesen Artikel ansehe und folge, wie sie es in Anhang A bekommen haben

BEARBEITEN:

Ich habe mir überlegt. Bedeutet die Tatsache, dass in ihrem Artikel die Metrik und der Ansatz mit Potenzen von geht$v$, bedeutet, dass da ihre Gleichungen begrenzt sind durch$\mathcal{O}(v)$werden sich alle höheren Kräfte gegenseitig aufheben? Da ich in diesem Fall nur untergeordnete Terme in der Metrik und Randbedingungen (für jeden der 10 Terme unterschiedlich) nehme, fällt mein Ansatz als ab$r^{-n}$, das bedeutet, dass sich alle Korrekturen niedrigerer Ordnung aufheben?

Die Frage ist immer noch: was n nehmen? Da ist es nicht dasselbe, wenn mein$\xi$beginnt mit$r^2$, oder$r$:\

EDIT2:

Ich werde eine Komponente setzen, um zu zeigen, was ich tue. Obwohl ich denke, dass etwas nicht stimmt, da ich komplizierte Gleichungen bekomme (wenn die Dinge zu kompliziert werden, ist es eine Art Show, dass die Dinge möglicherweise nicht in die richtige Richtung gehen, zumindest hat mir das die Erfahrung gezeigt)

Also, meine Metrik ist$g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, wie oben erklärt. Die erste Frage, die mir in den Sinn kommt: Muss ich manuell eingeben$h_{\mu\nu}$in diesem Ausdruck, oder verwende ich die gegebenen Randbedingungen? Das könnte ich sagen$h_{\mu\nu}$ist willkürlich, und meine Metrik muss einen Leistungsabfall von Störungen haben, damit meine$tt$Komponente wäre

$$g_{tt}=-\Omega^2(\theta)(1+r^2(1-\Lambda^2(\theta)))+r^{-1}h_{tt}(t,\theta,\phi)+\mathcal{O}(r^{-2})\quad (\star)$$

Ich entfernte$2GJ$da es sich nur um einen Faktor vor der Metrik handelt, der nicht von einer der Variablen abhängt ($t,r,\theta,\phi$) und trägt nicht zu Diffeomorphismen bei.

Ich werde das versuchen, nachdem ich fertig bin, was ich getan habe.

Allerdings habe ich nur die gegebenen Randbedingungen gesetzt. Zum$tt$Komponente habe ich

$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)=\xi^\sigma\partial_\sigma g_{tt}+g_{\sigma t}\partial_t\xi^\sigma+g_{t\sigma}\partial_t\xi^\sigma$$

Seit$g_{tt}$kommt drauf an$r$und$\theta$, habe ich zwei Komponenten im ersten Argument. Im zweiten und dritten Argument sind die gleichen da$g_{t\phi}=g_{\phi t}$. Also habe ich

$$\xi^\theta\partial_\theta g_{tt}+\xi^r\partial_r g_{tt}+2(g_{tt}\partial_t\xi^t+g_{t\phi}\partial_t \xi^\phi)=\mathcal{O}(r^2)$$

$$(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0+\xi^\theta_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2}))(-2\Omega\Omega'+2\Omega(\Lambda\Lambda'\Omega-\Omega'(1-\Lambda^2))r^2+\mathcal{O}(r^2))+(\xi^r_{-1}r+\xi^r_0+\xi^r_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2}))(-2\Omega^2(1-\Lambda^2)r+\mathcal{O}(r))+2((-\Omega^2-\Omega^2(1-\Lambda^2)r^2+\mathcal{O}(r^2))(\partial_t\xi^t_{-1}r+\partial_t\xi^t_0+\mathcal{O}(r^{-1}))+(\Lambda^2\Omega^2r+\mathcal{O}(1))(\partial_t\xi^\phi_{-1}r+\partial_t\xi^\phi_0+\partial_t\xi^\phi_1 r+\mathcal{O}(r^{-2})))=\mathcal{O}(r^2)$$

Nachdem Sie alles aussortiert und gesagt haben, dass alle Korrekturen von$\mathcal{O}(r^2)$verschwinden, ich am Ende mit

$$(\Lambda\Lambda'\Omega-\Omega'(1-\Lambda^2))\xi^\theta_{-1}-\Omega(1-\Lambda^2)\partial_t\xi^t_{-1}=0$$

Aber dieser ist relativ ok, die anderen haben manchmal sechs oder mehr Komponenten ($\xi^\mu$). Ich werde sie alle ausarbeiten und dann versuchen$(\star)$als Annahme und sehen, ob sich die Dinge vereinfachen ...

BEARBEITEN 3:

Die Dinge vereinfachen sich also nicht. Aber eines habe ich gelernt: Ich muss die asymptotische Killing-Gleichung lösen.

Mein nächster Versuch, den ich für einen schnellen und relativ guten Versuch halte, besteht darin, einfach zu sehen, wie die führenden Ordnungen der Komponenten sein sollten, damit sie die asymptotischen Killing-Gleichungen erfüllen, die durch Randbedingungen gegeben sind. Dann werde ich versuchen, eine explizite Berechnung durchzuführen.

Zum Beispiel (und ich hoffe, ich bin auf dem richtigen Weg) für$tt$Komponente hätte ich

$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)$$ $$\xi^\theta\partial_\theta g_{tt}+\xi^r\partial_r g_{tt}+2(g_{tt}\partial_t\xi^t+g_{t\phi}\partial_t \xi^\phi)=\mathcal{O}(r^2)$$ $$\xi^\theta\mathcal{O}(r^2)+\xi^r\mathcal{O}(r)+\mathcal{O}(r^2)\partial_t\xi^t+\mathcal{O}(r)\partial_t\xi^\phi=\mathcal{O}(r^2)$$

Damit dies wahr ist (LHS = RHS), hätte ich es tun sollen

$$\xi^r\to\mathcal{O}(r)$$

$$\xi^\theta\to\mathcal{O}(1)$$

$$\partial_t\xi^t\to\mathcal{O}(1)$$

$$\partial_t\xi^\phi\to\mathcal{O}(r)$$

Ich hoffe, ich bin auf dem richtigen Weg.

