Finden von Superpotentialen und zentralen Ladungen in AdS3AdS3AdS_3

Im Text „ Kovariante Theorie der asymptotischen Symmetrien, Erhaltungssätze und Zentralladungen “ wird ein Beispiel für das Auffinden von Zentralladungen und Superpotential (unter anderem) gegeben.

Ich interessiere mich für$AdS_3$Da es viel Literatur zu dieser Raumzeit gibt und ich dieselbe Analyse für die 4-dimensionale Near-Horizon Extremal Kerr (NHEK)-Metrik durchführen muss, würde ich gerne wissen, wie das geht in einem einfacheren Fall.

In einem gegebenen Beispiel auf Seite 48 fahren sie nach dem Festlegen von Randbedingungen fort, um den linearen Teil von zu finden$\delta[(1/16\pi)\sqrt{-g}(R-2\Lambda)/\delta g_{\mu\nu}]$, was, soweit ich es verstehe, eine Art Variation von Lagrange ist.

Die Formel ist gegeben:

$\mathcal{H}^{\mu\nu}[h;\bar{g}]:=\frac{\sqrt{-g}}{32\pi}\left[-h\bar{R}^{\mu\nu}+\frac{1}{2}h\bar{R}\bar{g}^{\mu\nu}+2h^{\mu\alpha}\bar{R}_\alpha^\nu+2h^{\nu\beta}\bar{R}_\beta^\mu-h^{\mu\nu}\bar{R}-h^{\alpha\beta}\bar{R}_{\alpha\beta}\bar{g}^{\mu\nu}+\bar{D}^\mu\bar{D}^\nu h+\bar{D}^\lambda\bar{D}_\lambda h^{\mu\nu}-2\bar{D}_\lambda\bar{D}^{(\mu}h^{\nu)\lambda}-\bar{g}^{\mu\nu}(\bar{D}^\lambda\bar{D}_\lambda h-\bar{D}_\lambda\bar{D}_\rho h^{\rho\lambda})+2\Lambda h^{\mu\nu}-\Lambda \bar{g}^{\mu\nu}h\right]$

Ich habe auch die Hintergrundmetrik ($\bar{g}_{\mu\nu}$) das ist das von$AdS_3$,$\bar{D}$ist kovariante Ableitung,$h$ist Spur, gegeben durch$h=\bar{g}^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$. Ricci-Tensor und Skalar sind bekannt.

Was mich jetzt verwirrt, ist: Wie haben sie die Ergebnisse erhalten (z$\mathcal{H}^{tt}\to\mathcal{O}(r^-{3})$)? Ich verstehe das nicht, da sie nur die Randbedingungen als Leitbefehle reingeben$r$($h_{\mu\nu}\to \mathcal{O}(r^{m})$,$m\in\mathbb{Z}$). Ich kann Indizes erhöhen und verringern, ich kenne mich mit Summation aus und ich kann herausfinden, welche Terme in diesem Ausdruck vorkommen müssen.

Aber wie führe ich die Berechnung mit durch$\mathcal{O}$Notation?

Ich war jedes Mal verblüfft darüber, wenn ich ähnliche Artikel las. Sie alle machen diese Berechnungen, aber ich kann kein einziges Beispiel finden, wo alles im Detail erklärt wird :\

Daher ist jede Hilfe zur Klärung willkommen. Irgendwelche Mathematikbücher, die das oder so erklären...