AdS-Raumgrenze und Geodäten

Soweit ich verstehen konnte, scheinen Sie wissen zu wollen, ob zeitähnliche Geodäten die konforme Grenze von AdS erreichen können. Wenn dies der Fall ist (bitte bestätigen), lautet die Antwort nein - keine zeitähnliche Geodäte kann die konforme Unendlichkeit erreichen, sie wird vielmehr regelmäßig in regelmäßigen Abständen wieder in die Masse fokussiert. Um dies zu vermeiden, braucht man zeitgleiche Kurven mit etwas Beschleunigung. Maximal ausgedehnte Nullgeodäten (dh Lichtstrahlen) erreichen dagegen immer konform unendlich, sowohl in der Vergangenheit als auch in der Zukunft. Eine Veranschaulichung dieser Tatsachen unter Verwendung von Penrose-Diagrammen findet sich beispielsweise in Abschnitt 5.2, S. 131-134 des Buches von SW Hawking und GFR Ellis, "The Large Scale Structure of Space-Time" (Cambridge, 1973).

Die detaillierte Argumentation hinter dem obigen Absatz kann auf globale, geometrische Weise gesehen werden. Im Folgenden werde ich weitgehend der Argumentation folgen, die in dem Buch von B. O'Neill, "Semi-Riemannian Geometry - With Applications to Relativity" (Academic Press, 1983), insbesondere Proposition 4.28 und nachfolgende Bemerkungen, S. 112, präsentiert wird -113. Für diejenigen, die keinen Zugang zu O'Neills Buch haben, werde ich das in sich geschlossene Argument in allen Einzelheiten darlegen. Das werde ich ausnutzen$AdS_4$ist die universelle Hülle des eingebetteten Hyperboloids$H_m$($m>0$) in$\mathbb{R}^{2,3}=(\mathbb{R}^5,\eta)$

$$H_m=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ \eta(x,x)\doteq -x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-m\}\ .$$

Die Deckkarte$\Phi:AdS_4\ni(t,r,\theta,\phi)\mapsto (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)\in H_m\subset\mathbb{R}^{2,3}$durch die globalen Koordinaten$(t\in\mathbb{R},r\geq 0,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\phi<2\pi)$wird von gegeben

$$x_0=\sqrt{m(1+r^2)}\sin t\ ;$$ $$x_1=\sqrt{m}r\sin\theta\cos\phi\ ;$$ $$x_2=\sqrt{m}r\sin\theta\sin\phi\ ;$$ $$x_3=\sqrt{m}r\cos\theta\ ;$$ $$x_4=\sqrt{m(1+r^2)}\cos t\ .$$

Der Rückzug der umgebenden, flachen Pseudo-Riemannschen Metrik$\eta$oben definiert (mit Signatur$(-+++-)$) durch$\Phi$nach Beschränkung auf$H_m$ergibt die$AdS_4$Metrik in der Form, die in der Frage und in Pedro Figueroas netter Antwort erscheint, bis zu einem konstanten, positiven Faktor:

$$ds^2= m\left[-(m+r^2)dt^2+(m+r^2)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$

Die konforme Vervollständigung von$AdS_4$wiederum wird mittels der Änderung der radialen Variablen erhalten$u=\sqrt{m+r^2}-r$, so dass$r=\frac{m-u^2}{2u}$,$dr=-\frac{1}{u}(\frac{m+u^2}{2u})du$und$m+r^2=(\frac{m+u^2}{2u})^2$, nachgeben

$$ds^2=\frac{m}{u^2}\left[-\left(\frac{m+u^2}{2}\right)^2dt^2+du^2+\left(\frac{m-u^2}{2}\right)^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$

Konforme Unendlichkeit wird durch Nehmen erreicht$r\rightarrow+\infty$, was dasselbe ist wie$u\searrow 0$. Die neu skalierte Metrik$\Omega^2 ds^2$,$\Omega=m^{-\frac{1}{2}}u$ergibt das dreidimensionale statische Einstein-Universum als konforme Grenze (d. h$u=0$).

