Amperesches Stromkreisgesetz für unendlich langen Draht

Wenn Sie die angegebene Fußnote lesen, die besagt

Wenn$\mathbf{J}$sich bis ins Unendliche erstreckt (wie im Fall eines unendlichen geraden Drahtes), ist das Oberflächenintegral immer noch typischerweise Null, obwohl die Analyse größere Sorgfalt erfordert.

Obwohl das Ampere-Gesetz allgemein in der Magnetostatik gilt.

Hier ist eine kleine Handbewegungsmethode von Purcell in seinem Buch:

Stellen Sie sich einen kreisförmigen Pfad vor, der den Draht umschließt,

Hier ist der Umfang$2\pi r$, und das Feld ist$\mu_0 I/2\pi r$und überall parallel zum Pfad, so ist der Wert des Linienintegrals um diesen bestimmten Pfad$(2\pi r)(\mu_0 I/2\pi r)=\mu_0 I$. Wir können dies für jeden Loop erweitern, indem wir den Loop verzerren.

Wir behaupten nun, dass jeder Pfad, der einmal um den Draht herumführt, den gleichen Wert ergeben muss. Denken Sie zum Beispiel an den krummen Pfad$C$in Abb. Lassen Sie uns den Pfad konstruieren$C'$in der nächsten Figur aus einem Pfad wie$C$und einen kreisförmigen Weg, der aber den Draht nicht umschließt. Die Linie integral um$C'$Null sein muss und daher das Integral um$C$muss das Negativ des Integrals um den Kreis sein, was wir bereits ausgewertet haben$\mu_0 I$in der Größenordnung. Das Vorzeichen hängt übrigens von der Richtung ab, in der der Weg zurückgelegt wird.

Unser allgemeines Fazit lautet

Das Biot-Savart-Gesetz in infinitesimaler Form lautet

Wo$a>0$ist eine Konstante, die vom verwendeten Einheitensystem abhängt,$I$ist die Intensität des Stroms und$\vec{dl}$ist ein Vektor, der die Länge und Stromrichtung eines kleinen Abschnitts eines Drahts darstellt, der als gerade angesehen werden kann. Wenn Sie ein wenig über die Dirac-Delta-Verteilung wissen, sollten Sie zeigen können, dass das BS-Gesetz nichts anderes ist

siehe zB https://en.m.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law

Beachten Sie, dass die obige Gleichung lokal und grundlegend ist (es ist die stationäre Version einer der Maxwell-Gleichungen) und keine Annahme über die Verteilung von Strömen getroffen wurde$\vec{J}$(Beachten Sie, dass die Kontinuitätsgleichung$\nabla \cdot \vec{J} =0$sollte mit dem zugewiesenen Strom zufrieden sein, wenn Sie die Gleichung lösen wollen: Nehmen Sie einfach die Divergenz der linken und rechten Seite). Von Fall zu Fall mag man sich auf technische Annahmen berufen, aber im Prinzip ist die Vorschrift des BS-Gesetzes klar: Solange man den Draht in unendlich kleine gerade Segmente aufteilen kann, ist es hier der lokale Beitrag zum Feld. Sie müssen nur eine Summe über den Draht (mit dem Integral) bilden. Die einzige Anforderung ist, dass der Strom erhalten bleiben muss, sodass Sie Schleifen oder Drähte haben können, die sich bis ins Unendliche erstrecken (wenn sich ein Draht aufspaltet, müssen die "Zweige" zusammen die gleiche Strommenge führen).