Wie definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten in einem konform transformierten Raum?

Question

Wie definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten in einem konform transformierten Raum?

Drake Marquis

Betrachten Sie eine bestimmte konforme Transformation $x^\mu\rightarrow x'^\mu$ , und die Metrik eines flachen Raums transformiert sich wie folgt:

η_{μ v} \to G_{μ v}^{'} = Λ^{2} (X) η_{μ v} .

$\eta_{\mu\nu}\rightarrow g'_{\mu\nu}=\Lambda^2(x)\eta_{\mu\nu}.$

Eine spezielle konforme Transformation (SCF) hat folgende Form:

\begin{matrix} (4.15d) & X^{' μ} = \frac{X^{μ} - B^{μ} X^{2}}{1 - 2 B \cdot X + B^{2} X^{2}} \end{matrix}

$x'^\mu=\frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1-2b\cdot x+b^2 x^2}\tag{4.15d}$

Hier, Vektor $b^\mu$ parametrisiert SCF, und $x^2$ Und $b\cdot x$ werden mit definiert $\eta_{\mu\nu}$ . Es stellt sich heraus, dass $\Lambda(x)$ ist der Nenner.

OK. Nach der Conformal Field Theory von Di Francesco ist eine Beziehung gegeben (Gl. (4.22)):

\begin{matrix} (4.22) & | X_{ich}^{'} - X_{J}^{'} | = \frac{| X_{ich} - X_{J} |}{\sqrt{Λ (X_{ich}) Λ (X_{J})}} . \end{matrix}

$|x'_i-x'_j|=\frac{|x_i-x_j|}{\sqrt{\Lambda(x_i)\Lambda(x_j)}}. \tag{4.22}$

Hier, $x_i,x_j$ stellt zusammen die Koordinaten zweier beliebiger Punkte im ursprünglichen Koordinatensystem dar. Das ist, $x_i=(x_i^1, x_i^2, ...)$ . Und $x'_i,x'_j$ sind Koordinaten bezogen auf $x_i,x_j$ über den SCF. ${|x_i-x_j|}$ ist anscheinend die Entfernung.

Die Autoren nennen auch die linke Seite der obigen Gleichung eine Distanz! Aber die transformierte Metrik $g'_{\mu\nu}$ ist nicht mehr platt. Der Abstand zwischen jedem Paar endlich getrennter Punkte ist also nicht genau definiert, es sei denn, es wird ein Pfad von einem Punkt zum anderen angegeben. Wie ist dieser Abstand (die LHS) zu verstehen?

Valter Moretti

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist in jeder zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert, er ist nichts anderes als der

inf

$\inf$ der Länge der Kurven, die die beiden betrachteten Punkte verbinden. Es macht also Sinn, sich auf die Metrik zu beziehen

g_{μ ν}^{'}

$g'_{\mu\nu}$ , zu. Ich weiß jedoch nicht, ob dieser Abstand mit der rechten Seite der von Ihnen zitierten Identität übereinstimmt. Ich denke schon, da es höchstens eine Metrik gibt, die zu einem bestimmten quadratischen Abstand führt, und es ist offensichtlich, dass die rechte Seite der Identität reproduziert wird

g_{μ ν}^{'}

$g'_{\mu\nu}$ für

x_{i}

$x_i$ Und

x_{j}

$x_j$ ausreichend nahe beieinander.

Drake Marquis

@ValterMoretti Hoffentlich das

inf

$\inf$ stimmt mit der LHS überein. Leider sind die geodätischen Gleichungen wirklich kompliziert und schwer zu lösen...

Antworten (1)

Wie definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten in einem konform transformierten Raum?

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist in jeder zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert, er ist nichts anderes als der $\inf$ der Länge der Kurven, die die beiden betrachteten Punkte verbinden. Es macht also Sinn, sich auf die Metrik zu beziehen $g'_{\mu\nu}$ , zu. Ich weiß jedoch nicht, ob dieser Abstand mit der rechten Seite der von Ihnen zitierten Identität übereinstimmt. Ich denke schon, da es höchstens eine Metrik gibt, die zu einem bestimmten quadratischen Abstand führt, und es ist offensichtlich, dass die rechte Seite der Identität reproduziert wird $g'_{\mu\nu}$ für $x_i$ Und $x_j$ ausreichend nahe beieinander.
@ValterMoretti Hoffentlich das $\inf$ stimmt mit der LHS überein. Leider sind die geodätischen Gleichungen wirklich kompliziert und schwer zu lösen...