Es ist klar, dass$H_m$ist eine Ebenenmenge der Funktion$f:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}$gegeben von$f(x)=\eta(x,x)$. Also das Vektorfeld$X_x=\frac{1}{2}\mathrm{grad}_\eta f(x)=x$(wo$\mathrm{grad}_\eta$ist der bezüglich definierte Gradientenoperator$\eta$) ist überall normal$H_m$- das heißt, jeder Tangentenvektor$X_x\in T_x H_m$erfüllt$\eta(X_x,T_x)=0$. Gegeben sind zwei Vektorfelder$T,S$tangential zu$H_m$, die intrinsische kovariante Ableitung$\nabla_T S$an$H_m$ist einfach durch die tangentiale Komponente der umgebenden (flachen) kovarianten Ableitung gegeben$(\partial_T S)^a=T^b\partial_b S^a$:

$$\nabla_T S=\partial_T S-\frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\partial_T S+\frac{\eta(X,\partial_T S)}{m}X\ .$$

Die normale Komponente von$\partial_T S$, hat seinerseits aufgrund der Natur von eine besondere Form$H_m$(beachte das$\partial_a X^b=\partial_a x^b=\delta^b_a$):

$$\eta(X,\partial_T S)=\underbrace{\partial_T(\eta(X,S))}_{=0\ ;}-\eta(S,\partial_T X)=-\eta(S,T)\ \Rightarrow\ \frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\frac{\eta(S,T)}{m}X\ .$$

Daraus schließen wir, dass es sich um eine Kurve handelt$\gamma:I\ni\lambda\mapsto\gamma(\lambda)\in H_m$($I\subset\mathbb{R}$ist ein Intervall mit nicht leerem Inneren) ist eine Geodäte von$H_m$dann und nur dann, wenn$\frac{d^2\gamma(\lambda)}{d\lambda^2}(\lambda)\doteq\ddot{\gamma}(\lambda)$ist überall normal$H_m$, das ist,

$$\ddot{\gamma}(\lambda)=-\frac{1}{m}\eta(\ddot{\gamma}(\lambda),X_{\gamma(\lambda)})X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))\gamma(\lambda)\ .$$

Insbesondere wenn$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=0$, dann$\gamma$ist auch eine (Null-) Geodäte im Umgebungsraum$\mathbb{R}^{2,3}$.

Gegeben$x\in H_m$, die lineare Spanne von$X_x=x$und jedem Tangentenvektor$T_x\neq 0$zu$H_m$bei$x$definiert eine 2-Ebene$P(T_x)$durch den Ursprung von$\mathbb{R}^5$und enthält$x$. Mit anderen Worten,

$$P(T_x)=\{\alpha X_x +\beta T_x\ |\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}\ ,$$

und deshalb

$$P(T_x)\cap H_m=\{y=\alpha X_x+\beta T_x\ |\ \eta(y,y)=-\alpha^2 m+\beta^2\eta(T_x,T_x)=-m\}\ .$$

Dies erlaubt uns bereits eine Einordnung$P(T_x)\cap H_m$nach dem kausalen Charakter von$T_x$:

• $T_x$zeitgemäß (dh$-k=\eta(T_x,T_x)<0$): wir haben das$m\alpha^2+k\beta^2=m$mit$k,m>0$, somit$P(T_m)\cap H_m$ist eine Ellipse;
• $T_x$raumartig (dh$k=\eta(T_x,T_x)>0$): wir haben das$m\alpha^2-k\beta^2=m$mit$k,m>0$, somit$P(T_m)\cap H_m$ist ein Paar Hyperbeln, eine mit$\alpha>0$und der andere mit$\alpha<0$. Der Punkt$x=X_x$gehört zur ersten Hyperbel;
• $T_x$leicht (bzw$\eta(T_x,T_x)=0$): wir haben das$\alpha^2=1$mit$\beta$willkürlich, daher$P(T_m)\cap H_m$ist ein Paar gerader Linien, eine gegeben durch$\alpha=1$und die andere durch$\alpha=-1$. Der Punkt$x=X_x$gehört zur ersten Zeile. Beachten Sie, dass jede dieser Linien eine Null-Geodäte ist$H_m$und in$\mathbb{R}^{2,3}$!

Darüber hinaus,$x=\gamma(0)$und$T_x=\dot{\gamma}(0)$Definieren Sie eine allgemeine Anfangsbedingung für eine Geodäte$\gamma$beginnt um$x$. Es bleibt zu zeigen, dass jede Kurve, die drin bleibt$P(T_x)\cap H_m$ist ein geodätisches in$H_m$. Dies gilt eindeutig für$T_x$leicht, denn in diesem Fall haben wir das bereits abgeschlossen$\gamma(\lambda)=x+\lambda T_x$für alle$\lambda\in\mathbb{R}$. Für die restlichen Fälle (bzw$\eta(T_x,T_x)\neq 0$), betrachte a$\mathscr{C}^2$Kurve$\gamma$in$P(T_x)\cap H_m$beginnend bei$\gamma(0)=x$mit$\dot{\gamma}(0)=\dot{\beta}(0)T_x$(Wir nehmen an, dass$\dot{\gamma}(\lambda)\neq 0$für alle$\lambda$). Schreiben$\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$, schließen wir aus der obigen Klassifizierung von$P(T_x)\cap H_m$dass wir den Parameter wählen können$\lambda$so dass

• $T_x$zeitgemäß:$\alpha(\lambda)=\cos\lambda$,$\beta(\lambda)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sin\lambda$, so dass$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=-m$mit$\dot{\beta}(0)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$;
• $T_x$raumartig:$\alpha(\lambda)=\cosh\lambda$,$\beta(\lambda)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sinh\lambda$, so dass$\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=+m$mit$\dot{\beta}(0)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$.

