Herleitung des Ampere-Gesetzes in Jackson

Question

Herleitung des Ampere-Gesetzes in Jackson

JAustin

Die Ableitung des Ampere-Gesetzes in Jackson E&M aus dem Biot-Savart-Gesetz ist zum größten Teil recht traditionell und verwendet die $\nabla\times(\nabla\times A)$ Identität auf dem Vektorpotential:

\nabla \times B = \nabla \times \nabla \times \frac{μ_{0}}{4 π} \int (\frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x

$\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times\nabla\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left(\frac{\mathbf{J(x')}}{\mathbf{|x-x'|}}\right)\,d^3x$

und Ausnutzen einiger Identitäten (wie die früher abgeleitete Laplace/Dirac-Identität), um das Problem zu vereinfachen.

Allerdings lässt er, wie er es gewohnt ist, die meisten Schritte bei der Berechnung aus, und es gibt eine besonders ungeheuerliche Auslassung von 5,20 bis 5,21, die ich nur schwer verstehen kann.

Er vereinfacht den ersten Ausdruck zu etwas Handlicherem, nämlich:

\nabla \times B = - \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \int J (x^{Ich}) \cdot \nabla^{Ich} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} + μ_{0} J (x)

$\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\,\nabla\int\mathbf{J(x')}\cdot\nabla'\left(\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}\right)\,d^3x'+\mu_0\mathbf{J(x)}$

Und dann heißt es in einer ziemlich kryptischen Aussage "Integration by Parts ergibt:"

\nabla \times B = - \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \int \frac{\nabla^{Ich} \cdot J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |} D^{3} x^{Ich} + μ_{0} J (x)

$\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\,\nabla\int\frac{\nabla'\cdot\mathbf{J(x')}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}\,d^3x'+\mu_0\mathbf{J(x)}$

Ich habe die meiste Arbeit durchgearbeitet, aber es gibt noch ein paar Schritte, die mir entgehen.

Mit Integration in Teilen meint er mit ziemlicher Sicherheit die Anwendung der Identität $\mathbf{A}\cdot\nabla \psi = \nabla\cdot(\psi\mathbf{A})-\psi(\nabla\cdot\mathbf{A})$ , was das Problem auf . reduziert

\nabla \times B = \nabla \int \frac{\nabla^{Ich} \cdot J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |} D^{3} x^{Ich} - \nabla \int \nabla^{Ich} \cdot (\frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} + . . .

$\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\int\frac{\nabla'\cdot\mathbf{J(x')}}{|\mathbf{x-x'}|}\,d^3x'-\nabla\int\nabla'\cdot\left(\frac{\mathbf{J(x')}}{|\mathbf{x-x'}|}\right)\,d^3x'+\ ...$

Bei stationären magnetischen Phänomenen verschwindet der erste Integrand (da $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ ), aber die zweite bleibt.

\nabla \times B = - \nabla \int \nabla^{Ich} \cdot (\frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} + . . .

$\nabla\times\mathbf{B}=-\nabla\int\nabla'\cdot\left(\frac{\mathbf{J(x')}}{|\mathbf{x-x'}|}\right)\,d^3x'+\ ...$

Ich habe keine Ahnung, wie ich zeigen soll, dass dieser Begriff verschwindet. Ich würde den Divergenzsatz verwenden, um das Volumenintegral in ein Oberflächenintegral umzuwandeln, aber der Integrand ist nicht $C^1$ mit der Singularität bei Null, daher bin ich mir nicht sicher, ob ich das kann. Jackson macht etwas Schlaues mit einem $a$ -Potenzial

lim_{ein \to 0} (\nabla \cdot (\frac{1}{(x^{2} + {ein}^{2})^{1 / 2}}))

$\lim_{a\rightarrow 0}\left(\nabla\cdot\left(\frac{1}{(x^2+a^2)^{1/2}}\right)\right)$

in einem etwas ähnlichen elektrostatischen Fall früher, aber ich denke, es ist hier nicht anwendbar.

Steve Byrnes

Griffiths hat viel mehr Details und Erklärungen zu diesem Beweis als Jackson.