Ich habe einen Hinweis bekommen, wie Guica et. al hat es geschafft.

Zuerst müssen wir erraten, was die Symmetrien sind, und dann Randbedingungen erzeugen, indem wir mit diesen Diffeomorphismen arbeiten, und dann prüfen, ob die Ladungen endlich und integrierbar sind.

Es ist also eher ein Ratespiel als exaktes Lösen :S

BEARBEITEN 4:

Bisher (durch Lösen asymptotischer Killing-Gleichungen) bekomme ich nur die$\xi^\theta$Komponente richtig. Das habe ich

$$\xi^\theta_0=\xi^\theta_{-1}r$$

was ich bekomme, wenn ich den ansatz einsetze

$$\xi^\theta=\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0+\xi^\theta_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2})$$ $$\xi^\theta=\xi^\theta_1 r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2})$$

das ist genau das in dem Artikel von Guica et. Al. Aber kein Glück mit anderen Komponenten.

Wenn es nur ein paar Informationen darüber gäbe, was ich in die asymptotische Killing-Gleichung nach dem Gleichheitszeichen einfügen muss ...

BEARBEITEN 5:

Ich schreibe die Gleichungen auf, die ich durch Setzen erhalten habe$\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\mathcal{O}(r^n)$wo$\mathcal{O}(r^n)$sind durch Randbedingungen gegeben:

$$tt:\quad (\Lambda \Lambda' \Omega+(\Lambda^2-1)\Omega')\xi^\theta_{-1}+(\Lambda^2-1)\Omega \partial_t\xi^t_{-1}=0$$

$$t r:\quad (\Lambda^2-1)r(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1})+(\Lambda^2-1)r^3(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1}+\xi^t_1r^{-2}+\xi^t_2r^{-3})-$$ $$-r(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1})+\Lambda^2\xi^\phi_{-1}+\Lambda^2r^2(\xi^\phi_{-1}+\xi^\phi_0r^{-1}+\xi^\phi_1r^{-2})+\partial_t\xi^r_{-1}=0$$

$$t\theta:\quad (\Lambda^2-1)r^2(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0+\partial_\theta\xi^t_1r^{-1}+\partial_\theta\xi^t_2r^{-2})-(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0)+$$ $$+\Lambda^2r(\partial_\theta\xi^\phi_{-1}r+\partial_\theta\xi^\phi_0+\partial_\theta\xi^\phi_2r^{-1})+(\partial_t\xi^\theta_{-1}r+\partial_t\xi^\theta_0)=0$$

$$t\phi:\quad (2\Lambda(\Lambda'\Omega+\Lambda\Omega'))(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)+\Lambda^2\Omega\xi^r_{-1}+$$ $$+(\Omega(\Lambda^2-1))(\partial_\phi\xi^t_{-1}r+\partial_\phi\xi^t_0+\partial_\phi\xi^t_1r^{-1})-\Omega\partial_\phi\xi^t_{-1}+$$ $$+\Lambda^2\Omega(\partial_\phi\xi^\phi_{-1}r+\partial_\phi\xi^\phi_0)+\Lambda^2\Omega(\partial_t\xi^\phi_{-1}r+\partial_t\xi^t_0)+\Lambda^2\Omega\partial_t\xi^\phi_{-1}=0$$

$$rr:\quad \xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0=0$$

$$r\theta:\quad \partial_\theta\xi^r_{-1}+(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)=0$$

$$r\phi:\quad (\xi^t_{-1}r+\xi^t_0)+\xi^\phi_{-1}=0$$

$$\theta\theta:\quad \Omega'(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)+\Omega(\partial_\theta\xi^\theta_{-1}r+\partial_\theta\xi^\theta_0)=0$$

$$\theta\phi:\quad (\partial_\phi\xi^\theta_{-1}r+\partial_\phi\xi^\theta_0)+\Lambda^2r(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0+\partial_\theta\xi^t_1r^{-1})+$$ $$+\Lambda^2(\partial_\theta\xi^\phi_{-1}r+\partial_\theta\xi^\phi_0)=0$$

$$\phi\phi:\quad (\Omega\Lambda'+\Lambda\Omega')\xi^\theta_{-1}r+\Lambda\Omega r(\partial_\phi\xi^t_{-1}r+\partial_\phi\xi^t_0)+$$ $$+\Lambda\Omega\partial_\phi\xi^\phi_{-1}r=0$$

Das Problem ist, dass die einzige Gleichung, mit der ich Informationen darüber erhalten kann, wie sich mein Vektor in Komponenten verhalten sollte, lautet$rr$, woraus ich die allgemeine Form von erhalte$\xi^\theta$Bestandteil des Diffeomorphismus.

Aus$r\theta$Ich verstehe das$\xi^r_{-1}$term ist eine Konstante, die nicht von abhängt$\theta$, und$\theta\theta$Gleichung wird das nur bestätigen$rr$eins ist richtig.

Ich vermute aus der Tatsache, dass$\xi^r_{-1}$ist nicht null Ich könnte sagen, dass die$r$Komponente beginnt mit diesem Begriff (wie im Artikel).

BEARBEITEN 6:

Ich habe das Kopfgeld hinzugefügt, um das Bewusstsein dafür zu schärfen. Wenn jemand weiß, ob das, was ich bisher getan habe, richtig ist und was als Nächstes zu tun ist, sagen Sie es bitte :)