Grüns funktionieren in EM mit Randbedingungen Verwirrung

Also dachte ich, ich verstehe die Funktionen von Green, aber jetzt bin ich mir nicht sicher. Ich werde damit beginnen, (kurz) zu erklären, was ich zu wissen glaube, und dann die Frage stellen.

Hintergrund

Grüne sind eine Möglichkeit, inhomogene Differentialgleichungen zu lösen, indem zuerst die Antwort auf einen Einheitsimpuls gelöst wird. Ich bin mir bewusst, dass sie ein Werkzeug sind , dem manchmal eine physikalische Bedeutung gegeben werden kann. Ich fürchte, diese beiden Bereiche könnten sich für mich dort kreuzen, wo sie es nicht sollten.

L ^ F ( X ) = S ( X )

L ^ G ( X ) = δ ( X )

Unter Verwendung dieser können wir den folgenden allgemeinen Ausdruck für die Lösung erhalten:

F ( X ) = ∫ G ( X − X ' ) S ( X ' ) D X '

Physikalisch erscheint die Greens-Funktion in EM in Form eines Potentials aufgrund einer einzelnen Punktladung. Dh wir können unsere Lösung für eine beliebige Ladungsverteilung konstruieren, indem wir über alles „summieren“, um unsere bekannte Ladungsverteilung zu erzeugen.

∇ 2 Φ = − ρ ϵ

∇ 2 G ( X − X ' ) = − δ ( X − X ' ) ϵ

Φ ( X ) = ∫ G ( X − X ' ) ρ ( X ' ) D X '

Wo

G ( X − X ' ) = 1 | X − X ' |

Wenn wir beginnen, über Randbedingungen zu sprechen, gibt es eine Mehrdeutigkeit in der Definition unserer Greens-Funktion, sodass wir eine Form wie folgt haben können:

G ( X − X ' ) = 1 | X − X ' | + F ( X − X ' ) so dass ∇ 2 F ( X − X ' ) = 0

Ich denke, hier fängt es an, für mich zu verschwimmen.

Frage:

Jackson 2.7 a) Betrachten Sie die Halbebene z>0 mit Drichlet-Randbedingungen auf der z=0-Ebene. Wir wollen die Greens-Funktion für diese Situation aufschreiben.

Viele Lösungen, die ich gefunden habe, springen direkt zur Grünfunktion von:

G ( X , X ' ) = 1 | X − X ' | − 1 | X − X ″ |

Aber ich verstehe nicht, wie sie hierher gekommen sind - sie sagen, es sei offensichtlich -, aber nach dem, was ich verstehe, muss mir etwas entgangen sein.

Wie funktioniert die Greens-Funktion, wenn keine Gebühren anfallen? Sie scheinen auf die Existenz einer Ladung und einer Bildladung anzuspielen. Es scheint, als würden wir versuchen, die homogene Laplace-Gleichung zu lösen (also verstehe ich die Verwendung von Grüns hier nicht). Ich vermute, die Randbedingungen sind das Kritische, was ich nicht vollständig verstehe.

Fühlen Sie sich frei, meine Fehlinterpretationen und Fehler im Allgemeinen zu korrigieren.

Antworten (2)

Gute Fragen; Ich bin mir sicher, dass viele Leute bei diesem Zeug verwirrt sind (da ich Jackson zum ersten Mal benutzt habe).

Im Wesentlichen läuft Ihre Verwirrung darauf hinaus, die folgende Tatsache sorgfältig zu berücksichtigen:

Die Greensche Funktion für ein bestimmtes Randwertproblem hängt von den Randbedingungen ab.

Nehmen wir insbesondere an, Sie haben ein Dirichlet-Randwertproblem. Dann muss, wie Jackson auf Seite 39 zeigt, die geeignete Greensche Funktion für ein solches Randwertproblem (a) die Poisson-Gleichung mit einer Delta-Funktionsquelle in diesem Bereich erfüllen und (b) auf der Grenze (siehe Gl. 1.43) davon verschwinden Region. Wenn Sie in dem betrachteten Bereich eine Funktion finden, die diese beiden Eigenschaften hat, dann haben Sie die Greensche Funktion für das Dirichlet-Problem gefunden.

Betrachten wir also den Halbraum ( z > 0 ) mit Dirichlet-Randbedingungen bei z = 0 , dann suchen wir eine Funktion, die die Poisson-Gleichung im oberen Halbraum mit Einheitsquelle erfüllt und die auf der Grenze verschwindet, was in diesem Fall ist z = 0 plus die "Grenze im Unendlichen".

