Behandlung des Delta-Potentials in einer Schrödinger-Gleichung in 1D

Das Verteilungsproblem der Multiplikation einer Dirac-Delta-Verteilung mit einer nicht glatten Wellenfunktion$\psi$kann vermieden werden, indem die TISE als Integralgleichung umgeschrieben wird, vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .

Wörtlich genommen,$\hat H = -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + \lambda \delta(x)$ist kein echter Betreiber auf$L^2(\mathbb R)$. Man kann dies sehen, indem man bemerkt, dass selbst wenn man den Ausdruck verstehen könnte$\delta(x)\psi(x)$, die Funktion

wäre nicht quadratintegrierbar.

Betrachten Sie stattdessen das freie Teilchen auf dem Hilbert-Raum$L^2\bigg((-\infty,0)\cup(0,\infty)\bigg)$, mit Innenprodukt

Für das freie Standardteilchen auf einer Linie verschwindet dieser Randterm, weil wenn$\psi$Und$\phi$zweimal (schwach) differenzierbar sind, dann müssen sie und ihre ersten Ableitungen zumindest stetig sein. Auf diesem Hilbert-Raum ist es jedoch möglich, dass zweifach differenzierbare Funktionen völlig unterschiedliche Grenzwerte haben, wie z$x\rightarrow 0$von links und rechts.

Wenn$\hat H$hermitesch sein soll, dann ist der Bereich, der aus zweimal differenzierbaren Funktionen besteht, deren zweite Ableitungen quadratintegrierbar sind (was der Standardbereich in der$L^2(\mathbb R)$Fall) ist zu groß. Wir müssen Einschränkungen in Form von Randbedingungen hinzufügen, um sicherzustellen, dass der Randterm verschwindet.

Sie können die Randbedingungen überprüfen

mit$\alpha\in \mathbb C$Und$\lambda\in\mathbb R$ausreichen, um den unerwünschten Randterm zu töten. Dies ist jedoch genau der Satz von Randbedingungen, der sich aus der ergibt$\delta(x)$Potenzial.

Zusammenfassend sehen wir, dass das freie Teilchen auf der unterbrochenen Linie eine bestimmte Art von Randbedingung im Bereich des Hamilton-Operators am Unterbrechungspunkt erfordert, um$\hat H$Hermitesch sein. Es gibt mehrere Auswahlmöglichkeiten, die man treffen könnte (z. B. könnte man das verlangen$\psi(x)\rightarrow 0$als$x\rightarrow 0$), aber wenn wir verlangen, dass (i)$\psi$nähert sich dem gleichen Wert von links und rechts, und (ii)$\psi'$haben dann eine Sprungdiskontinuität, die gleich einer reellen Zahl multipliziert mit der oben erwähnten Grenze ist$\hat H$wird hermitesch sein.

Andererseits erhalten wir die gleichen Bedingungen, wenn wir den Hamilton-Operator betrachten$\hat H = -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + \lambda \delta(x)$auf dem Hilbertraum$L^2(\mathbb R)$, solange wir nicht zu viele Fragen stellen$\hat H$am Punkt$x=0$. Wir können daher die etwas lockere Delta-Funktion Hamiltonian als ein "Rezept" betrachten, das uns das gleiche Ergebnis liefert wie das strengere - aber auch etwas ärgerlichere - freie Teilchen auf einer unterbrochenen Linie.