Erhalten von Diffeomorphismen aus Randbedingungen in AdS3AdS3AdS_3

Question

Erhalten von Diffeomorphismen aus Randbedingungen in AdS3AdS3AdS_3

ads-cft
Physik
generelle Relativität
Randbedingungen
Differentialgeometrie
Anti-Desitter-Raumzeit

dingo_d

Wie üblich stelle ich eine Frage zu den Randbedingungen für AdS ${}_3$ , basierend auf der These von Porfyriadis.

Er löst Gleichungen $\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}$ für AdS ${}_3$ metrisch, mit gegebenen Randbedingungen, die im Grunde genommen Fall-Off-Bedingungen sind $r$ , da wir am asymptotischen Verhalten interessiert sind (wie $r\to\infty$ ). Ich bin endlich zu dem Teil gekommen, wo er den Ansatz für Diffeomorphismus verwendet $\xi^\mu=\sum\limits_n \xi^\mu_n(t,\phi)r^n$ ( $\mu=t,r,\phi$ ), erhält einen Satz von 6 Gleichungen für Koeffizienten. Zur Verdeutlichung schreibe ich die Komponente der Metrik, die verwendet wurde, um die Gleichung zu erhalten, neben die Gleichung:

(T T) ξ_{N - 1}^{R} + l^{2} ξ_{N, T}^{T} + ξ_{N - 2, T}^{T} = 0, N \geq 2

$(tt)\qquad \xi^r_{n-1}+l^2\xi^t_{n,t}+\xi^t_{n-2,t}=0,\ n\ge 2$

(T R) l^{4} (N + 1) ξ_{N + 1}^{T} - l^{4} ξ_{N, T}^{R} + 3 l^{2} (N - 1) ξ_{N - 1}^{T} + 2 (N - 3) ξ_{N - 3}^{T} = 0, N \geq 3

$(tr)\qquad l^4(n+1)\xi^t_{n+1}-l^4\xi^r_{n,t}+3l^2(n-1)\xi^t_{n-1}+2(n-3)\xi^t_{n-3}=0,\ n\ge 3$

(T ϕ) l^{2} ξ_{N, ϕ}^{T} + ξ_{N - 2, ϕ}^{T} - l^{2} ξ_{N - 2, T}^{ϕ} = 0, N \geq 1

$(t\phi)\qquad l^2\xi^t_{n,\phi}+\xi^t_{n-2,\phi}-l^2\xi^\phi_{n-2,t}=0,\ n\ge 1$

(R R) l^{2} (N + 1) ξ_{N + 1}^{R} + (N - 2) ξ_{N - 1}^{R} = 0, N \geq 2

$(rr)\qquad l^2(n+1)\xi^r_{n+1}+(n-2)\xi^r_{n-1}=0,\ n\ge 2$

(R ϕ) l^{2} (N + 1) ξ_{N + 1}^{R} + (N - 3) ξ_{N - 3}^{ϕ} + l^{2} ξ_{N, ϕ}^{R} = 0, N \geq 3

$(r\phi)\qquad l^2(n+1)\xi^r_{n+1}+(n-3)\xi^\phi_{n-3}+l^2\xi^r_{n,\phi}=0,\ n\ge 3$

(ϕ ϕ) ξ_{N - 1}^{R} + ξ_{N - 2, ϕ}^{ϕ} = 0, N \geq 2

$(\phi\phi)\qquad \xi^r_{n-1}+\xi^\phi_{n-2,\phi}=0,\ n\ge 2$

Ich habe das verstanden, und ich verstehe, wie der Autor darauf gekommen ist. Aber wie fand er die $\xi^r,\ \xi^t$ , Und $\xi^\phi$ Ich verstehe nicht :\

Er sagte: für ( $rr$ ) Gleichung, unter Verwendung von Rückwärtsinduktion, da für große $n$ die Serie für $\xi^r$ abschneiden müssen, erhalten wir, dass die Komponenten $\xi^r_{2m}=0,\ m\ge 1$ , Und $\xi^r_{2m+1}=0,\ m\ge 1$ , also die allgemeinste Form von $\xi^r$ Ist

