Die Auswirkungen der Anfangsbedingung auf die Green-Funktion

In der Literatur wird zum Beweis der Existenz der Green-Funktion für lineare Systeme argumentiert, dass wenn für eine lineare Differentialgleichung wie

D [ j ] = ∑ N = 0 N A N j ( N )

j ( 0 ) = j 0 , j ' ( 0 ) = j 1 , . . . j N − 1 ( 0 ) = j N − 1

wenn wir die Antwort des Delta-Eingangs kennen δ ( T − T 0 ) wir können die Antwort für eine beliebige zeitabhängige Eingabe konstruieren und hier ist die Beweisskizze:

Angenommen, wir kennen eine Funktion G ( T , T ' ) das ist die Antwort der Gleichung

D [ G ] = ∑ N = 0 N A N G ( N ) = δ ( T − T ' )

und erfüllt dann alle Randbedingungen für jede beliebige Eingabe, da F ( T ) = ∫ F ( T ' ) δ ( T − T ' ) D T ' wir können sagen, verwenden Sie die Linearität von D und sag

D [ ∫ F ( T ' ) G ( T , T ' ) D T ' ] = D [ j ( T ) ] = ∫ F ( T ' ) δ ( T − T ' ) D T ' = F ( T )

Bis hierher ist alles klar, aber ich sehe nicht, wie sich die Anfangsbedingung auf die Antwort auswirken wird j ( T ) . Mit anderen Worten, ich denke, für eine vollständige Antwort müssen wir den folgenden Ausdruck angeben:

j ( 0 ) = ∫ 0 ∞ G ( 0 , T ' ) F ( T ' ) D T ' = j 0

j ' ( 0 ) = ∫ 0 ∞ G ' ( 0 , T ' ) F ( T ' ) D T ' = j 1

j ″ ( 0 ) = ∫ 0 ∞ G ″ ( 0 , T ' ) F ( T ' ) D T ' = j 2

. . .

Diese zusätzlichen Einschränkungen , die durch Anfangsbedingungen erzwungen werden, werden nie diskutiert, wenn die Anfangsbedingungen nicht Null sind (wenn alle Null sind, werden diese Gleichungen automatisch erfüllt).

Jetzt bin ich völlig verwirrt, weil diese Einschränkungen eine Art Normalisierung der Funktion auferlegen F Und G was kein sinn ist. Ich freue mich über jede Hilfe, die die letzten Ausdrücke, ihre Intuition und die Art und Weise, wie Menschen damit umgehen, erklärt.

Dies sind keine Einschränkungen F ( T ) , sondern eindeutig zu definieren G Damit ist nicht nur die Gleichung erfüllt, sondern auch die Anfangsbedingungen.
Sie haben recht, denn die F ( T ) ist in der Tat willkürlich. Doch mein Problem besteht immer noch @Vladimir
Ohne irgendwelche Anfangsbedingungen aufzuerlegen G , die Funktion des Grüns haben N willkürliche Integrationskonstanten aufgrund der Ordnung der Differentialgleichung N . Es führt zu willkürlichen Anfangsbedingungen für j und seine Derivate, ggf j wird über ausgedrückt F Und G . Um also einen gegebenen Satz von Anfangsbedingungen zu erhalten, muss man sie auferlegen G . Ansehen G wie bei einer Lösung Ihrer Gleichung.
Sie schlagen also vor, dass die Anfangsbedingungen nur zur Bestimmung verwendet werden müssen G und nicht für die Reaktion auf willkürliche Eingaben j ( T ) ?
Ganz im Gegenteil: sobald Sie ausdrücken j über G , es bedeutet die Angabe der Anfangsbedingungen für j . Sehen Sie, die Differentialgleichung kann viele Lösungen haben, abhängig von den Anfangsbedingungen. Oder Sie konstruieren j direkt, entweder über G , haben Sie die gleiche Willkür, ohne die Anfangsbedingungen anzuwenden.
Welche Literatur?
Nun, ich habe nur ein paar Bücher gelesen, die einen Teil dieses Problems behandeln. Zum Beispiel löst Marions Klassische Mechanik ein Beispiel mit Null-Anfangsbedingung, wenn es um die Green-Funktion geht, genauso wie Grestners Neuronale Dynamik und Sadri Hassanis Mathematische Physik. Der letzte greift zwar Nicht-Null-BC-Probleme an, aber nicht den IVP.