JAustin

Ich habe auch Griffith neben mir, und es ist viel klarer. Ich bin immer noch besorgt über die Anwendung des Divergenzsatzes auf singuläre Formen. Griffith macht dasselbe bei der Ableitung des Gauß'schen Gesetzes, aber ich bin nicht gut genug mit Differentialformen bewandert, um es zu bestreiten oder zu bestätigen. Jackson scheint große Anstrengungen zu unternehmen, um dieses Problem zu vermeiden, indem er ausgeklügelte Grenzen des umliegenden Potenzials konstruiert

r = 0

$r=0$ , also denke ich, dass es einige Bedenken geben muss für nicht

C^{1}

$C^1$ Formen.

velut luna

@JacobAustin Wie interpretierst du das

A = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |} d^{3} x^{'}

$A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{J(x')}{|x-x'|}d^3x'$ wo der Integrand explodiert bei

x^{'} = x

$x'=x$ ? Ich beantworte deine Frage nicht und gebe keinen Hinweis. Auch das verstehe ich nicht. Siehe physics.stackexchange.com/q/249559 . Aber ich denke, es hängt mit deiner Frage zusammen.

Antworten (2)

Herleitung des Ampere-Gesetzes in Jackson

Griffiths hat viel mehr Details und Erklärungen zu diesem Beweis als Jackson.
Ich habe auch Griffith neben mir, und es ist viel klarer. Ich bin immer noch besorgt über die Anwendung des Divergenzsatzes auf singuläre Formen. Griffith macht dasselbe bei der Ableitung des Gauß'schen Gesetzes, aber ich bin nicht gut genug mit Differentialformen bewandert, um es zu bestreiten oder zu bestätigen. Jackson scheint große Anstrengungen zu unternehmen, um dieses Problem zu vermeiden, indem er ausgeklügelte Grenzen des umliegenden Potenzials konstruiert $r=0$ , also denke ich, dass es einige Bedenken geben muss für nicht $C^1$ Formen.
@JacobAustin Wie interpretierst du das $A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{J(x')}{|x-x'|}d^3x'$ wo der Integrand explodiert bei $x'=x$ ? Ich beantworte deine Frage nicht und gebe keinen Hinweis. Auch das verstehe ich nicht. Siehe physics.stackexchange.com/q/249559 . Aber ich denke, es hängt mit deiner Frage zusammen.

Frobenius · Answer 1

In Jacksons Lehrbuch, Absatz $\S 5.3$ beginnt mit Gleichung (5.14), die hier als (001) angegeben ist

\begin{matrix} (001) & B (x) = \frac{μ_{Ö}}{4 π} \int J (x^{Ich}) \times \frac{x - x^{Ich}}{{| x - x^{Ich} |}^{3}} D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{B}\left(\mathbf{x}\right)=\dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\times}\dfrac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|^3}d^{3}x' \tag{001} \end{equation}$ Dann verwenden Sie die obenstehende Beziehung (1.15) in demselben Lehrbuch, die leicht bewiesen und hier als (002) angegeben ist.

\begin{matrix} (002) & \frac{x - x^{Ich}}{{| x - x^{Ich} |}^{3}} = - \nabla (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|^3}= - \boldsymbol{\nabla} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) \tag{002} \end{equation}$ Gleichung (001) wird ausgedrückt als

\begin{matrix} (003) & B (x) = - \frac{μ_{Ö}}{4 π} \int J (x^{Ich}) \times \nabla (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{B}\left(\mathbf{x}\right)= - \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\nabla} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)d^{3}x' \tag{003} \end{equation}$ Wenn in der Vektorformel

\begin{matrix} (004) & \nabla \times (ψ ein) = \nabla ψ \times ein + ψ (\nabla \times ein) \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left(\psi \mathbf{a} \right)=\boldsymbol{\nabla}\psi \boldsymbol{\times}\mathbf{a}+\psi\left(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \mathbf{a} \right) \tag{004} \end{equation}$ wir ersetzen

\begin{matrix} (005) & ψ = \frac{1}{| x - x^{Ich} |}, ein = J (x^{Ich}) \end{matrix}