Sie können die Funktion selbst überprüfen

G ( X , X ' ) = 1 | X − X ' | − 1 | X + X ' |
hat diese Eigenschaften. Die Intuition dafür und der Grund, warum die meisten Leute sagen, dass Sie dies einfach sofort aufschreiben können, ist, dass der erste Term die Poisson-Gleichung mit Einheitsquelle im oberen Halbraum eindeutig erfüllt wo X ' zu haben angenommen wird z > 0 , und der zweite Term entspricht einer Einheitsquelle im unteren Halbraum mit entgegengesetztem Vorzeichen. Unsere Intuition über Potenziale von Punktladungen zeigt, dass dies dazu führen wird, dass diese Kombination bei verschwindet z = 0 . Außerdem verschwindet der Laplace-Operator des zweiten Terms im oberen Halbraum, sodass die Tatsache nicht beeinträchtigt wird, dass diese Funktion im oberen Halbraum die Poisson-Gleichung mit Einheitsquelle bei erfüllt X ' .

Ich hoffe das war klar? Ich kann auf jeden Fall versuchen, es zu bereinigen oder zu erweitern. Ich weiß aus eigener Erfahrung, dass es ein verwirrendes Thema ist!

Nachtrag als Antwort auf Kommentare.

Die Funktionen von Green sind einem Satz von zwei Daten zugeordnet (1) Eine Region (2) Randbedingungen für diese Region. Die Funktion 1 / | X − X ' | ist die Green-Funktion für (1) den gesamten Raum mit (2) Dirichlet-Randbedingungen. Dies liegt daran, dass es (a) die Poisson-Gleichung mit Einheitsquelle in dieser Region erfüllt und (b) an der Grenze dieser Region verschwindet (die in diesem Fall im Unendlichen liegt). Im Allgemeinen für jede Region R , für Dirichlet-Randbedingungen, solange wir einfach eine Funktion finden G ( X , X ' ) dass (a) die Poisson-Gleichung mit einer in dieser Region platzierten Einheitsquelle erfüllt und dass (b) an der Grenze der Region verschwindet, dann haben wir die Green-Funktion für dieses Dirichlet-Problem gefunden (durch die Definition einer Green-Funktion) .

Wenn wir versuchen, die Greensche Funktion für das Dirichlet-Problem auf dem oberen Halbraum zu finden, stellen wir uns zunächst vor, eine Punktladung in den oberen Halbraum zu legen, so dass Bedingung (a) erfüllt ist, dies lässt uns mit der Funktion zurück 1 / | X − X ' | Wo X ' ist ein Punkt im oberen Halbraum. Dann stellen wir fest, dass diese Funktion zwar eine geeignete Lösung für die Poisson-Gleichung ist, aber nicht verschwindet X auf der Grenze, also kann dies nicht die Green-Funktion für dieses Dirichlet-Problem sein. Wir müssen etwas mit dieser Funktion tun, das nicht die Tatsache verdirbt, dass es die Einheitsquellen-Poisson-Gleichung im oberen Halbraum erfüllt, aber so, dass die resultierende Funktion zusätzlich die entsprechende Randbedingung erfüllt.

Also fragen wir uns: „Was können wir mit dieser Funktion tun, damit (a) erfüllt bleibt, aber damit (b) auch im oberen Halbraum erfüllt ist ? gleich Null) im oberen Halbraum zu 1 / | X − X ' | , dann wird die resultierende Funktion immer noch (a) erfüllen.

Welche Arten von Funktionen erfüllen nun die Laplace-Gleichung im oberen Halbraum?

Die Antwort ist, dass jede Ladungsverteilung, deren Ladungsdichte nur außerhalb des oberen Halbraums ungleich Null ist, ein Potential erzeugt, das die Laplace-Gleichung im oberen Halbraum erfüllt .

Wenn wir also eine Ladungsverteilung finden können, die, wenn sie im unteren Halbraum platziert wird, ein Potential erzeugt, das hinzugefügt wird 1 / | X − X ' | bewirkt, dass ihre Summe auf der Grenze verschwindet, dann wird ihre Summe die Eigenschaften erfüllen, die für eine Green-Funktion erforderlich sind. Hier stellen wir fest, dass eine "Bild" -Punktladung genau dies tut!

Alles, was wir mit diesen Punktladungen tun, ist ein intuitiver Weg, eine Funktion zu finden, die die entsprechenden mathematischen Eigenschaften (a) und (b) erfüllt, die eine Green-Funktion für ein Dirichlet-Problem erfüllen muss.

