Kann die Gleichung der maximalen Gesamtamplitude An=A21+A22+2A1A2cos(Δϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√An=A12+A22+2A1A2cos⁡(Δϕ) A_n=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)} verwendet werden, obwohl die Wellen nicht in der gleichen Linie liegen

Lassen$S_1$Und$S_2$am selben Punkt platziert werden die Quelle von zwei Wellen sein, die sich in derselben Linie ausbreiten, auch die Phasendifferenz zwischen den beiden Wellen$\Delta\phi=0$. Die Gleichung der beiden Wellen ist gegeben durch$y_1=A_1\sin(\omega t-kx)$Und$y_2=A_2\sin(ωt-kx)$bzw.

Jetzt auf Distanz$x_1$aus den Quellen werden die Gleichungen der SHM eines Teilchens

$$\begin{align} y_1=A_1\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 1)} \\ y_2=A_2\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 2)} \end{align}$$ die resultierende Gleichung von SHM wird durch einfaches Addieren der beiden Gleichungen gegeben $$y_n=A_1\sin(\omega t-kx_1)+A_2\sin(\omega t-kx_2)$$

Wie in meinem Buch geschrieben, kann die Gleichung wie verdrängt werden$y_n=A_n\sin(\omega t-kx_1-\theta)$Wo$A_n$ist die maximale Nettoverschiebung aufgrund der beiden Wellen und$\theta$Phasendifferenz ist. Finden$A_n$Und$\theta$, Wir behandeln$A_1$Und$A_2$als Vektor und bedenken Sie, dass der Winkel zwischen ihnen gleich der Phasendifferenz von zwei SHM ist$\Delta\phi$.

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$$A_n =\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)}.$$ Die Gleichung ist gut, wenn die Wellen in der gleichen Linie sind. Weil wenn$\Delta\phi=0$dann addieren sich die Verschiebungen für die einzelnen Wellen einfach und ergeben die Gesamtverschiebung, die auch durch die obige Gleichung gefunden werden kann $$A_n= \sqrt{(A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(0)}= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2} =A_1+A_2$$

Auch ist die Formel wirksam, wenn die Wellen in der gleichen Linie liegen und sich die Phase zweier SHM dadurch unterscheidet$\pi$da hier die Gesamtverschiebung die Subtraktion von zwei Verschiebungen aufgrund der einzelnen Wellen ist. Ich glaube, dass die Gleichung für alle anderen Fälle gültig ist, in denen die Wellen in derselben Linie liegen, obwohl ich keinen Grund für den Winkel dazwischen finde$A_1$Und$A_2$Die Verschiebung wäre aufgrund der Wellen gleich der Phasendifferenz zweier SHM.

Obwohl ich in den beiden obigen Fällen gesehen habe, ist es uneingeschränkt anwendbar, dass, wenn die Phasendifferenz 0 ist, die Richtungen der beiden Verschiebungen gleich sind und wenn die Phasendifferenz gleich ist$\pi$, können wir die geringfügige Verschiebung vom Mazor abziehen, da die Richtung der Verschiebungen entgegengesetzt ist. Diese beiden Fälle zeigen, dass wir es aushalten können$A_1$Und$A_2$als Vektor auch Phasendifferenz$\Delta\phi$kann als Winkel zwischen genommen werden$A_1$Und$A_2$. Aber wenn wir an andere Fälle denken, in denen die Phasendifferenz nicht vorhanden ist$0$oder$\pi$aber der Winkel zwischen der Verschiebung ist entweder$0$oder$\pi$(Wenn die Teilchen in die gleiche Richtung gehen wie der Winkel$0$und wenn sie entgegengesetzt gehen, ist der Winkel$\pi$) (Anmerkung – ich gehe davon aus, dass die Wellen in derselben Linie liegen)

Warum verwenden wir dann in diesen Fällen die Phasendifferenz?$\Delta\phi$als Winkel dazwischen$A_1$Und$A_2$statt$0$Und$\pi$.

Ein weiteres Problem mit der Gleichung finde ich, wenn ich an einen solchen Fall denke, in dem die Wellen nicht in derselben Linie liegen.

Sei die Gleichung zweier Wellen$y_1=A_1\sin(\omega t-kx)$Und$y_2=A-2\sin(\omega t-kx)$bzw. Jetzt überlagern sich die beiden Wellen an einem Punkt$P$mit dem Winkel$\pi/2$bedeutet, dass die Wellen senkrecht zueinander stehen. Lassen Sie die von der ersten Welle zurückgelegte Strecke bis zum Punkt erreichen$P$gleich der Entfernung sein, die von der zweiten Welle zurückgelegt wird, um den Punkt zu erreichen$P$. Wenn die Entfernung ist$x_1$
dann die Gleichung von SHM eines Teilchens auf Punkt$P$(der Punkt der Überlagerung) werden

$$\begin{align} y_1=A_1\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 1)} \\ y_2=A_2\sin(\omega t-kx_1) \quad \text{(for wave 2)} \end{align}$$

Wir können deutlich sehen, dass die Phasendifferenz zwischen zwei SHM$\Delta\phi$Ist$0$als Wegunterschied$∆x$Ist$0$.

Also laut meinem Buch ist die Gleichung der resultierenden SHM gegeben durch

$$\begin{align} y_n&=y_1+y_2 \\ &=A_1\sin(\omega t-kx_1)+A_2\sin(\omega t-kx_2) \\ &=A_n\sin(\omega t-kx_1-θ) \end{align}$$

Und

$$\begin{align} A_n&=\sqrt{(A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)} \\ &=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(0)} \quad \text{(as phase difference is 0)} \\ &=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2)} \\ &=A_1+A_2 \end{align}$$

Aber wenn wir uns die Situation vorstellen, finden wir den Winkel dazwischen$A_1$Und$A_2$Ist$\pi/2$da sich die Wellen um den Winkel von überlagern$\pi/2$. Also der Wert von$A_n$sollte gleich sein

$$\begin{align} A_n&= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(π/2)} \\ &=\sqrt{A_1^2+A_2^2} \quad \text{(as two SHM are same phase so when $y_1=A_1$, $y_2=A_2$)} \end{align}$$

Das stimmt nicht mit dem oben Gesagten überein, das ich mit meiner Buchformel erhalten habe.

Bitte erläutern Sie die beiden Dinge

• Warum nehmen wir den Winkel zwischen den Vektoren A&sub1; und A&sub2; gleich als Phasendifferenz von zwei SHM mit mittleren Teilchen am Überlagerungspunkt.
• Kann die Gleichung der gesamten maximalen Amplitude$Aₙ=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\phi)}$verwendet werden, obwohl die Wellen nicht in der gleichen Linie sind.