Über Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Betrachten Sie ein Quantensystem, das durch die Wellenfunktion beschrieben wird$\psi({\bf x}, t)$und einem zeitunabhängigen gewöhnlichen Potential ausgesetzt$V({\bf x})$. Die relative Schrödinger-Gleichung hat die Form:

$$\underbrace{\left (-\frac {\hbar ^2 \nabla ^2}{2m} + V({\bf x}) \right)}_{\hat H ({\bf x}, \ {\bf p})} \psi({\bf x}, t) = i \hbar \frac \partial {\partial t}\psi({\bf x}, t)$$

Unter Verwendung der Variablentrennung schreiben wir die Lösung als$\psi({\bf x}, t) = \varphi ({\bf x}) \ \phi(t)$, Wo:

• $\phi(t) = \exp(-\frac i \hbar Et)$löst die Gleichung$\displaystyle i \hbar \frac d {dt} \phi(t) = E \phi(t)$, mit$E$Konstante.
• $\varphi({\bf x})$löst die Gleichung$H({\bf x},{\bf p}) \varphi ({\bf x})= E \varphi({\bf x})$

Frage . Ist das die allgemeinste Lösung? Oder ist es nur eine bestimmte für eine bestimmte Vermutung (eine faktorisierte Lösung)?