$\begin{equation} \psi=\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} , \quad \mathbf{a}=\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right) \tag{005} \end{equation}$ dann

\begin{matrix} (006) & \nabla \times (\frac{1}{| x - x^{Ich} |} J (x^{Ich})) = \nabla (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) \times J (x^{Ich}) + \frac{1}{| x - x^{Ich} |} \underset{= 0}{\underset{⏟}{[\nabla \times J (x^{Ich})]}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right) \right)=\boldsymbol{\nabla} \left( \dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} \right) \boldsymbol{\times} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right) + \dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} \underbrace{\left [\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right) \right]}_{=\mathbf{0}} \tag{006} \end{equation}$ So

\begin{matrix} (007) & J (x^{Ich}) \times \nabla (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) = - \nabla \times (\frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\nabla} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)= - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \dfrac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} \right) \tag{007} \end{equation}$ Ersetzen dieses Ausdrucks unter dem Integral in (003)

\begin{matrix} (008) & B (x) = \frac{μ_{Ö}}{4 π} \int \nabla \times (\frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{B}\left(\mathbf{x}\right)= \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\int\:\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \dfrac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} \right)d^{3}x' \tag{008} \end{equation}$ Die Locke

\nabla \times

$\:\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\:$ betrifft die Differenzierung in Bezug auf

x

$\: \mathbf{x}\:$ es wird also aus dem Integral exportiert, da die Integrationsvariable ist

x^{'}

$\: \mathbf{x}'\:$

\begin{matrix} (009) & B (x) = \frac{μ_{Ö}}{4 π} \nabla \times \int \frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |} D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{B}\left(\mathbf{x}\right)= \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \int\:\dfrac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} d^{3}x' \tag{009} \end{equation}$ identisch mit Gleichung (5.16) im Lehrbuch.
Aus obiger Gleichung haben wir

\begin{matrix} (010) & \nabla \times B = \frac{μ_{Ö}}{4 π} \nabla \times \nabla \times \int \frac{J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |} D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \int\:\dfrac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|} d^{3}x' \tag{010} \end{equation}$ identisch mit Gleichung (5.18) im Lehrbuch. Verwenden der folgenden Formel für ein beliebiges Vektorfeld

\begin{matrix} (011) & \nabla \times (\nabla \times EIN) = \nabla (\nabla \cdot EIN) - \nabla^{2} EIN \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right)- \nabla^{2}\mathbf{A} \tag{011} \end{equation}$ Gleichung (010) ergibt

\begin{matrix} (012) & \nabla \times B = \frac{μ_{Ö}}{4 π} \nabla \int J (x^{Ich}) \cdot \nabla (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} - \frac{μ_{Ö}}{4 π} \int J (x^{Ich}) \nabla^{2} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla} \int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) d^{3}x' - \dfrac{\mu_{o}}{4\pi} \int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\nabla^{2} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) d^{3}x' \tag{012} \end{equation}$ Gleichung (5.19) im Lehrbuch.

Beachten Sie, dass alle Differentialoperatoren wie

$\:\boldsymbol{\nabla}=\text{grand},\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}=\text{curl},\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}=\text{div} \:$

betreffen Differenzierung in Bezug auf $\:\mathbf{x}\:$ und können somit frei unter die Integrale bezüglich eingefügt werden $\:\mathbf{x}'\:$ .
Nun gelten die folgenden Gleichungen (im Lehrbuch nicht nummeriert)

\begin{matrix} (013) & \nabla (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) = - \nabla^{Ich} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)= - \boldsymbol{\nabla}' \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) \tag{013} \end{equation}$ im Wesentlichen identisch mit (002) und

\begin{matrix} (014) & \nabla^{2} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) = - 4 π δ (x - x^{Ich}) \end{matrix}

