Diskontinuität metrischer Ableitungen im Israel-Junction-Formalismus

Question

Diskontinuität metrischer Ableitungen im Israel-Junction-Formalismus

Slereah

Es wird oft gesagt, dass angesichts der Metriken $g^+$ , $g^-$ auf zwei Seiten einer Hyperfläche $\Sigma$ , dann mit einer Level-Set-Funktion $\phi$ so dass $\Sigma = \phi^{-1}(0)$ , können wir die Metrik auf der ganzen Mannigfaltigkeit beschreiben durch

\begin{matrix} (1) & G = θ (ϕ) G^{+} + (1 - θ (ϕ)) G^{-} \end{matrix}

$\begin{equation} g = \theta(\phi) g^+ + (1 - \theta(\phi)) g^- \tag{1} \end{equation}$

Und dann sind die Ableitungen der Komponenten einfach

\begin{matrix} (2) & G_{A B, C} = \partial_{C} θ (ϕ) (G^{+} - G^{-}) + θ (ϕ) G_{A B, C}^{+} + (1 - θ (ϕ)) G_{A B, C}^{-} \end{matrix}

$\begin{equation} g_{ab,c} = \partial_c \theta(\phi) (g^+ - g^-) + \theta(\phi) g^+_{ab,c} + (1 - \theta(\phi)) g^-_{ab,c}\tag{2} \end{equation}$

und da wird davon ausgegangen $g$ ist kontinuierlich,

\begin{matrix} (3) & G_{A B, C} = θ (ϕ) G_{A B, C}^{+} + (1 - θ (ϕ)) G_{A B, C}^{-} \end{matrix}

$\begin{equation} g_{ab,c} = \theta(\phi) g^+_{ab,c} + (1 - \theta(\phi)) g^-_{ab,c}\tag{3} \end{equation}$

Die Diskontinuität in den Ableitungen soll dann sein

\begin{matrix} (4) & [G_{A B, C}] = γ_{A B} N_{C} \end{matrix}

$\begin{equation} [g_{ab,c}] = \gamma_{ab} n_c\tag{4} \end{equation}$

für $n$ eine normale Form zu $\Sigma$ Und $\gamma_{ab}$ einige Tensor, und die Notation entspricht

\begin{matrix} (5) & [F] = lim_{P \in M^{+} \to Σ} F (P) - lim_{P \in M^{-} \to Σ} F (P) \end{matrix}

$\begin{equation} [F] = \lim_{p \in M^+ \to \Sigma} F(p) - \lim_{p \in M^- \to \Sigma} F(p)\tag{5} \end{equation}$

Der Beweis dafür scheint ziemlich schwer fassbar, aber laut Clarke und Dray ergibt sich dies aus der Tatsache, dass für $v$ irgendein Vektorfeld so dass $g(v, n) = 0$ , mit $n$ Wir haben eine gewisse Erweiterung der Normalform (ich vermute über das Normalbündel der Oberfläche).

\begin{matrix} (6) & v^{C} [G_{A B, C}] = v^{C} [G_{A B}]_{, C} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} v^c[g_{ab,c}] = v^c [g_{ab}]_{,c} = 0\tag{6} \end{equation}$

was dann impliziert $[g_{ab,c}] = \gamma_{ab} n_c$ . Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das zeigen soll. Erweitere alles, verstehe ich

\begin{matrix} (7) & (lim_{P \in M^{+} \to Σ} θ v^{C} G_{A B, C}^{+} - lim_{P \in M^{-} \to Σ} (1 - θ) v^{C} G_{A B, C}^{-}) \end{matrix}

$\begin{equation} (\lim_{p \in M^+ \to \Sigma} \theta v^c g^+_{ab,c} - \lim_{p \in M^- \to \Sigma} (1 - \theta) v^c g^-_{ab,c})\tag{7} \end{equation}$

gegebene Koordinaten mit Tangentenvektoren $(n, \partial_\alpha)$ , wir können dies zerlegen als

\begin{matrix} (8) & v^{C} G_{A B, C}^{\pm} = v^{a} G_{A B, a}^{\pm} \end{matrix}

$\begin{equation} v^c g^\pm_{ab,c} = v^\alpha g^\pm_{ab,\alpha}\tag{8} \end{equation}$

seit $v$ hat kein $n$ Komponente. Wie zeigt man, dass diese Größe dann beim Überschreiten der Grenze stetig ist? Muss ich für jede Hyperfläche die erste Grundform definieren? $\Sigma_\varepsilon$ entlang des normalen Koordinatenbündels $\varepsilon$ und zeigen, dass diese stetig ist?

QMechaniker

Ist

n

$n$ als null angenommen? nicht null?

