Elektrostatisches Feld auf kompakten Oberflächen

In kompakten Oberflächen gibt es keine Lösung für die folgende Gleichung:

∇ 2 ϕ ( σ ) = δ 2 ( σ )
da es keinen Platz für die elektrischen Feldlinien gibt E ich = − ∂ ich ϕ .

Dies scheint zu verhindern, dass einige Ladungskonfigurationen elektrostatisch auf einer kompakten Oberfläche auftreten. Ist diese Theorie schlecht definiert? Welche Art von Mechanismus schützt die Theorie der gefährlichen Ladungskonfiguration?

Was versteht man unter kompakten Oberflächen in der Elektrostatik? In der Elektrostatik interessieren uns entweder die Oberflächen von Leitern oder Isolatoren. Bei Leitern ist das elektrische Feld innerhalb des Leiters Null und knapp außerhalb davon, E ⊥ = σ / ε 0 Und E ∥ = 0 . Auch bei Isolatoren sind Randbedingungen zu erfüllen. Andernfalls „beginnt“ das elektrische Feld an den das Feld erzeugenden Ladungen und nimmt weit entfernt von der Feldquelle auf Null ab oder endet an Leitern oder Isolatoren oder -ve-Ladungen.
Beziehen Sie sich auf den Begriff der kompakten Unterstützung?
Ich denke über Elektrostatik in einem zweidimensionalen kompakten Raum nach. Eine Sphäre S 2 Zum Beispiel. Ist nicht die übliche 3-dimensionale Elektrostatik.

Antworten (1)

Das Problem ist das mit der Kompaktheit (ohne Rand) der 2-Mannigfaltigkeit verbundene Lemma von Poincare M wir überlegen. Aufgrund dieser sollte der Fluss des elektrischen Feldes gleichzeitig Null sein und 1 Für ein 1 -Oberfläche (eine geschlossene Kurve), die den Träger der Delta-Funktion umgibt, da diese Kurve als Grenze eines Bereichs angesehen werden kann, der die Ladung enthält, aber auch als Grenze ihres Komplements. Diese Eigenschaft muss für jede Ladungsdichte über der Mannigfaltigkeit gelten: Die Gesamtladung muss Null sein. Folglich gibt es keine Lösung der von Ihnen geschriebenen Gleichung, da Sie es mit einer Ladungsdichte zu tun haben, deren Integral von Null verschieden ist.

Es gibt jedoch einige Auswege. Die einfachste erhalten Sie, indem Sie auf der rechten Seite Ihrer Gleichung eine negative Konstante hinzufügen, deren Integral auf der gesamten kompakten Oberfläche das Integral des Deltas aufhebt. Dies ist eine kontinuierliche Ladungsdichte, die die lokalisierte Ladung kompensiert, die sich aus der Delta-Funktion ergibt.
Tatsächlich muss die fundamentale Lösung genügen

(1) Δ X G ( X , j ) = δ ( X , j ) − S − 1 ,
Wo S ist der 2 -Volumen des gesamten Verteilers M .

Dieses Verfahren funktioniert insbesondere für einen flachen 2-Torus, bei dem eine solche Fundamentallösung explizit durch eine doppelte Fourier-Reihe berechnet werden kann (versuchen Sie, auf den Nullmodus zu achten).

Die erhaltene fundamentale Lösung erzeugt unter Verwendung des Standardfaltungsverfahrens das Potentialfeld (das die Poisson-Gleichung erfüllt), das durch eine glatte Ladungsdichte erzeugt wird ρ vorausgesetzt, die gesamte (integrierte) Ladung verschwindet, wie es erforderlich ist.

(2) φ ( X ) = ∫ M G ( X , j ) ρ ( j ) D j .
Dies ist aus (1) ersichtlich, wobei der Laplace-Operator unter dem Zeichen der Integration geführt wird.

All das funktioniert auch kompakt N dimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Grenze), die sich auf die Poisson-Gleichung bezieht, die aus einer darauf definierten glatten Riemannschen Metrik konstruiert ist.

Es ist interessant festzustellen, dass außerhalb der Unterstützung der Delta-Funktion die besagten fundamentalen Lösungen, die Verteilungen sind, jedoch glatte Funktionen als Folge von elliptischen Regularitätssätzen sind. Für den 2-Torus muss die gefundene Fourier-Reihe als eine Reihe von Verteilungen betrachtet werden. Es konvergiert jedoch schwach zu einer glatten Funktion außerhalb der Unterstützung des Deltas.

Elektrostatisches Feld auf kompakten Oberflächen
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