$\begin{equation} \nabla^{2} \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)= - 4\pi \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right) \tag{014} \end{equation}$ Wenn wir diese beiden Ausdrücke unter dem 1. bzw. 2. Integral in der rhs von (012) ersetzen, haben wir

\begin{matrix} (015) & \nabla \times B = - \frac{μ_{Ö}}{4 π} \nabla \int J (x^{Ich}) \cdot \nabla^{Ich} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} + μ_{Ö} \underset{= J (x)}{\underset{⏟}{\int J (x^{Ich}) δ (x - x^{Ich}) D^{3} x^{Ich}}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= - \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla} \int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}' \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) d^{3}x' + \mu_{o} \underbrace{\int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right) d^{3}x'}_{=\mathbf{J}\left(\mathbf{x}\right)} \tag{015} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (016) & \nabla \times B = - \frac{μ_{Ö}}{4 π} \nabla \int J (x^{Ich}) \cdot \nabla^{Ich} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} + μ_{Ö} J (x) \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= - \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla} \int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}' \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) d^{3}x' + \mu_{o} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}\right) \tag{016} \end{equation}$ Gleichung (5.20) im Lehrbuch. Integration durch Teile des Integrals in der rhs von (016) ergibt

\begin{matrix} (017) & \int J (x^{Ich}) \cdot \nabla^{Ich} (\frac{1}{| x - x^{Ich} |}) D^{3} x^{Ich} = - \int \frac{\nabla^{Ich} \cdot J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |} D^{3} x^{Ich} \end{matrix}

$\begin{equation} \int\:\mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}' \left(\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right) d^{3}x' = - \int\:\dfrac{ \boldsymbol{\nabla}' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right| } d^{3}x' \tag{017} \end{equation}$ und (016) gibt

\begin{matrix} (018) & \nabla \times B = \frac{μ_{Ö}}{4 π} \nabla \int \int \frac{\nabla^{Ich} \cdot J (x^{Ich})}{| x - x^{Ich} |} D^{3} x^{Ich} + μ_{Ö} J (x) \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \dfrac{\mu_{o}}{4\pi}\boldsymbol{\nabla} \int\:\int\:\dfrac{ \boldsymbol{\nabla}' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right| } d^{3}x' + \mu_{o} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}\right) \tag{018} \end{equation}$ Gleichung (5.21) im Lehrbuch. Für stationäre magnetische Phänomene

\nabla^{'} \cdot J (x^{'}) = 0

$\:\boldsymbol{\nabla}' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}'\right)=0\:$ , so dass wir

\begin{matrix} (019) & \nabla \times B = μ_{Ö} J (x) \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}= \mu_{o} \mathbf{J}\left(\mathbf{x}\right) \tag{019} \end{equation}$ Gleichung (5.22) im Lehrbuch.

Die Hauptfrage ist, wie Gleichung (017) gültig ist, indem sie nach Teilen integriert wird. Dies wird im ADDENDUM bewiesen .

NACHTRAG

Lassen Sie das Integral

\begin{matrix} (A-001) & F = \int EIN (x) \cdot \nabla ψ (x) D^{3} x \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{F}= \int\:\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla} \psi\left(\mathbf{x}\right) d^{3}x \tag{A-001} \end{equation}$ wo

A (x) = [A_{1} (x), A_{2} (x), A_{3} (x)]

$\:\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right)=\left[A_{1}\left(\mathbf{x}\right),A_{2}\left(\mathbf{x}\right),A_{3}\left(\mathbf{x}\right) \right]\:$ und

ψ (x)

$\:\psi\left(\mathbf{x}\right)\:$ Vektor- bzw. Skalarfelder der Vektorvariablen

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

$\:\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\:$ und die Integration ist über den ganzen Raum.

\begin{matrix} (A-002) & F = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} ({EIN}_{1} \frac{\partial ψ}{\partial x_{1}} + {EIN}_{2} \frac{\partial ψ}{\partial x_{2}} + {EIN}_{3} \frac{\partial ψ}{\partial x_{3}}) D x_{1} D x_{2} D x_{3} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm{F}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(A_{1}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_1}+A_{2}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_2}+A_{3}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_3}\right)dx_{1}dx_{2}dx_{3} \tag{A-002} \end{equation}$

Jetzt durch eine Integration nach Teilen

\begin{matrix} (A-003) & \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{ȷ} \frac{\partial ψ}{\partial x_{ȷ}} D x_{ȷ} = [{EIN}_{ȷ} ψ]_{x_{ȷ} = - \infty}^{x_{ȷ} = + \infty} - \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{ȷ}}{\partial x_{ȷ}} D x_{ȷ}, ȷ = 1, 2, 3 \end{matrix}

