Die Natur der „harten Wand“-Randbedingung für die Schrödinger-Gleichung

Für ein Quantenteilchen in einem eindimensionalen unendlichen Brunnen der Breite L , das Potential hat den formalen Ausdruck:

v ( X ) = { ∞ , X < 0 0 , 0 ≤ X ≤ L ∞ , X > L ,

und die Randbedingung "harte Wand" wird auferlegt: ψ ( 0 ) = ψ ( L ) = 0 .

Allerdings verstehe ich nicht, woher kommt diese Randbedingung? Es wird in Büchern wie "Die Wellenfunktion muss stetig sein" erklärt. Die Domäne dieses Problems ist jedoch [ 0 , L ] , und es gibt viele fortlaufende (in der Domäne [ 0 , L ] ) Lösungen für die Schrödinger-Gleichung, die an den Endpunkten des Bereichs nicht Null sind.

Aus meiner Sicht wäre eine bessere Erklärung wahrscheinlich: Betrachten Sie eine unendliche Folge von Potentialen:

v N ( X ) = { N , X < 0 0 , 0 ≤ X ≤ L N , X > L

Dann schauen Sie sich die Lösungen an ψ M der Schrödinger-Gleichung (jetzt haben wir den Definitionsbereich R ), wir werden das für jede feste Energie sehen E , die Lösungen mit Gesamtenergie kleiner als E , tendieren an den Well-Grenzen gegen Null: lim N → ∞ ψ N ( 0 ) = 0 , lim N → ∞ ψ N ( L ) = 0 .

Wie also soll ich diese Randbedingung eigentlich interpretieren?

Wenn die potentielle Energie unendlich ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dort zu finden, null. Das bedeutet, dass das Quadrat der Wellenfunktion Null sein muss X < 0 Und X > L . Wenn die Wellenfunktion bei ungleich Null war X = 0 oder X = L Es würde eine Diskontinuität in der Wellenfunktion geben.

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Die Domäne des Problems ist die gesamte reale Linie, nicht [ 0 , L ] . Sonst wäre das Potential nicht angegeben X > L , X < 0 . Berechnen Sie also die Gesamtenergie jeder Wellenfunktion, die bei nicht verschwindet X = 0 , L , Sie werden feststellen, dass es unendlich ist. Daher verschwindet für alle Eigenzustände, die nicht unendliche Energie haben, also das gesamte Spektrum, die Wellenfunktion an den Rändern.

Betrachten Sie die Situation, in der ψ an der Grenze ungleich Null ist, würde dies implizieren, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion ungleich Null ist. Somit besteht die Möglichkeit, das Teilchen an der Grenze zu beobachten. Wenn das stimmte, dann durch die Relation that

F = ∇ v
dies würde unendliche Kraft und damit unendliche Beschleunigung bedeuten. Solche Situationen sind in der Physik Unsinn, also müssen wir das vermitteln ψ an der Grenze Null ist.

Dies ist eine sehr interessante Frage. Ich versuche gerade, die Antwort selbst genauer zu überprüfen. Beachten Sie, dass diese Randbedingung nur für die rohe Schrödinger-Gleichung gilt

H = P 2 2 M + v harte Wand ( X ) → ψ ( ± L ) = 0 ,

Wo X = ± L sind die durch die harte Wand definierten Kanten. Bei effektiven Modellen könnte der Hamilton-Operator jedoch im Impuls linear sein P (Dirac-ähnlich). In diesem Fall ist die Wellenfunktion (Hüllenfunktion/Spinor ϕ ( X ) , eigentlich) ist diskontinuierlich

H e F F = v F σ P ⋅ P → [ σ P ± ich σ C ] ϕ ( ± L ) = 0.

Überprüfen Sie diese Papiere: Berry, Mondragon, Proc. Royal Soc. Lond., 412, 53 (1987) und Resende et al., Phys. Rev. B 96, 161113 (2017) .

Trotzdem weiter H e F F der Briefumschlag ϕ ( X ) sind die Koeffizienten aus einer Entwicklung der ursprünglichen Wellenfunktion ψ ( X ) auf irgendeiner Grundlage. Und es wird auf die Randbedingung für impliziert ϕ ( X ) dass seine zugrunde liegende Wellenfunktion ψ ( ± L ) = 0 an den Hartwänden. Siehe auch Brey, Fertig, Phys. Rev. B. 73, 235411 (2006) , wo ihre Randbedingung für Graphen erhalten wird, indem man ihr die Gesamtwellenfunktion auferlegt ψ ( ± L ) = 0 an den Rändern, was zu Hüllspinoren führt ϕ ( X ) eine nicht-triviale Randbedingung einhalten, die (implizit) äquivalent zu der für ist H e F F über.

Dies ist ein interessantes und heikles Thema, das ich in meinem nächsten Artikel genauer zum Ausdruck bringen werde. Derzeit beschneiden wir die Diskussionskanten, um sie klarer zu machen. Ich werde versuchen, daran zu denken, diesen Beitrag zu bearbeiten und die Referenz hier hinzuzufügen, sobald er fertig ist.

Ein wenig mehr Ergänzung zur Diskussion: - Keine Möglichkeit, durch harte Wandgrenzen zu tunneln. Die Wellenfunktion und ihre Ableitung müssen beide die Kontinuität an der Grenze aufrechterhalten. Dies diktiert die Tatsache, dass die Grenze hartwandig ist.

Die Natur der „harten Wand“-Randbedingung für die Schrödinger-Gleichung
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