ξ^{R} = ξ_{1}^{R} (T, ϕ) R + ξ_{0}^{R} (T, ϕ) + Ö (R^{- 1}) (⋆)

$\xi^r=\xi^r_1(t,\phi)r+\xi^r_0(t,\phi)+\mathcal{O}(r^{-1})\quad (\star)$

Wie hat er das bekommen? Ich meine, ich habe versucht, von n = 10 auf n = 2 zu setzen, und für n = 2 bekomme ich

3 l^{2} ξ_{3}^{R} + 0 \cdot ξ_{1}^{R} = 0

$3l^2\xi^r_3+0\cdot\xi^r_1=0$

Und das bedeutet, dass für n=gerade meine ungeraden Terme 0 sind, wenn $n\ge 2$ ?

Ich könnte das irgendwie damit in Verbindung bringen, dass die $\xi^r=\sum\limits_n \xi^r_n r^n$ , und für n = 2 bekomme ich 0, also werden nur n, die kleiner sind, beitragen, da ich eine Erweiterung um unendlich mache. Aber ich weiß nicht, ob ich damit richtig liege. Und wie hat er andere Gleichungen aufgestellt? Ich habe versucht, die gleiche "Argumentation" zu verwenden, kann aber nicht bekommen, was er bekommt. In Gleichungen ( $tr$ ) Und ( $r\phi$ ) er fällt einfach ab $\xi^r_n$ Bedingungen. Warum? :\ Und dann bekommt er plötzlich

ξ^{T} = ξ_{0}^{T} (T, ϕ) + ξ_{- 1}^{T} (T, ϕ) \frac{1}{R} + Ö (R^{- 2})

$\xi^t=\xi^t_0(t,\phi)+\xi^t_{-1}(t,\phi)\frac{1}{r}+\mathcal{O}(r^{-2})$

ξ^{ϕ} = ξ_{0}^{ϕ} (T, ϕ) + ξ_{- 1}^{ϕ} (T, ϕ) \frac{1}{R} + Ö (R^{- 2})

$\xi^\phi=\xi^\phi_0(t,\phi)+\xi^\phi_{-1}(t,\phi)\frac{1}{r}+\mathcal{O}(r^{-2})$

Wie?! :( Ich bin verzweifelt :(

QMechaniker

Dies könnte relevant sein: Glenn Barnich: 2016 Lectures on BMS symmetry .

Antworten (1)

Erhalten von Diffeomorphismen aus Randbedingungen in AdS3AdS3AdS_3

Dies könnte relevant sein: Glenn Barnich: 2016 Lectures on BMS symmetry .

Brian Motten · Answer 1

In Ordnung, für diesen Teil müssen Sie sich also eigentlich nur drei Gleichungen ansehen:

(R R) l^{2} (N + 1) ξ_{N + 1}^{R} + (N - 2) ξ_{N - 1}^{R} = 0, N \geq 2

$(rr)\qquad l^2(n+1)\xi^r_{n+1}+(n-2)\xi^r_{n-1}=0,\ n\ge 2$

(R ϕ) l^{2} (N + 1) ξ_{N + 1}^{R} + (N - 3) ξ_{N - 3}^{ϕ} + l^{2} ξ_{N, ϕ}^{R} = 0, N \geq 3

$(r\phi)\qquad l^2(n+1)\xi^r_{n+1}+(n-3)\xi^\phi_{n-3}+l^2\xi^r_{n,\phi}=0,\ n\ge 3$

(T R) l^{4} (N + 1) ξ_{N + 1}^{T} - l^{4} ξ_{N, T}^{R} + 3 l^{2} (N - 1) ξ_{N - 1}^{T} + 2 (N - 3) ξ_{N - 3}^{T} = 0, N \geq 3

$(tr)\qquad l^4(n+1)\xi^t_{n+1}-l^4\xi^r_{n,t}+3l^2(n-1)\xi^t_{n-1}+2(n-3)\xi^t_{n-3}=0,\ n\ge 3$

Beginnen wir mit dem ersten:

(R R) l^{2} (N + 1) ξ_{N + 1}^{R} + (N - 2) ξ_{N - 1}^{R} = 0, N \geq 2.