Ich denke, was Sie gesagt haben, ist vollkommen klar - ich nehme mir nur etwas Zeit, um es zu verdauen. Ich verstehe mehr darüber, wie die Randbedingungen ins Spiel kommen. Nehmen Sie zum Beispiel Gl. 1.42. Wenn wir Dirichlet-Bedingungen so angeben, dass 1,43 erfüllt sein muss, warum gehen dann nicht beide Oberflächenintegrale gegen Null? (also wenn G D = 0 warum dann nicht D G N D N ' = 0 auch?) Ich habe kein Problem damit, Ihre Intuitionsaussage zu akzeptieren, außer der Tatsache, dass ich überhaupt nicht sehe, wie Gebühren involviert sind. Wende ich hier der Grünfunktion eine physikalische Bedeutung zu, wo es keine gibt?
OK Cool. Beachten Sie, dass, wenn eine Funktion auf einer Oberfläche verschwindet, dies nicht bedeutet, dass ihre normale Ableitung auf dieser Oberfläche im Allgemeinen verschwindet (nehmen Sie analog jede reellwertige Funktion einer reellen Variablen, die durch Null geht, deren Steigung dabei jedoch nicht Null ist Punkt). Die Intuition in Bezug auf Punktladungen kommt von der Tatsache, dass 1 / | X − X ' | ist bis auf Normierung das elektrische Potential einer Punktladung am Ort X ' . Stellen Sie sich vor, Sie multiplizieren den Funktionsausdruck von Green in der Antwort mit Q 4 π ϵ 0 ,
(Forts.) Beachten Sie dann, dass es die Summe des elektrischen Potentials für eine Punktladung wird Q bei X ' plus Punktgebühr − Q bei − X ' (die sogenannte Bildgebühr). Wenn Sie an diese physische Situation denken, dann ist ziemlich sofort klar, dass das Potenzial vorhanden ist z = 0 verschwindet für diese Ladungskonfiguration, sodass wir keine Berechnung durchführen müssen, um sicher zu sein, dass der Ausdruck für die Green-Funktion, den wir aufgeschrieben haben, verschwindet z = 0 wie es für Dirichlet-Randbedingungen sein sollte. Lassen Sie mich wissen, ob das die Intuition klarer macht.
Nun, von der Mathematik her ist es klar, aber für das Problem verstehe ich nicht, warum wir Ladungen hinzufügen, die sozusagen nicht da sind. 1 / | X − X ' | ist die grüne Funktion einer Punktladung, und sicher, dass das symmetrische Addieren von zwei zusammen die gewünschte Randbedingung in diesem Fall konstruiert, aber hat dies nicht anderswo Auswirkungen? Zum Beispiel ist die Greens-Funktion für das gleiche Problem mit einer ECHTEN Gebühr an z = + X das gleiche? Wenn nicht, verstehe ich den Unterschied nicht. Abstrakt, mathematisch geht es mir gut. Wenn ich körperlich wie oben denke, bin ich verwirrt.
(hoffentlich mache ich klar, wo mein Problem liegt, ich möchte nicht immer wieder dasselbe sagen)
Es hat sicher eine Weile gedauert, aber ich habe es geschafft! Ich bin froh, dass ich ein Experimentator bin, denn dieses Zeug fliegt mir weit über den Kopf - ganz zu schweigen von meinem einfachen Drehimpuls-/Drehmomentfehler vor ein paar Tagen. Sie sind eine Bereicherung für diese Website, danke.
Ich freue mich sehr, das zu hören! Ich mache gerade TA für Grad EM, und das war bei weitem das Verwirrendste für meine Schüler, soweit ich das beurteilen kann, also half mir diese Diskussion darüber nachzudenken, wie ich diese Dinge besser erklären könnte. Danke für die positive Bestätigung!
Wenn dies auftaucht, empfehle ich zu erwähnen, dass in einem unbegrenzten Bereich die grüne Funktion zufällig (bis auf einen Normalisierungsfaktor) das Potenzial einer Punktladung ist. Hier hat es also eine physikalische Bedeutung. Bei der Lösung von Problemen, insbesondere wenn wir Grenzen oder endliche Bereiche des Raums betrachten, ist es ein reines Werkzeug. Wir nutzen unsere Bedingungen, Jackson 1.42 und unsere Freiheit in G , Nämlich G ( X , X ' ) = 1 / | X − X ' | + F ( X , X ' ) Wo F muss die Laplace-Gleichung erfüllen, um die Lösung zu finden. (Das ist in Kürze das, was ich aus Ihren Antworten und meinen Recherchen herausgefunden habe). Graduierte TAs wären schön zu haben.
Ahhh ok ich verstehe. Ja, das ist ein toller Punkt; Ich werde das auf jeden Fall in zukünftige Erklärungen aufnehmen. Meine Schule hat erst letztes Jahr die Willensdiskussionsabschnitte von Grad TA eingeführt; Ich wünschte, ich hätte Diskussionsabschnitte gehabt, als ich Jackson benutzte ...
@joshphysics Er verwendet nicht die zweite Identität von Green - er verwendet nur die allgemeine Definition der Green-Funktion, um die Gleichung umzukehren ∇ 2 Φ ( R ) = − ρ ( R ) / ϵ 0 . Ich frage mich also nur, warum Sie in dieser Antwort nicht die zweite Identität von Green aufgeschrieben haben. Sie brauchen es, um zu verstehen, warum es wichtig ist, dass die Green-Funktion an den Grenzen verschwindet.
@AlecS "Er verwendet nicht die Identität von Green ...": Wer? Wo? Ich habe nichts über Greens Identitäten geschrieben, weil ich es nicht für wichtig hielt zu beschreiben, warum die Funktion von Green als Grenze verschwindet; Die Frage ist, was Greensche Funktionen mit Potentialen von Punktladungen zu tun haben.
@joshphysics Ich sage nicht, dass du falsch liegst oder so, ich bin nur ein dummes Kind. Aber die Wahl zwischen Dirichlet oder Neumann ergibt sich aus Greens zweiter Identität – und Sie müssen sich nicht einmal für diese entscheiden. Es gibt unendlich viele grüne Funktionen, die ein bestimmtes Problem lösen, aber nur wenige praktische. Er fragte, wie Sie die Green-Funktion finden. Nun, Sie kennen die allgemeine Green-Funktion für den Laplace-Operator, und dann fügen Sie einen Teil hinzu F befriedigend ∇ 2 F = 0 überall in der Region, um Ihre Integrale (in Greens zweiter Identität) einfacher zu machen.
@joshphysics Die Frage war "wie finde ich die grüne Funktion." Bin ich hier falsch...?
@AlecS Ok, zugegebenermaßen fragt er mehr als das, was ich gerade gesagt habe. Abgesehen davon stimme ich zu, dass Sie die Green-Identitäten benötigen, um zu zeigen, warum die Green-Funktion für ein gegebenes Randwertproblem selbst bestimmte Randbedingungen erfüllen muss. Aber sobald Sie wissen, welche Randbedingungen die Greensche Funktion für Ihr Problem erfüllt, brauchen Sie den Satz von Green nicht mehr. Auch die Wahl dessen F to pick ist nicht nur ein Werkzeug, um Integrale einfacher zu machen. Die Freiheit muss genutzt werden, damit die Greensche Funktion die entsprechenden Randbedingungen erfüllt.
@AlecS Andernfalls können die Oberflächenintegrale einfach nicht durchgeführt werden. Wenn Sie beispielsweise ein Dirichlet-Problem haben, kennen Sie die normale Ableitung des Potentials an der Grenze nicht, sodass Sie das Oberflächenintegral des Stücks, das die normale Ableitung enthält, einfach nicht ausführen können, es sei denn, Sie Wählen Sie die Green-Funktion, um an der Grenze zu verschwinden.
Wie finden wir die Funktion von Grün, wird immer die Methode der Bilder verwendet? Wenn wir die Funktion des Grüns bereits kennen, kennen wir auch das Potenzial im Grunde, also was bringt es dann, sich im Kreis zu drehen? (wie in Jackson Abschnitt 2.7 erwähnt)

