Zur Anwendbarkeit des Coulombschen Gesetzes und des Biot-Savart-Gesetzes

Question

Zur Anwendbarkeit des Coulombschen Gesetzes und des Biot-Savart-Gesetzes

Physik
Elektrostatik
Magnetostatik
Elektromagnetismus
Klassische Elektrodynamik

Anonym

Jefimenkos Gleichungen sind

E (R, T_{R}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int [ρ (R^{'}, T_{R}) \frac{R - R^{'}}{{| R - R^{'} |}^{3}} + \dot{ρ} (R^{'}, T_{R}) \frac{R - R^{'}}{C {| R - R^{'} |}^{2}} + \dot{J} (R^{'}, T_{R}) \frac{1}{C^{2} | R - R^{'} |}] D τ^{'}

$\textbf{E}(\textbf{r}, t_r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left[\rho\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3} + \dot{\rho}\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{c\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^2} + \dot{\textbf{J}}\left(\textbf{r}', t_r\right)\frac{1}{c^2\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|}\right] d\tau'$

Und

B (R, T_{R}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int [J (R^{'}, T_{R}) \times \frac{R - R^{'}}{{| R - R^{'} |}^{3}} + \dot{J} (R^{'}, T_{R}) \times \frac{R - R^{'}}{C {| R - R^{'} |}^{2}}] D τ^{'},

$\textbf{B}(\textbf{r}, t_r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \left[\textbf{J}\left(\textbf{r}', t_r\right)\times\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^3} + \dot{\textbf{J}}\left(\textbf{r}', t_r\right)\times\frac{\textbf{r} - \textbf{r}'}{c\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|^2}\right] d\tau',$

Wo $t_r = t - \dfrac{\left|\textbf{r} - \textbf{r}'\right|}{c}$ ist die verzögerte Zeit.

Griffiths behauptet, dass das Coulombsche Gesetz gilt, wenn "alle Quellenladungen stationär sind ". Die erste von Jefimenkos Gleichungen sagt uns jedoch, dass alles, was erforderlich ist, damit das Coulombsche Gesetz gilt, ist $\dot{\rho} = 0$ Und $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Ich finde es bemerkenswert, dass keine der Bedingungen $\dot{\rho} = 0$ Und $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ impliziert das andere. Das stimmt zwar

Keine Umzugskosten ⟹ [\dot{ρ} = 0 Und \dot{J} = 0],

$\textrm{No moving charges} \implies \left[\dot{\rho} = 0 \; \textrm{ and } \; \dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}\right],$ die Umkehrung gilt nicht, und daher liefert uns Griffiths eine unnötig starke Bedingung für die Gültigkeit des Coulombschen Gesetzes.

Griffiths liefert uns auch eine unnötig starke Bedingung für die Gültigkeit des Biot-Savart-Gesetzes, nämlich die minimale Bedingung für die Gültigkeit des Coulomb-Gesetzes, $\dot{\rho} = 0$ Und $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Aus der zweiten Gleichung von Jefimenko sieht man, dass die Mindestanforderung für die Gültigkeit des Biot-Savart-Gesetzes gerecht ist $\dot{\textbf{J}} = \mathbf{0}$ . Dies ist ziemlich bemerkenswert, wenn man bedenkt, dass man naiv erwarten könnte, dass jede Anhäufung von Ladungen ein sich änderndes elektrisches Feld erzeugt, das ein Magnetfeld erzeugen würde, das von der Anhäufung von Ladungen abhängt.

Ich glaube, ich habe deutlich gemacht, warum ich Autoren nicht vertraue, die mir sofort das vollständige Bild vermitteln. (Vielleicht ist es im Fall von Griffiths gerechtfertigt, obwohl ich damit nicht zufrieden bin.) Jackson behauptet, dass das Coulombsche Gesetz gültig ist, wenn $\dot{\rho} = 0$ , $\dot{\textbf{E}} = 0$ , Und $\dot{\textbf{B}} = 0$ ; Ich bin mir nicht sicher, wie er beabsichtigt, Magnetostatik zu definieren, was ich als seine Bedingung für die Einhaltung des Biot-Savart-Gesetzes annehme, aber klar ist, dass eine Sache, die Magnetostatik charakterisiert, ist $\dot{\rho} = 0$ . Wenn jemand seine vollständige Interpretation dessen anbieten könnte, wie Jackson beabsichtigt, Magnetostatik zu definieren, wäre das großartig.