$(rr)\qquad l^2(n+1)\xi^r_{n+1}+(n-2)\xi^r_{n-1}=0,\ n\ge 2.$ Der Typ geht davon aus, dass Sie nicht ständig Nicht-Null haben

ξ_{n}^{μ}

$\xi^\mu_n$ für beliebig groß

n

$n$ . Mit anderen Worten, es müssen welche vorhanden sein

N

$N$ so dass

ξ_{m}^{μ} = 0

$\xi^\mu_m = 0$ für

m > N

$m>N$ . Nehmen wir nun an, dass diese Obergrenze

N

$N$ ist nur 10.

Dann schaut man sich die an $(rr)$ Gleichung für $n = 11$ , finden wir, dass der linke Term auf der linken Seite wegen der Obergrenze Null sein muss. Also der rechte Term und somit $\xi^r_{10}$ muss Null sein. Ebenso der Fall $n=10$ sagt uns $\xi^r_9$ ist Null.

Jetzt können wir überlegen $n=9$ , finden wir wieder, dass der erste Term Null ist, weil wir das bereits festgestellt haben $\xi^r_{10}$ ist Null. Wir tun dies bis einschließlich $n=3$ . Wir glauben, dass $\xi^r_m$ ist null für $m\ge 2$ , und so $\xi^r = \xi^r_1 r + \xi^r_0 + ...$ . Wir wären zu diesem Schluss gekommen, egal wie groß $N$ War.

Ok gut. Was ist mit $(r\phi )$ Gleichung? Es ist

(R ϕ) l^{2} (N + 1) ξ_{N + 1}^{R} + (N - 3) ξ_{N - 3}^{ϕ} + l^{2} ξ_{N, ϕ}^{R} = 0, N \geq 3

$(r\phi)\qquad l^2(n+1)\xi^r_{n+1}+(n-3)\xi^\phi_{n-3}+l^2\xi^r_{n,\phi}=0,\ n\ge 3$ Das haben wir bereits gezeigt

ξ_{n + 1}^{r}

$\xi^r_{n+1}$ Und

ξ_{n}^{r}

$\xi^r_{n}$ sind null für

n \geq 2

$n \ge 2$ , und da diese Gleichung nur gilt für

n \geq 3

$n \ge 3$ , können wir diese Bedingungen fallen lassen. Die Gleichung wird dann

(R ϕ) (N - 3) ξ_{N - 3}^{ϕ} = 0, N \geq 3

$(r\phi)\qquad (n-3)\xi^\phi_{n-3}=0,\ n\ge 3$ Betrachten Sie nun diese Gleichung für

n \geq 4

$n \ge 4$ , wir glauben, dass

ξ_{m}^{ϕ} = 0

$\xi^\phi_m=0$ für

m \geq 1

$m \ge 1$ , und so

ξ^{ϕ} = ξ_{0}^{ϕ} + ξ_{- 1}^{ϕ} / r + . . .

$\xi^\phi = \xi^\phi_0 + \xi^\phi_{-1}/r + ...$ .