Ich wollte nur einen letzten Punkt hinzufügen, um dies für Sie zu klären. Das Potential einer Punktladung und die Green-Funktion für Ihr Problem sind bis auf die Normalisierungskonstante gleich. In einem Kommentar sagen Sie, das sei Zufall; Es ist nicht, es ist körperlich!

Nimm deine Gleichung ∇ 2 Φ = − ρ ϵ , und nehmen Sie an, Sie wollten, dass die Ladungsdichte in dieser Gleichung die einer Punktladung ist. Was würden Sie für die Ladungsdichte einer Punktladung einsetzen? Nun, es existiert nur an einem Punkt im Raum, und die Art und Weise, wie wir Dichten ausdrücken, die nur an einem Punkt existieren, ist die Verwendung von Delta-Funktionen. Also für eine Punktgebühr, ρ ∼ Q δ ( | X − X ' | ) . Die genauen Proportionalitätskonstanten sind weniger wichtig als die Tatsache, dass es eine Delta-Funktion in der Ladungsdichte gibt. Jetzt können Sie sehen, dass die Ladungsdichte einer Punktladung, die in die Gleichung eingesetzt wird, Ihnen die Differentialgleichung für die Greensche Funktion liefert, bis auf die Konstanten wie π Und ϵ .

Um es noch einmal zu wiederholen: Punktladungen haben Dichten, die proportional zu ihrer Ladung und einer Delta-Funktion sind, daher ist es äquivalent, über Greens Funktionen und Reaktionen auf Punktladungen zu sprechen.

Ich sagte Zufall, da dies der verwirrende Punkt für mich war – wann es physisch ist und wann nicht. Es ist für mich sehr intuitiv zu sagen: Bauen wir eine Ladungsverteilung aus Dirac-Deltas auf. Dann springen wir von den Grüns zur Faltung von G und ρ . Danke aber für die Klarstellung!
Grüns funktionieren in EM mit Randbedingungen Verwirrung
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