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zum Beitrag (v2):

Ref. 1 erwägt die $d$ -dimensionaler realer euklidischer Raum $(\mathbb{R}^d,|\cdot|^2)$ mit der Standardnorm
$\begin{matrix} (A) & | X |^{2} := \sum_{μ = 1}^{D} (X^{μ})^{2} = \sum_{μ, v = 1}^{D} X^{μ} η_{μ v} X^{v}, η_{μ v} = D ich A G (1, \dots, 1), \end{matrix}$ $|x|^2~:=~\sum_{\mu=1}^d (x^{\mu})^2~=~\sum_{\mu,\nu=1}^d x^{\mu}\eta_{\mu\nu}x^{\nu}, \qquad \eta_{\mu\nu} ~=~{\rm diag}(1,\ldots, 1),\tag{A}$ und inneres Produkt $\begin{matrix} (B) & ⟨ X, j ⟩ := \sum_{μ, v = 1}^{D} X^{μ} η_{μ v} j^{v} . \end{matrix}$ $\langle x ,y\rangle~:=~\sum_{\mu,\nu=1}^d x^{\mu}\eta_{\mu\nu}y^{\nu} .\tag{B}$
Wir betonen, dass die Metrik fest und gleich ist, induziert von der Standardnorm (A). (Allerdings nimmt es wie immer unterschiedliche explizite Formen in verschiedenen Koordinatensystemen an.)
Aus der SCT (4.15d) folgt dies
$\begin{matrix} (C) & | X^{'} |^{2} = \frac{| X |^{2}}{Λ (X)^{2}} . \end{matrix}$ $|x^{\prime}|^2~=~\frac{|x|^2}{\Lambda(x)^2}. \tag{C}$ Zusammen mit einer ähnlichen Berechnung des inneren Produkts $\langle x^{\prime} ,y^{\prime}\rangle$ , lässt sich Gl. (4.22): $\begin{matrix} (4.22) & | X^{'} - j^{'} |^{2} = \frac{| X - j |^{2}}{Λ (X) Λ (j)} . \end{matrix}$ $|x^{\prime}-y^{\prime}|^2~=~\frac{|x-y|^2}{\Lambda(x)\Lambda(y)}. \tag{4.22}$
Aus Gl. (4.22) folgt direkt, dass die SCT (4.15d) eine konforme Abbildung ist

\begin{matrix} (D) & D S^{' 2} = \frac{D S^{2}}{Λ (X)^{2}} . \end{matrix}

$ds^{\prime 2}~=~\frac{ds^2}{\Lambda(x)^2}. \tag{D}$

Verweise:

P. Di Francesco, P. Mathieu und D. Senechal, CFT, 1997.

Danke für die Bearbeitung meines Beitrags. Zu Ihrem Punkt 3, meine Frage ist eigentlich zu fragen, ob dieses Symbol $|x'_i-x'_j|$ stellt die Entfernung dar, die unter Verwendung der neuen Metrik gemessen wurde $g'_{\mu\nu}$ . Wenn ja, wie beweist man die Beziehung (4.22). Es scheint mir schwierig zu sein.
In Bezug auf Ihren neuen Punkt 3 ist die Beziehung (C) leicht zu überprüfen, aber was ist das innere Produkt $\langle x',y'\rangle$ ?
Sie geben mir das innere Produkt im ursprünglichen Koordinatensystem, aber nicht das transformierte. Meinst du $\langle x',y'\rangle=x'^\mu\eta_{\mu\nu}x'^\nu$ , anstatt $\langle x',y'\rangle=x'^\mu g'_{\mu\nu}x'^\nu$ , wegen deinem Punkt 2? (Der zweite Ausdruck ist natürlich schlecht definiert)
Großartig. Es sieht so aus, als ob wir die konforme Transformation als eine aktive Transformation statt als eine passive betrachten sollten.
Ich denke (C) ist falsch. Wegen Konsistenz mit (4.22) ist die Potenz von $\Lambda(x)$ sollte sein $-1$ .

Wie definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten in einem konform transformierten Raum?

Drake Marquis

Valter Moretti

Drake Marquis

Antworten (1)

QMechaniker

Drake Marquis

Drake Marquis

QMechaniker

Drake Marquis

QMechaniker

Drake Marquis

Ivan Burbano

Können die Wurzeln des Raumzeitintervalls linear addiert werden?

Konforme Transformation / Weyl-Skalierung sind das zwei verschiedene Dinge? Verwirrt!

'Mehrdeutigkeit' dualer Vektoren {dxi}{dxi}\{dx^i\} im Kotangensraum in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Sollte nicht jede Koordinatentransformation Winkel zwischen Vektoren erhalten? Wenn ja, warum ist dann die konforme Transformation etwas Besonderes?

Diffeomorphismus & Weyl-Transformationen im 2D-Weltblatt der Stringtheorie und die Existenz konformer Eichmaße

Was ist die Euler-Dichte?

Warum brauchen wir eine Metrik, um den Gradienten zu definieren?

Interpretation normaler Koordinaten

S-Matrix in N=4N=4\mathcal{N}=4 Super-Yang-Mühlen

Tachyon-Vertexoperator (Polchinskis Buch)