In beiden Fällen kommen wir zu dem Schluss

$$\ddot{\gamma}(\lambda)=\frac{\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))}{m}\gamma(\lambda)\ ,$$

dh$\gamma$muss die geodätische Gleichung in erfüllen$H_m$mit der gewählten Parametrierung, wie gewünscht. Da jedes Paar von Anfangsbedingungen für eine Geodätische eine 2-Ebene durch den Ursprung auf die obige Weise bestimmt, schließen wir daraus, dass die resultierende Geodätische in$H_m$wird für immer in dieser 2-Ebene bleiben. Für die spätere Verwendung bemerke ich, dass alle Geodäten von$H_m$mindestens einmal die 2-Ebene kreuzen$P_0=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ x_1=x_2=x_3=0\}$- dies lässt sich leicht an der Einteilung der Sets ablesen$P(T_x)\cap H_m$. Damit können wir Anfangsbedingungen in vorschreiben $P_0$für alle Geodäten in$H_m$.

Jetzt haben wir vollständiges Wissen über die Geodäten im fundamentalen Bereich$H_m$von$AdS_4$. Was passiert, wenn wir zur universellen Bedeckung zurückkehren? Was passiert ist, dass die Auftriebe von raumähnlichen und lichtähnlichen Geodäten auf eine einzige Kopie des fundamentalen Bereichs beschränkt bleiben, während die Aufzüge von zeitähnlichen Geodäten dies nicht tun. Um dies zu sehen, nutzen wir die Tatsache aus, dass Übersetzungen in der Zeit koordinieren$t$sind Isometrien und die Bemerkung am Ende des vorigen Absatzes zu setzen

$$\gamma(0)=X_x=x=(0,0,0,0,\sqrt{m})$$ in $H_m$(dh $\gamma$wird gemacht, um zu beginnen $P_0$mit $t=0$), so dass $$\dot{\gamma}(0)=T_x=(y_0,y_1,y_2,y_3,0)\ .$$ Wir normalisieren auch $\eta(T_x,T_x)$zu $-m$, $+m$oder Null, je nachdem, ob $T_x$ist jeweils zeit-, raum- oder lichtartig. Noch einmal schreiben $\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$verwenden wir die Klassifikation der Geodäten in $H_m$durch ihren kausalen Charakter explizite Formeln zu schreiben $\gamma$:

• $T_x$zeitgemäß$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cos\lambda)X_x+(\sin\lambda)T_x$;
• $T_x$raumartig$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cosh\lambda)X_x+(\sinh\lambda)T_x$;
• $T_x$leicht$\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=X_x+\lambda T_x$.

Die obigen Ausdrücke zeigen, dass im raumartigen und lichtartigen Fall die letzte Komponente$\gamma(\lambda)_4$von$\gamma(\lambda)$geht nie auf Null, was durch Kontinuität impliziert, dass die Zeitkoordinate$t$bleibt im Intervall$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, daher der Auftrieb von$\gamma$zu$AdS_4$bleibt innerhalb einer einzigen Kopie seiner grundlegenden Domäne. Man sieht auch, dass die räumlichen Komponenten (1,2,3) von$\gamma(\lambda)$gehen Sie ins Unendliche als$\lambda\rightarrow\pm\infty$, somit$u\rightarrow 0$entlang dieser Geodäten als$\lambda\rightarrow\pm\infty$. Im zeitähnlichen Fall das gesamte Zeitintervall$[0,2\pi]$wird überspannt von$\gamma(\lambda)$wie$\lambda$erstreckt sich über das Intervall$[0,2\pi]$. Da die Kurve geschlossen ist, steigt ihr Auftrieb an$AdS_4$erstreckt sich über die gesamte Zeitlinie$\mathbb{R}$wie$\lambda$tut dies. Andererseits ist klar, dass in diesem Fall die räumlichen Komponenten von$\gamma(\lambda)$Schwingen Sie einfach innerhalb eines begrenzten Intervalls der Koordinate weiter$r$- daher die Koordinate$u$bleibt von Null weg begrenzt. Also eine zeitähnliche Geodäte$\gamma$entweicht niemals in die konforme Unendlichkeit.

