Was ist die Antwort auf Feynmans Scheibenparadoxon?

Die Erhaltung des Drehimpulses sagt nicht voraus, dass die Scheibe bewegungslos bleibt, da das Feld in diesem Fall einen Drehimpuls hat. Die Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld, und das Magnetfeld ist nicht parallel dazu, also dreht sich ein Poynting-Vektor im Kreis, und der Felddrehimpuls wird einfach in einen mechanischen Drehimpuls umgewandelt, wenn das Magnetfeld verschwindet. Die Bewegung der Scheibe ist erforderlich, um den Drehimpuls zu erhalten, da der Drehimpuls sonst im Strahlungsfeld abgestrahlt würde, wenn das Magnetfeld zusammenbricht, und in diesem Fall ein Teil des Drehimpulses von der Scheibe absorbiert wird.

Feynman nimmt eine Version dieses Puzzles in die Feynman Lectures Vol II auf und löst es. Das einzige, was er nicht betont, ist, dass Feldimpuls und Drehimpuls bei langsamen Änderungen erhalten bleiben, ohne Rücksicht auf das Strahlungsfeld, das nicht angeregt wird.

EDIT: Auf Parität mit B-Feldern

Wenn Sie die Kommentare lesen, scheinen Sie besorgt zu sein, dass sich die Scheibe mit einem Ladungszeichen in eine Richtung und mit dem anderen Ladungszeichen in die andere Richtung dreht. Das sieht seltsam aus, weil das B-Feld vollständig rotationsinvariant um die Z-Achse ist, ebenso wie das E-Feld (vorausgesetzt, die Punktladungen sind klein und dicht), und es sieht seltsam aus, dass sich das Ding in eine Richtung drehen kann --- woher weiß es, dass es in die eine Richtung gehen soll und nicht in die andere?

Der Grund dafür ist, dass der B-Vektor unnatürlich ist, wenn Sie über Parität nachdenken (warum in eine Richtung und nicht in die andere). Der B-Vektor hat eine Rechte-Hand-Regel, um zu definieren, wie er hergestellt wird und wie er wirkt. Es sieht so aus, als würde es die Parität verletzen, aber wenn Sie die Rechte-Hand-Regel zweimal anwenden (einmal, um B zu machen und einmal, um eine Kraft zu machen), ist das Ergebnis unter Parität unveränderlich. Aber die Bilder sehen aus, als würden sie seltsame unphysikalische Kräfte geben. Dies gilt für alle B-Felder --- sogar das B-Feld, das Kreise um einen stromführenden Draht bildet. Woher weiß es, dass es in die eine Richtung gehen soll und nicht in die andere?

Der einfachste Weg, dies zu lösen, besteht darin, das B-Feld nicht als Vektor zu zeichnen, sondern als kleinen Wirbel, in einer Ebene senkrecht zur Richtung des B-Felds. Sie sollten sich B (aus Gründen der Parität) so vorstellen, dass es wirklich in der Ebene senkrecht zum B-Feld lebt und in eine bestimmte Richtung wirbelt. Im Fall der Scheibe kommt das B-Feld, das aus der Scheibe herauskommt, überhaupt nicht hoch, es kommt in einem Rauschen heraus, das sich in der Ebene der Scheibe gegen den Uhrzeigersinn dreht. Darin spiegelt sich die physikalische Bewegung der Ladungen in der Scheibenebene wider, die das B-Feld überhaupt erst entstehen lassen.

Das Rauschen des B-Feldes beseitigt jegliche Verwirrung bezüglich des Vorzeichens der Rotation der Scheibe. Wenn Sie ein E-Feld aus umgebenden statischen Punktladungen hinzufügen, erzeugen Sie einen Felddrehimpuls, weil der zeigende Vektor das B-Feld in einen tatsächlichen Impulsfluss mit einem bestimmten Drehimpuls rauschen lässt. Hier kommt der Drehimpuls zum Drehen der Scheibe her.

Sie haben in den Kommentaren nach einer Referenz gefragt. Die Referenz sind die Feynman-Vorlesungen Band II, in denen er einen Ladungskreis diskutiert, der einen Ring um einen Draht bildet, und ihn verwendet, um Feldimpuls und Drehimpuls zu motivieren. Ich vergesse die Details, aber es ist die gleiche Art von Puzzle. Diese Dinge wurden im späten 19. Jahrhundert diskutiert, als der Feldimpuls entdeckt wurde. Maxwell, Hertz, Pointing, Lorentz und andere haben dazu beigetragen, aber ich habe diese Originalliteratur nicht gelesen, da man durch das Lösen von Feynmans Rätseln mit modernem Formalismus am schnellsten den Inhalt dieser Literatur erhält.

