2D zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Ich betrachte die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in zwei Dimensionen,

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right)\psi + U(x,y)\,\psi = E\,\psi \ \ .$$

Lehrbücher betrachten normalerweise den Fall eines konstanten oder Nullpotentials$U$innerhalb einiger Grenzen. Der Weg zur Lösung der Gleichung wäre dann, die Variablen zu trennen,$\psi(x,y) = f(x)\cdot g(y)$.
$U$Konstant zu sein erlaubt es, die Gleichung zu trennen, z. B. alles zu setzen$x$Abhängigkeit auf einer Seite der Gleichung und alle$y$Abhängigkeit auf der anderen Seite.

Nun interessiert mich der Fall wo$U(x,y)$ist nicht (stückweise) konstant und auch nicht nur von einer einzigen Variablen abhängig. Mir scheint, dass in diesem Fall die Trennung der Variablen nicht mehr unbedingt funktioniert. Aber inwiefern trifft das generell zu? Gibt es Klassen von Potentialen, für die die Schrödinger-Gleichung noch trennbar ist?

Intuitiv dachte ich, dass Potenziale wie

1. $U(x,y) = v(x) + w(y)$oder
2. $U(x,y) = v(x)\cdot w(y)$

irgendwie besonders soll das in dem sinne auch noch die lösung sein$\psi$wäre so oder so trennbar. Für den Fall der additiven Trennbarkeit (Fall 1.) des Potentials (wie beim harmonischen Oszillator) scheint dies der Fall zu sein, für den zweiten Fall nicht, obwohl sie die gleiche Symmetrie hätten.

Steckt dahinter ein allgemeines Gesetz, zB ergeben additiv trennbare Potentiale trennbare Lösungen, multiplikativ trennbare Potentiale nicht? Ist meine Intuition falsch?