Antworten (1)

Dank der Hinweise und ein wenig Recherche bin ich in Sadri Hassanis Buch Mathematische Physik fündig geworden . Ich versuche Schritt für Schritt zu erklären.

Da die ODE inhomogen ist und auch inhomogene Anfangswerte hat, besteht die Konvention zunächst darin, sie (dank der Linearität) in zwei Funktionen zu zerlegen j H Und j ich welche die homogene bzw. inhomogene Antwort des Problems sind. Bei dieser Zerlegung müssen wir uns auch um Anfangswerte kümmern.

Hier kommt die zweite Konvention, die die Anfangswerte umfasst. Wir bitten um die Anfangswerte für j ich null (homogen), aber ungleich null (nicht homogen) sein für j H .

Also das ursprüngliche Problem von

D [ j ( T ) ] = δ ( T − T 0 )   ;   j ( N ) ( 0 ) = j N ∀ N = 0 , . . . , N − 1

wird transformiert, um a zu finden j H Und j ich so dass j = j H + j ich Und

D [ j H ( T ) ] = 0   ;   j ( N ) ( 0 ) = j N ∀ N = 0 , . . . , N − 1 D [ j ich ( T , T 0 ) ] = δ ( T − T 0 )   ;   j ( N ) ( 0 ) = 0 ∀ N = 0 , . . . , N − 1

Das erste Problem ist einfach. Man kann die charakteristische Gleichung lösen, um die Potenzen der Exponentialterme zu erhalten, und ein lineares System lösen, um die Koeffizienten zu finden, die die allgemeine Lösung bilden j H ( T ) Passen Sie die Anfangswerte an. Notiere dass der j H ( T ) ist eine Funktion von T nur.

Die zweite kann dank der Magic of Green-Funktion gelöst werden. dh wir können nach a suchen G ( T , T ' ) das erfüllt den zweiten Ausdruck, der in der Praxis viel einfacher ist als das, was ich in der Frage erwähnt hatte, die alle Anfangsbedingungen erfüllen würde. Vorausgesetzt, wir finden solche G , wir können die schreiben j ich wie nachstehend:

j ich ( T ) = ∫ 0 ∞ F ( T ' ) G ( T , T ' ) D T '

und seit jetzt G ( 0 , T ' ) , G ' ( 0 , T ' ) , G ″ ( 0 , T ' ) , . . . sind alle Null, j ich und alle Ableitungen sind Null, konsistent mit der obigen Gleichung.

PS: Ich war mehr an einer allgemeinen Routine interessiert, die für alle Anfangs- / Randbedingungen unter Verwendung der Green-Funktionstechnik die allgemeine Antwort für beliebige Eingaben erzeugt. Obwohl dieses Rezept für dieses spezifische Problem funktioniert, ist es irgendwie gut konstruiert und ich denke, es ist vielleicht nicht der allgemeinste Fall. Der Grund, warum ich dieses Rezept nicht allgemein fand, ist, dass die Zerlegung, die ich an erster Stelle durchgeführt habe, für andere Fälle möglicherweise nicht nützlich ist.

Und um zu zeigen, was ich mit einem allgemeinen Fall meine, möchte ich lieber das folgende Problem ansprechen. Nehmen Sie das gleiche Problem an, aber diesmal mit Randbedingungen anstelle von Anfangswerten:

D [ j ( X ) ] = ∑ N = 0 N A N j ( N ) ( X ) = F ( X )

j ( X 0 ) = j 0 , j ( X 1 ) = j 1 , . . . j ( X N − 1 ) = j N − 1

Können wir die Antwort mit ähnlichen Maschinen konstruieren? Was ist, wenn die BCs Derivate enthalten (ob erster Ordnung oder höher)?

PSS: Ich habe noch nicht darüber nachgedacht, aber ich freue mich, wenn mir jemand in den Kommentaren einen Hinweis darauf gibt.

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