Feynman gab oft Rätsel dieser Art, um alte und vergessene Literatur für ein modernes Publikum zusammenzufassen und am Leben zu erhalten. Dies war ein wunderbarer Dienst, den er früheren Generationen erwiesen hat, und das ist einer der Gründe, warum er nicht nur als Forscher, sondern auch als Lehrer so verehrt wird. Die Rätsel sind jeweils wirklich tiefgreifende Fragen einer früheren Generation von Physikern.

Kapitel 17 geht dem Kapitel 27 voraus, das den Feldimpuls behandelt, und deshalb sucht er nach einer einfachen Erklärung, die den mechanischen Drehimpuls beinhaltet. Der Anfangsdrehimpuls des Systems wird vom Anfangsstrom in der Spule getragen, also gibt es kein Paradoxon.

Beachten Sie auch, dass das Magnetfeld nicht sofort zusammenbrechen kann, sondern die gespeicherte magnetische Energie in den Widerstand der Spule zerstreuen muss, wodurch der Drehimpuls des Stroms in die Spule in die Scheibe übertragen wird, wodurch sie sich dreht.

Der Strom in der Spule kann den Impuls kaum erklären, da der gleiche Strom von entgegengesetzten Ladungen geliefert werden könnte, die in die entgegengesetzte Richtung gehen. Diese Ladungen hätten einen entgegengesetzten Drehimpuls wie die erste, erzeugen aber den gleichen Strom. Wenn Sie herausfinden möchten, wohin das ganze Momentum führt, sollten Sie sich einen Artikel mit dem Titel "Hidden Momentum" ansehen, der Relativitätstheorie beinhaltet. Ich denke jedoch, dass nicht das gesamte Papier korrekt ist, er denkt immer noch nicht über das gesamte System nach und vermisst einige Teile.

Um zum Feynman-Paradoxon zurückzukehren, sehen Sie, dass die beschriebene Situation halbfertig ist. Man fragt nie, wie die Ladungen in das Magnetfeld kamen oder wie das Magnetfeld auf die Ladungen kam. Stellen Sie sich vor, die geladene Scheibe wäre bereits hier und umgibt eine passive Spule ohne Strom. Wenn Sie dann den Strom einschalten, entsteht ein variables Magnetfeld und damit ein elektrisches Feld, das ist nur Induktion, daher müssen sich die Ladungen bewegen und der Drehimpuls von beiden Feldern + Ladungen gleich 0 (Strahlung getrennt, aber verknüpft). Wenn Ladungen in einem Magnetfeld ruhen, bedeutet das nur, dass sie den Drehimpuls, den sie durch die Induktion erhalten haben, bereits dissipiert haben.

Ich bin gerade über diesen alten Beitrag gestolpert und dachte, ich würde eine andere Antwort teilen, mit der ich vertraut bin – von Feynman selbst. Ich finde es wirklich toll, wie Feynman früh große Konzepte einführt und immer wieder darauf hinweist, sodass Sie aufgeregt und vorbereitet sind, wenn Sie endlich dort ankommen! In Kapitel 15 – kurz vor dem Paradoxon – führt Feynman das Vektorpotential ein$\mathbf{A}$. Dies ist im Grunde das, was Ron Maimon oben mit dem Impuls des Feldes und dem Poynting-Vektor erklärt hat (ich erinnere mich auch gerne an das Magnetfeld als Swoosh, danke!). Aber jetzt, wo ich es lese, scheint Feynman sich wirklich durch den Ansatz von Kapitel 27 zu schleppen – man merkt, dass es nicht seine bevorzugte physikalische Idee ist.

Mit dem frischen Vektorpotential in unseren Köpfen und seinem Hinweis, die idealisierte Situation in der ursprünglichen Problemstellung zu verallgemeinern, führte er uns vielleicht hierher ...

Kapitel 21 Die Schrödinger-Gleichung im klassischen Kontext: Ein Seminar zur Supraleitung

Dies ist das letzte Kapitel der ganzen verdammten Sache und ein Kronjuwel noch dazu. Nach dem, was ich gelernt habe, waren Supraleiter für ihn kurz vor der Vorlesungszeit irgendwie frustrierend, und er war ein wenig wund, als die BCS-Theorie ans Licht kam (es war so eine nette Lösung, vielleicht wünschte er, er hätte gedacht davon selbst).