Betrachten wir schließlich die $(tr)$ Gleichung:

(T R) l^{4} (N + 1) ξ_{N + 1}^{T} - l^{4} ξ_{N, T}^{R} + 3 l^{2} (N - 1) ξ_{N - 1}^{T} + 2 (N - 3) ξ_{N - 3}^{T} = 0, N \geq 3

$(tr)\qquad l^4(n+1)\xi^t_{n+1}-l^4\xi^r_{n,t}+3l^2(n-1)\xi^t_{n-1}+2(n-3)\xi^t_{n-3}=0,\ n\ge 3$ Da die Gleichung nur gilt für

n \geq 3

$n\ge 3$ , und wir wissen es

ξ_{n}^{r} = 0

$\xi^r_{n}=0$ für

n \geq 3

$n\ge 3$ , können wir diesen Begriff einfach ignorieren. Die Gleichung wird

(T R) l^{4} (N + 1) ξ_{N + 1}^{T} + 3 l^{2} (N - 1) ξ_{N - 1}^{T} + 2 (N - 3) ξ_{N - 3}^{T} = 0, N \geq 3.

$(tr)\qquad l^4(n+1)\xi^t_{n+1}+3l^2(n-1)\xi^t_{n-1}+2(n-3)\xi^t_{n-3}=0,\ n\ge 3.$ Nehmen wir wieder an

N = 10

$N=10$ , und betrachten Sie die Gleichung für

n = 13

$n=13$ . Dann verschwinden die beiden Terme ganz links und wir haben übrig

ξ_{10}^{t} = 0

$\xi^t_{10}=0$ . Fortfahren mit

n = 12

$n=12$ ,

n = 11

$n=11$ , bis ganz nach unten

n = 4

$n=4$ sagt uns das

ξ_{m}^{t} = 0

$\xi^t_m = 0$ für

m \geq 1

$m\ge 1$ , und so

ξ^{t} = ξ_{0}^{t} + ξ_{- 1}^{t} / r + . . .

$\xi^t = \xi^t_0 + \xi^t_{-1}/r + ...$ .

Ich denke, das waren die Teile, die Sie nicht bekommen haben. Beachten Sie, dass wir drei der Gleichungen nicht verwendet haben. Das nächste, was der Typ tut, ist, einige zusätzliche Informationen aus diesen Gleichungen herauszukitzeln, aber das war nicht Ihre Frage, glaube ich. Wenn Sie Fragen zu meiner Antwort haben, stellen Sie sicher.

Also wähle ich eine Zahl (sagen wir n = 5) und gebe sie in Gleichungen ein, bis ich eine Gleichung erhalte, die mich ergibt $0\cdot\xi^\mu_n$ wobei n die Zahl ist, zu der ich von 5 gekommen bin. Dann schaue ich mir an, was der Koeffizient daneben ist $0\cdot\xi^\mu_n$ (im Falle von ( $rr$ ) Gleichung war es $\xi^r_1$ , und im Fall von ( $r\phi$ ) Gleichung war es $\xi^\phi_0$ ) und sagen, dass nur der Beitrag ungleich Null von diesem Koeffizienten in der Expansion geringer ist? Verstehe ich das richtig?
Danke, du hast mich wieder gerettet xD Ich muss verstehen, wie sie das bekommen, damit ich das im 4D-Fall mit extremer Kerr-Metrik in der Nähe des Horizonts verwenden kann, was komplizierter ist, und ich habe ein System von 10 Gleichungen wie diesem. Ich hoffe, ich kann ihr Ergebnis reproduzieren. Danke noch einmal :)

Erhalten von Diffeomorphismen aus Randbedingungen in AdS3AdS3AdS_3

dingo_d

QMechaniker

Antworten (1)

Brian Motten

dingo_d

Brian Motten

dingo_d

Hilfe beim Verständnis der Randbedingungen auf AdS3AdS3AdS_3

Asymptotische Symmetriealgebra

Randbedingungen aufgrund lokaler und globaler Diffeomorphismen

Finden von Superpotentialen und zentralen Ladungen in AdS3AdS3AdS_3

Diffeomorphismen und Randbedingungen

Diskontinuität metrischer Ableitungen im Israel-Junction-Formalismus

Welche Bedingung erfüllen globale Koordinaten?

Zeitliche Grenze

AdS-Raumgrenze und Geodäten

Satz von Stokes in Lorentzschen Mannigfaltigkeiten