Slereah

Dies gilt für streng zeitartige Hyperflächen, also

n

$n$ ist immer raumartig.

Antworten (2)

Diskontinuität metrischer Ableitungen im Israel-Junction-Formalismus

Dies gilt für streng zeitartige Hyperflächen, also $n$ ist immer raumartig.

Slereah · Answer 1

Ich bin du aus der Zukunft. Hier ist ein wahrscheinlich gutes Argument dafür.

Nehmen Sie das normale Bündel der Hyperfläche $N = (-1, 1) \times \Sigma$ , mit den angepassten Koordinaten $(r, y)$ so dass $\partial_r$ ist ein Vektor normal zur Hyperfläche. Wir können den metrischen Tensor zerlegen als

G = G (\partial_{R}, \partial_{R}) D R \otimes D R + G_{Σ}^{R}

$g = g(\partial_r, \partial_r) dr \otimes dr + g^r_{\Sigma}$

Wo $g_{\Sigma, r}$ ist die erste Grundform auf der durch die Projektion des Normalenbündels definierten Fläche $r$ . Die Ableitung bzgl $\Sigma$ Koordinaten bei $r = \varepsilon$

\partial_{C} {\bar{G}}_{A B}^{ε} = lim_{H \to 0} \frac{{\bar{G}}_{A B}^{ε} (X + H) - {\bar{G}}_{A B}^{ε} (X)}{H}

$\partial_c \bar g^\varepsilon_{ab} = \lim_{h \to 0}\frac{ \bar g^\varepsilon_{ab}(x + h) - \bar g^\varepsilon_{ab}(x)}{h}$

Die Diskontinuität wird dann sein

lim_{ε \to 0} lim_{H \to 0} [\frac{{\bar{G}}_{A B}^{ε} (X + H) - {\bar{G}}_{A B}^{ε} (X) - {\bar{G}}_{A B}^{- ε} (X + H) + {\bar{G}}_{A B}^{- ε} (X)}{H}]

$\lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{h \to 0} [\frac{ \bar g^\varepsilon_{ab}(x + h) - \bar g^\varepsilon_{ab}(x) - \bar g^{-\varepsilon}_{ab}(x + h) + \bar g^{-\varepsilon}_{ab}(x)}{h} ]$

Ich denke, wir können eine gleichmäßige Konvergenz annehmen ( $g$ sollte auf die Nachbarschaft begrenzt sein), in diesem Fall können wir die Grenzen wechseln und da $g$ ist kontinuierlich,

\begin{array}{rcl} [\partial_{C} G_{A B}] & = & lim_{H \to 0} lim_{ε \to 0} [\frac{{\bar{G}}_{A B}^{ε} (X + H) - {\bar{G}}_{A B}^{ε} (X) - {\bar{G}}_{A B}^{- ε} (X + H) + {\bar{G}}_{A B}^{- ε} (X)}{H}] \\ = & lim_{H \to 0} [\frac{{\bar{G}}_{A B}^{0} (X + H) - {\bar{G}}_{A B}^{0} (X) - {\bar{G}}_{A B}^{0} (X + H) + {\bar{G}}_{A B}^{0} (X)}{H}] \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} [\partial_c g_{ab}] &=& \lim_{h \to 0} \lim_{\varepsilon \to 0} [\frac{ \bar g^\varepsilon_{ab}(x + h) - \bar g^\varepsilon_{ab}(x) - \bar g^{-\varepsilon}_{ab}(x + h) + \bar g^{-\varepsilon}_{ab}(x)}{h} ] \\ &=& \lim_{h \to 0} [\frac{ \bar g^0_{ab}(x + h) - \bar g^0_{ab}(x) - \bar g^0_{ab}(x + h) + \bar g^{0}_{ab}(x)}{h} ]\\ &=& 0 \end{eqnarray}$

Seit $v$ hängt nur von diesem Teil der Metrik ab, die wir ja haben $v^\sigma [g_{\mu\nu,\sigma}] = 0$ .

QMechaniker · Answer 2

FWIW, interessanterweise, sind die israelischen Anschlussbedingungen aus mathematischer Notwendigkeit entstanden, um schlecht definierte Produkte zu vermeiden $^1$ von Verteilungen statt tatsächlicher physikalischer Überlegungen. Siehe z. B. Refs. 1 & 2 für Details.

Verweise:

Eric Poisson, Toolkit eines Relativisten, 2004; Abschnitt 3.7.
Eric Poisson, Ein Fortgeschrittenenkurs in GR ; Abschnitt 3.7.

--

$^1$ Wir ignorieren die Colombeau-Theorie . Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

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