Wie auch immer, es scheint ein Kronjuwelenkapitel zu sein, nicht nur weil es das letzte ist und eine etwas fortgeschrittenere Erklärung der Dinge ist, sondern auch weil er viele Dinge miteinander verbinden kann.

Mein Verständnis ist, dass wir das System im idealen Sinne wie einen Supraleiter behandeln und unsere Ergebnisse auf einzelne Teilchen (oder geladene Punkte auf einer Scheibe) anwenden können, die vom Einschalten (oder Ausschalten) von betroffen sind$\mathbf{A}$(oder Fluss von$\mathbf{B}$durch eine Oberfläche). Das ganze Kapitel ist ein echter Leckerbissen, also werde ich hier nicht alles durchgehen, aber das Wesentliche ist, dass die Amplitude für den Ort eines geladenen Teilchens in Gegenwart von geändert wird$\mathbf{A}$ exponentiell , und dies führt zu einer Änderung des Impulsoperators im Hamiltonoperator aus$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla$zu$\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\nabla-q\mathbf{A}$. Also eine plötzliche Änderung$\mathbf{A}$ändert die Wellenfunktion nicht sofort. Mit welchem ​​Impuls auch immer das Teilchen gestartet ist (sagen wir,$mv=0$), muss es sich nun mit einem Impuls bewegen (Änderung in$mv$) gleich dem Vektorpotential mal der Ladung, damit die lokale Impulserhaltung während der kurzen Zeit des Zusammenbruchs erhalten bleibt. Das heißt, es ist mit dem gesamten p-Impuls verbunden$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla$wird$\mathbf{p}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}$. Dadurch bleibt die Impulserhaltung lokal erhalten, da$\mathbf{P}=\mathbf{p}-q\mathbf{A}$.

Mit der lokalen Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte$\psi\psi^\ast$, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle abnimmt, muss sie an einer anderen zunehmen. Das heißt, es muss einen Wahrscheinlichkeitsdichtestrom geben ! Hier kommt das supraleitende Bit ins Spiel. Für eine Wellenfunktion, die ein Bündel geladener Teilchen in einem einzigen Zustand beschreibt (wie Kupferpaare eines SC),$q\psi\psi^\ast$beschreibt eine reale elektrische Ladungsdichte . Ein Strom mit Wahrscheinlichkeitsdichte ist also nur eine echte elektrische Stromdichte für einen Supraleiter.

Um es noch einmal zurückzubringen, ein Solenoid aus supraleitendem Draht (ein supraleitender Ring) mit einem durch ihn fließenden Strom wird einen Fluss haben, der dem Strom entgegengesetzt ist (wirklich ist es umgekehrt – der Strom wirkt dem angelegten Fluss entgegen!). Wenn die Temperatur ansteigt und der Strom im Solenoid aufgrund des wiederhergestellten Widerstands im Draht auf Null geht, wird ein elektrisches Feld um das Solenoid herum erzeugt, indem Ladungen (Flecken auf einer Scheibe) beschleunigt werden, die ursprünglich (wenn auch künstlich) in Ruhe waren und mit einer Änderung reagieren in$m\mathbf{v}$gleicht$q\mathbf{A}$. Die Scheibe dreht sich also. Puh!

Wie Sie wissen, erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld ein induziertes elektrisches Feld, das tangential zum Umfang der Scheibe ist. Wenn das Magnetfeld zusammenbricht, sollte also ein induziertes elektrisches Feld vorhanden sein.

Da nun der anfängliche Drehimpuls des Systems Null ist und keine äußere Kraft auf das System wirkt, sollte man denken, dass der endgültige Drehimpuls des Systems Null bleiben sollte, aber stattdessen dreht sich die Scheibe. Dies liegt daran, dass das induzierte elektrische Feld a ist Teil einer elektromagnetischen Welle, die sowohl Impuls als auch Energie hat (Ein gutes Beispiel dafür ist, dass ein Laser, der durch stimulierte Emission elektromagnetischer Strahlung erzeugt wird, zum Schneiden von Diamanten verwendet wird. Dies beweist, dass elektromagnetische Strahlung Impuls hat).Sobald das Magnetfeld kollabiert, überträgt das induzierte elektrische Feld seinen Drehimpuls auf die Perle und das System beginnt sich zu drehen.

Was wäre, wenn es keine Perlen am Umfang gäbe, dann hätte das induzierte elektrische Feld seinen Impuls auf die umgebenden Mediumpartikel übertragen und die Energie wäre zerstreut.