Nicht separierbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Ich studiere einen Grundkurs in Quantenmechanik und habe einige Zweifel an der Lösung der Schrödinger-Gleichung durch die Methode der Variablentrennung. Nehmen wir an, dass die Lösungen die Form haben

Ψ ( x , t ) = T ( t ) ψ ( x )
wir erhalten zwei Gleichungen, die erste gibt den Phasenfaktor der Zeitentwicklung an T n ( t ) = e − ich E n t / ℏ und zum anderen die "Ortswellenfunktion" ψ n ( x ) .

Also haben alle separablen Lösungen die Form

Ψ n ( x , t ) = e − ich E n t / ℏ ψ n ( x )
und diese repräsentieren die stationären Zustände.

Wenn wir diese Lösungen summieren, können wir sogar nicht separierbare Lösungen erhalten

Ψ = ∑ C n ψ n T n .

Aber ich kann kein Postulat oder Theorem finden, das besagt, dass jede Lösung der Schrödinger-Gleichung in dieser Form ausgedrückt werden kann.

Sind alle möglichen Lösungen der Gleichung durch (unendliche) Summe trennbarer Lösungen ausdrückbar?

Wenn ich mich richtig an Mathematikkurse erinnere, kann dies mit der Frage ausgedrückt werden, ob die Eigenvektoren der Hamilton-Operatoren ein vollständiger Satz (Basis) des Hilbert-Raums sind.

Und im Fall von kontinuierlichem Spektrum?

Antworten (2)

Dies ist tatsächlich nur in einigen Situationen möglich, zB wenn das kontinuierliche Spektrum fehlt (es kann auch aus einem einzelnen Punkt bestehen, siehe Kommentar von Valter Moretti unten). Eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass entweder der Hamiltonoperator kompakt ist oder eine kompakte Auflösung hat.

Leider erfüllen nur sehr wenige interessante Hamiltonoperatoren diese Eigenschaft (ein Beispiel ist der harmonische Oszillator). Im Allgemeinen existiert die Lösung der Schrödinger-Gleichung für jede Anfangsbedingung ψ 0 ∈ H (der Hilbert-Raum) unter Verwendung der unitären stark kontinuierlichen Gruppe mit einem Parameter e − ich t H dem selbstadjungierten Hamiltonoperator zugeordnet H nach dem Satz von Stone. Die Lösung zu jeder Zeit t ∈ R wird dann einfach geschrieben

ψ ( t ) = e − ich t H ψ 0 .
Eine solche Lösung ist zeitkontinuierlich und in Bezug auf Anfangsdaten, aber zeitlich nur differenzierbar, wenn ψ 0 ∈ D ( H ) , wo D ( H ) ist der Definitionsbereich des selbstadjungierten Operators H . In der Sprache der Analyse von PDEs bedeutet dies, dass die Schrödinger-Gleichungen für selbstadjungierte Hamiltonoperatoren global gut aufgestellt sind H .

Ein kleiner Kommentar: Wenn der Hamiltonoperator tatsächlich kompakt ist 0 kann ein Punkt (der einzige) des kontinuierlichen Spektrums sein, auch wenn es kein Problem mit der Entwicklung bezüglich der Hilbert-Basis von Eigenvektoren gibt ...
@ValterMoretti was meinst du mit " 0 kann ein Punkt sein"? Null Energie? Oder ψ = 0 ? Oder etwas anderes?
Ich meine null Energie, aber keinen entsprechenden gebundenen Zustand.
Danke, mit etwas mehr Graben verstehe ich das Thema etwas besser. Da ich jedoch einen Einführungskurs besuche und nicht die Gelegenheit hatte, die Funktionalanalysis gründlich zu studieren, könnten Sie auf einfache Weise beschreiben, wie ich feststellen kann, ob der Hamilton-Operator meines physikalischen Problems entweder kompakt ist oder nicht?
@skdys Leider kenne ich keinen einfachen Weg, um festzustellen, ob ein Operator kompakt ist. Aller Wahrscheinlichkeit nach wird der Hamilton-Operator Ihres Problems jedoch unbeschränkt sein (weil es grob gesagt einen Term gibt p ^ 2 in der kinetischen Energie, und sie ist unbegrenzt). Kein unbeschränkter Operator ist kompakt; aber es kann eine kompakte Auflösung haben (wie der harmonische Oszillator). Ein guter Kandidat für einen kompakten Resolventen ist ein Begrenzungspotential (das grob gesagt bis ins Unendliche geht, wenn x → ∞ ); Dies ist jedoch keine strenge Regel ...

Im Wesentlichen läuft die Trennung der Variablen in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung auf eine Diagonalisierung des Hamilton-Operators hinaus. Man kann dies leicht erkennen, wenn man den Fall betrachtet, in dem der Hilbert-Raum endlichdimensional ist und der Hamilton-Operator eine hermitesche Matrix ist.

Im Falle eines teilweise kontinuierlichen Spektrums erhält man dasselbe, außer dass die Summe durch ein Integral über eine Menge von Etiketten ersetzt werden muss, die das gesamte Spektrum auflöst. Das kontinuierliche Spektrum wird durch die Impulse der möglichen Streuzustände gekennzeichnet. Die Transformation zum diagonalisierten Operator ist durch den sogenannten Moeller-Operator gegeben.

Nicht separierbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung
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