Die Frage: Sind Jacksons Bedingungen für das Coulombsche Gesetz minimal? Sind seine Bedingungen (was auch immer sie sind) für das Biot-Savart-Gesetz minimal?

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Parker · Answer 1

Wie du sagst. das Biot-Savart-Gesetz gilt immer $\dot{\bf J} \equiv {\bf 0}$ , selbst wenn ${\bf \nabla} \cdot {\bf J} \neq {\bf 0}$ und so $\rho$ ändert sich linear über die Zeit. Die Annahme $\dot{\rho} \equiv 0$ ist nicht nötig. Außerdem seit ${\bf J}({\bf x}, t) \equiv {\bf J}({\bf x}, t_r)$ In diesem Fall haben wir trivialerweise, dass die momentane Version des Biot-Savart-Gesetzes genau gilt.

Ihre Intuition ist richtig, dass der Ladungsaufbau ein sich änderndes elektrisches Feld induziert, das einen Teil des Magnetfelds induziert. Es stellt sich jedoch heraus, dass selbst bei Einbeziehung dieser Induktionswirkung $\dot{\bf J} \equiv 0$ das BS-Gesetz gilt weiterhin genau. Wenn Sie das BS-Gesetz aus dem Ampere-Gesetz ableiten, gibt es einen Begriff ${\bf \nabla} \cdot {\bf J}$ das wird normalerweise fallen gelassen, weil wir davon ausgehen, dass sich die Gebühren nicht aufbauen. Wenn wir diesen Begriff beibehalten, finden wir das wenn $\dot{\bf J} \equiv 0$ dann hebt es den elektromagnetischen Induktionseffekt aus dem sich ändernden elektrischen Feld genau auf, so dass das BS-Gesetz immer noch genau gilt.

Viel überraschender die Annahme $\dot{\rho} \equiv 0$ ist auch nicht wirklich notwendig, damit das Coulombsche Gesetz gilt, trotz des Anscheins von $\dot{\rho}$ in der ersten Jefimenko-Gleichung. So lange wie $\dot{\bf J} \equiv {\bf 0}$ , stellt sich heraus, dass der zweite Term in der Gleichung den Verzögerungseffekt genau aufhebt, und die momentane Version des Coulombschen Gesetzes gilt genau, obwohl sich die Ladungsdichte im Laufe der Zeit ändert! Dies ist eine jener Situationen, in denen EM oberflächlich als nichtlokal erscheint, aber tatsächlich vollständig lokal bleibt, und wird hier im Detail besprochen .

TLDR: Sowohl das Coulombsche Gesetz als auch das Biot-Savart-Gesetz gelten genau dann $\dot{\bf J} \equiv 0$ , selbst wenn $\dot{\rho} \neq 0$ .

Was die allgemeine Definition von "Magnetostatik" betrifft, haben Sie diese Frage bereits gestellt und ich habe sie hier beantwortet . Sollten Sie eine elektrodynamische Situation als "magnetostatisch" bezeichnen, wenn die elektromagnetische Induktion durch das sich ändernde elektrische Feld bewirkt, dass das Biot-Savart-Gesetz genau gilt? Ich würde es wahrscheinlich nicht tun, aber das ist nur eine persönliche Präferenz. Es gibt keine standardisierte Definition des Begriffs "Magnetostatik", die präzise genug ist, um diesen ungewöhnlichen Grenzfall definitiv einzuschließen oder auszuschließen.

Was ich sagen wollte war, dass du das nicht gezeigt hast $\left[\dot{\rho} = 0, \mathbf{E} = \mathbf{0} \textrm{ and } \mathbf{B} = \textbf{0}\right] \implies \dot{\mathbf{J}} = \mathbf{0}$ und dass die Umkehrung falsch ist.
@PiKindOfGuy $\dot{\bf E} = \dot{\bf B} = {\bf 0}$ reicht um das zu zeigen $\dot{\bf J} = {\bf 0}$ : Nehmen Sie einfach die Zeitableitung des Ampere-Gesetzes. Ich habe in meinem vorherigen Kommentar erklärt, warum die Umkehrung falsch ist.

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Anonym

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