Zeitabhängiges elektrisches Feld: Mathematische Erweiterung für lokales elektrisches Feld

Question

Zeitabhängiges elektrisches Feld: Mathematische Erweiterung für lokales elektrisches Feld

Albedo

In vielen Artikeln und Büchern sehe ich, dass das lokale elektrische Feld so erweitert wird

{\vec{E}}_{0} (\vec{R} (T)) = {\vec{E}}_{0} ({\vec{R}}_{0}) - (\vec{A} (T) \cdot \nabla) {\vec{E}}_{0} ({\vec{R}}_{0}) \cos (Ω T) + \dots

$\vec E_0(\vec r(t)) = \vec E_0(\vec R_0) − (\vec a(t) \cdot \nabla) \vec E_0(\vec R_0) \cos(\Omega t) + \ldots$

Zum Beispiel auf Seite 2, Gleichung 3 auf http://arxiv.org/pdf/0902.2746.pdf

Ich habe diese Erweiterung nie verstanden. Kann mir bitte jemand erklären, was diese Ausdehnung ist und unter welchen Bedingungen wir ein lokales elektrisches Feld in dieser Form ausdrücken können. Was ist die physikalische Interpretation dieser Ausdehnung?

geniert

Es sieht aus wie eine einfache Taylor-Entwicklung

r_{0}

$\textbf{r}_0$ , wobei der Gradient die Ableitung der Funktion und ist

r (t) - r_{0} = a (t) \cos (Ω t)

$\textbf{r}(t) -\textbf{r}_0 = \textbf{a}(t)\cos(\Omega t)$ .

Antworten (1)

Zeitabhängiges elektrisches Feld: Mathematische Erweiterung für lokales elektrisches Feld

Es sieht aus wie eine einfache Taylor-Entwicklung $\textbf{r}_0$ , wobei der Gradient die Ableitung der Funktion und ist $\textbf{r}(t) -\textbf{r}_0 = \textbf{a}(t)\cos(\Omega t)$ .

Praan · Answer 1

Beachten Sie, dass $\mathbf r(t)$ ist die Flugbahn (a priori unbekannt) eines geladenen Teilchens in einem äußeren elektrischen Feld. Betrachten Sie nun den Ansatz $\mathbf r(t) = \mathbf r_0(t) - \mathbf a(t) \cos \Omega t$ , die durch die Lösung für ein homogenes elektrisches Feld motiviert ist $\mathbf E(t) = \frac{m\Omega^2}{q} \mathbf a \cos \Omega t$ . Hier $\mathbf r_0(t)$ ist eine langsame Drift aufgrund der räumlichen Variation des elektrischen Feldes und $\mathbf a(t) \cos \Omega t$ ist eine schnellere Schwingungsbewegung aufgrund des Feldantriebs (auch für ein homogenes Feld vorhanden).

Jede Komponente des elektrischen Feldes entlang dieser Bahn $E_i (\mathbf r(t))$ kann zu jedem Zeitpunkt formal taylor-entwickelt werden $t$ nahe $\mathbf r_0(t)$ bis zur ersten Bestellung $\mathbf a(t)$ folgendermaßen

\begin{aligned} E_{ich} (R (T)) & ≃ E_{ich} (R_{0} (T)) + {\nabla E_{ich} |}_{R (T) = R_{0} (T)} \cdot (R (T) - R_{0} (T)) \\ = E_{ich} (R_{0} (T)) - A (T) \cdot {\nabla E_{ich} |}_{R (T) = R_{0} (T)} \cos Ω T, \end{aligned}

$\begin{align} E_i ( \mathbf r(t) ) & \simeq E_i ( \mathbf r_0(t) ) + \left. \nabla E_i \right|_{\mathbf r(t) = \mathbf r_0(t)} \cdot \left( \mathbf r(t) - \mathbf r_0(t) \right) \\ & = E_i ( \mathbf r_0(t) ) - \mathbf a(t) \cdot \left. \nabla E_i \right|_{\mathbf r(t) = \mathbf r_0(t)} \cos \Omega t, \end{align}$ oder in Vektorschreibweise:

E (R (T)) ≃ E (R_{0} (T)) - \cos Ω T [(A (T) \cdot \nabla) E] (R_{0} (T)) .

$\begin{equation} \mathbf E ( \mathbf r(t) ) \simeq \mathbf E ( \mathbf r_0(t) ) - \cos \Omega t\left[\left( \mathbf a(t) \cdot \nabla \right) \mathbf{E} \right](\mathbf r_0(t)). \end{equation}$

Zeitabhängiges elektrisches Feld: Mathematische Erweiterung für lokales elektrisches Feld

Albedo

geniert

Antworten (1)

Praan

Warum wirken Oberflächen wie Barrieren für Elektronen?

Kann eine Ladung, die sich auf einer offenen Bahn bewegt, als Strom gelten?

Was ist die Antwort auf Feynmans Scheibenparadoxon?

Frage zu Ladung und Beschleunigung

'Elektrostatisches Feld eines Stromkreises' Was bedeutet das?

Elektrischer Dipol, Rechenfehler

Ist die magnetische Feldenergie um einen stromführenden Draht ähnlich der elektrischen Feldenergie, die mit einer isolierten Ladung verbunden ist?

Berechnung des Potentials auf einer Oberfläche aus dem Potential auf einer anderen Oberfläche

Biot-Savart-Gesetz und Oberflächenladungen auf bewegten Platten

Warum kann man mit elektrostatischen Methoden das elektrische Feld finden, wenn sich die Ladung bewegt?