Kann ein statisches nicht-konservatives Vektorfeld Skalarpotential haben?

Sie können nicht definieren$\mathbf F$als Gradient eines Skalarpotentials, sofern es nicht konservativ ist. Wenn die Einschränkung von$\mathbf F$zu einer bestimmten Domäne ist irrotational (dh$\nabla\times\mathbf F = 0$überall in dieser Domäne) und die Domäne einfach verbunden ist , dann die Einschränkung von$\mathbf F$zu diesem Bereich ist konservativ und kann als Gradient eines skalaren Potentials ausgedrückt werden. Sie können jedoch auch dann noch ein Skalarpotential definieren, wenn$\mathbf F$ist nicht konservativ. Mit dem Helmholtz-Theorem kann man sagen$\mathbf F = -\nabla \Phi + \nabla \times \mathbf A$, Wo$\Phi$ist das Skalarpotential und$\mathbf A$ist das Vektorpotential . Die Grundidee davon ist die$\mathbf F$kann in einen drehungsfreien Teil zerlegt werden$(-\nabla\Phi)$und einen divergenzfreien Teil$(\nabla\times\mathbf A)$, wobei sich ein konservatives Feld auf den Fall bezieht, in dem der divergenzfreie Teil Null ist.

In dem Beispiel, das Sie gegeben haben,$\nabla\times\mathbf H$ist außerhalb des Drahtes null, aber innerhalb des Drahtes ungleich null. Das Maxwell-Ampère-Gesetz gilt überall, nicht nur auf der Oberfläche des Drahts, und wenn Sie seine Integralform verwenden, um das Linienintegral auszuwerten, ist es leicht zu erkennen, dass es nicht Null ist. Als$\mathbf H$nicht konservativ ist, kann es nicht als Gradient eines skalaren Potentials ausgedrückt werden, weil das den divergenzfreien Teil nicht beinhaltet. Dies liegt daran, während$\mathbf H$außerhalb des Drahtes rotationsfrei ist, ist die Punktmenge außerhalb des Drahtes nicht einfach zusammenhängend. Eine andere Sichtweise ist, dass, während die Stromdichte außerhalb des Drahtes Null ist, das magnetische Vektorpotential nicht ist, also ist es der$\nabla\times\mathbf A$Begriff, der das Magnetfeld außerhalb des Drahtes hervorruft. (Notiz:$\mathbf A$wird traditionell verwendet, um sich auf das entsprechende Vektorpotential zu beziehen$\mathbf B$Feld, aber hier verwende ich es, um mich auf das Vektorpotential von zu beziehen$\mathbf H$.)

STATEMENT#3 Wenn es sich um ein statisches Vektorfeld handelt$\mathbf F$ist überall definiert, wenn wir dann bekommen$\operatorname{curl}(\mathbf F)=0$dann können wir sagen, dass 𝐅 ein statisches konservatives Vektorfeld ist.

Ich gehe davon aus, wenn Sie sagen$\mathbf F$überall definiert ist, meinen Sie, dass seine Domäne all of ist$\mathbb R^n$für einige$n$(normalerweise 2 oder 3). Vorausgesetzt, dass$\operatorname{curl}(\mathbf F)$ist auch auf allen definiert$\mathbb R^n$und überall verschwindet, dann ist diese Aussage richtig, weil$\mathbb R^n$ist einfach verbunden. Beachten Sie jedoch, dass dies ein ziemlich begrenzter Fall ist – wir modellieren Magnetfelder oft auf eingeschränkten Domänen, die diese Eigenschaft nicht erfüllen.

AUSSAGE #4 (ich denke, das ist die falsche Aussage) für ein statisches Vektorfeld$\mathbf A$, wenn wir bekommen$\operatorname{curl}(\mathbf A)=0$, dann können wir eine Schlussfolgerung ziehen$\operatorname{curl}(\mathbf A)$wird nur für die Region Null sein, wo$\mathbf A$ist definiert.

Diese Aussage ist falsch, weil sie keinen Sinn ergibt. Was bedeutet es für$\operatorname{curl}(\mathbf A)$Null sein oder nicht in einem Bereich, wo$\mathbf A$ist nicht definiert? Der Definitionsbereich von$\operatorname{curl}(\mathbf A)$ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs von$\mathbf A$, und es macht nur Sinn, über ein Vektorfeld und seine Eigenschaften auf dem Gebiet zu sprechen, auf dem es definiert ist.

AUSSAGE #4" (Korrektur in dieser Aussage) Wenn ein Vektorfeld 𝐀 nicht überall definiert ist, können wir nicht darauf schließen, dass das Feld rotierend oder nicht rotierend ist, nur basierend darauf, dass die Kräuselung dieses Felds null oder ungleich null ist.

Das ist falsch. Ein kontinuierlich differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Domäne definiert ist$U$heißt drehungsfrei, wenn seine Kräuselung an allen Stellen verschwindet$U$. Die Tatsache, dass$U\neq \mathbb R^n$im Allgemeinen ist irrelevant.

Bedeutet dies, dass 𝐅 ein statisches konservatives Vektorfeld für die Region ist, in der 𝐅 definiert ist und curl(𝐅)=0 ist?

Nein. Dies gilt nur, wenn die Region$U$auf welche$\mathbf F$definiert ist, wird einfach verbunden . Wenn$U$nicht einfach verbunden ist, können Sie es im Allgemeinen als Gradient eines Skalarpotentials in Patches schreiben , aber Sie können es nicht für alle tun$U$.

Betrachten Sie als Beispiel das Vektorfeld

definiert an$U = \left\{(x,y)\in\mathbb R^2 : x^2+y^2>1 \right\}$. Dies ist, was das Magnetfeld außerhalb eines Drahtradius ausmacht$r=1$sieht aus wie.

Weil$U$nicht einfach zusammenhängend ist, können wir kein Skalarfeld finden$\phi$auf allen definiert$U$so dass$\mathbf F = \nabla \phi$, trotz der Tatsache dass$\operatorname{curl(\mathbf F)}$ist auf allen null$U$(das ist,$\mathbf F$ist rotationsfrei).

Betrachten Sie jedoch die Domäne$V=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2>1\text{ and }y>0\right\}$, das ist eine Teilmenge von$U$.

Diese Domäne ist einfach verbunden, weil jeder geschlossene Pfad in$V$kann auf einen Punkt geschrumpft werden, ohne zu verlassen$V$, was bedeutet, dass$\mathbf F$beschränkt auf$\mathbf V$ist konservativ. Daher können wir ein Skalarfeld finden$\phi$definiert an$V$so dass$\mathbf F\big|_{V} = \nabla \phi$. Sie können das überprüfen

gibt uns das Feld, das wir suchen. Wir bemerken auch (was wir natürlich müssen), dass dieses Feld nicht auf allen definiert werden kann$U$, Weil$U$enthält Punkte für die$y=0$.

Darüber hinaus, selbst wenn wir das allgemeinere verwenden würden$\varphi=-\tan^{-1}(x,y)$die einfach einen Winkel zuweist$\theta\in(-\pi,\pi]$zu jedem Punkt$(x,y)\neq (0,0)$, das funktioniert immer noch nicht bei allen$U$weil es entlang des Negativen nicht stetig (und daher nicht differenzierbar) ist$x$-Achse.

Deine Frage ist mir zu lang, um sie komplett durchzulesen. Aber es ist nützlich, ein Magnetfeld, dessen Kräuselung nicht Null ist, als Gradient eines magnetischen Skalarpotentials zu behandeln. Sie müssen nur darauf achten, das Potential nur in einem Bereich zu verwenden, in dem die Kräuselung Null ist.