Ich fange ganz von vorne an. Um die zu erhalten$AdS_4$metrisch nimmt man$\mathbb{R}^{2,3}$und die Quadrik einbetten

$$-(x^0)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2-(x^4)^2=-1$$ wobei die 1 auf der rechten Seite eine beliebige positive Konstante sein kann. Die Lösung (oder Parametrisierung) $$(x^0)^2+(x^4)^2=\cosh^2\sigma,\hspace{0.25in}(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=\sinh^2\sigma$$ mit $\sigma\in\mathbb{R}^+$, ist als globale Koordinaten bekannt (da sie die gesamte Quadrik abdeckt) und die induzierte Metrik nimmt die Form an $$ds^2=-\cosh^2\sigma\,dt^2+d\sigma^2+\sinh^2\sigma\,d\zeta^2\tag{1}$$ mit $t\in\mathbb{R}$für die Universalabdeckung (damit keine geschlossenen Zeitkurven entstehen) und $d\zeta^2$die Metrik von $S^2$. Mit dem Koordinatenwechsel $r=\sinh\sigma$Die Metrik nimmt die Form an $$ds^2=-f(r)\,dt^2+f^{-1}(r)\,dr^2+r^2\,d\zeta^2,\hspace{0.25in}f(r)=1+r^2\tag{2}$$ mit $r\in\mathbb{R}^+$, was dem ähnlich ist, was Sie geschrieben haben und wie es normalerweise geschrieben wird (Sie können angeben, an welchen Koordinaten Sie arbeiten), also bleibe ich einfach dabei.

Was Sie also tun möchten, ist zu überprüfen, was mit Geodäten passiert. Aufgrund der Rotations- oder Kugelsymmetrie können Sie die Kugel einfach in beliebigen Winkeln fixieren$S^2$, so dass$d\zeta^2=0$, es spielt keine Rolle, welchen du nimmst, es wird derselbe sein; Wenn Leute dies in einem Penrose-Diagramm visualisieren, sagen sie, dass jeder Punkt im Diagramm repräsentiert$S^2$.

Für Null-Geodäten, wie$ds^2=0$, wobei ein affiner Parameter angenommen wird$\lambda$, von (2),

$$(1+r^2)\dot{t}^2=(1+r^2)^{-1}\dot{r}^2\tag{3}$$ Ebenso wie $\partial_t$(also den Vektor mit Komponenten $V^t=1$, $V^i=0$) ist ein globaler Tötungsvektor, Sie haben die Konstante $$V_t\dot{t}=g_{t\alpha}V^\alpha\dot{t}=-(1+r^2)\,\dot{t}\equiv-E\tag{4}$$ (was ein $t$-Translationsinvarianz, kann als Energieerhaltung angesehen werden). Auf diese Weise wird dann unter Verwendung von (3) und (4) $$E^2=\dot{r}^2$$ und dann für ausgehende Lichtstrahlen, $$r=E\lambda$$ und $\lambda\to\infty$wie $r\to\infty$, was in Ordnung ist, da es bedeutet, dass der Raum sowieso geodätisch vollständig ist, wenn Sie diese Lösung und (4) verwenden, erhalten Sie $$t=\arctan(E\lambda)$$ also für $\lambda\to\infty$, $t=\pi/2$, so dass ein Lichtstrahl eine endliche Koordinatenzeit benötigt, um die Unendlichkeit zu erreichen.

Bei zeitähnlichen Geodäten können Sie analog vorgehen, z$ds^2=-1$(da die Signatur -+++ ist), dann, wenn Sie so wollen, die richtige Zeit verwenden$\tau$,

$$\dot{r}^2+(1+r^2)-E^2=0$$ wofür $r(0)=0$, $\tau\in(-\pi/2,\pi/2)$(Sein $r>0$), $$r=\sqrt{E^2-1}|\sin\tau|$$ und somit $r$ist begrenzt. Nun, ich hatte das vorher noch nie gemacht, und ich versuche herauszufinden, warum zB wenn $E=\pm1$, dann $r=0$(wenn im Allgemeinen ein Satz $ds^2=-\alpha$mit $\alpha>0$man bekommt das dafür $E=\pm\alpha$), aber die Hauptsache hier ist das $r$ist begrenzt. Sie können dies auch mit der Koordinatenzeit unter Verwendung von (4) überprüfen.

Wenn Sie sich, wie Sie sagen, mit Schwarzen Löchern befassen, könnten Sie vielleicht die Schwarzschild-AdS-Metrik nehmen:$f(r)=1+r^2-\frac{2M}{r}$in (2) und versuchen Sie dasselbe.