$\begin{equation} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{\jmath}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_{\jmath}}dx_{\jmath}=\biggl[A_{\jmath}\psi\biggr]_{x_{\jmath}=-\infty}^{x_{\jmath}=+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi \dfrac{\partial A_{\jmath}}{\partial x_{\jmath}}dx_{\jmath}, \quad \jmath=1,2,3 \tag{A-003} \end{equation}$ Aber in unserem Fall

\begin{matrix} (A-004) & ψ (x) = \frac{1}{| x - x_{0} |} \end{matrix}

$\begin{equation} \psi\left(\mathbf{x}\right)=\dfrac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right|} \tag{A-004} \end{equation}$ das ist

\begin{matrix} (A-005) & lim_{x_{ȷ} \to \pm \infty} ψ (x) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \lim_{x_{\jmath}\rightarrow\pm\infty}\psi\left(\mathbf{x}\right)=0 \tag{A-005} \end{equation}$ Also

\begin{matrix} (A-006) & \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{ȷ} \frac{\partial ψ}{\partial x_{ȷ}} D x_{ȷ} = - \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{ȷ}}{\partial x_{ȷ}} D x_{ȷ}, ȷ = 1, 2, 3 \end{matrix}

$\begin{equation} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{\jmath}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_{\jmath}}dx_{\jmath}= - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi \dfrac{\partial A_{\jmath}}{\partial x_{\jmath}}dx_{\jmath}, \quad \jmath=1,2,3 \tag{A-006} \end{equation}$ Formal nach Koordinate explizit ^{$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{1} \frac{\partial ψ}{\partial x_{1}} D x_{1} & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{1}}{\partial x_{1}} D x_{1} ⟹ \\ (A-006a) & \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{1} \frac{\partial ψ}{\partial x_{1}} D x_{1} D x_{2} D x_{3} & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{1}}{\partial x_{1}} D x_{1} D x_{2} D x_{3} \\ \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{2} \frac{\partial ψ}{\partial x_{2}} D x_{2} & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{2}}{\partial x_{2}} D x_{2} ⟹ \\ (A-006b) & \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{2} \frac{\partial ψ}{\partial x_{2}} D x_{1} D x_{2} D x_{3} & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{2}}{\partial x_{2}} D x_{1} D x_{2} D x_{3} \\ \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{3} \frac{\partial ψ}{\partial x_{3}} D x_{3} & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{3}}{\partial x_{3}} D x_{3} ⟹ \\ (A-006c) & \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {EIN}_{3} \frac{\partial ψ}{\partial x_{3}} D x_{1} D x_{2} D x_{3} & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ \frac{\partial {EIN}_{3}}{\partial x_{3}} D x_{1} D x_{2} D x_{3} \end{aligned}$ $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{1}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_{1}}dx_{1} & = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}dx_{1} \quad \Longrightarrow \nonumber\\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{1}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_1}dx_{1}dx_{2}dx_{3} & =- \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}dx_{1}dx_{2}dx_{3} \tag{A-006a}\\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{2}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_{2}}dx_{2} & = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi \dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}dx_{2} \quad \Longrightarrow \nonumber\\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{2}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_2}dx_{1}dx_{2}dx_{3} & =- \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi \dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}dx_{1}dx_{2}dx_{3} \tag{A-006b}\\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{3}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_{3}}dx_{3} & = - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi \dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}dx_{3} \quad \Longrightarrow \nonumber\\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}A_{3}\dfrac{\partial \psi}{\partial x_3}dx_{1}dx_{2}dx_{3} & =- \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi \dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}dx_{1}dx_{2}dx_{3} \tag{A-006c} \end{align}$} und Addieren von (A-006a), (A-006b) und (A-006c) erhalten wir

\begin{aligned} (A-007) & F & = - \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} (ψ \frac{\partial {EIN}_{1}}{\partial x_{1}} + ψ \frac{\partial {EIN}_{2}}{\partial x_{2}} + ψ \frac{\partial {EIN}_{3}}{\partial x_{3}}) D x_{1} D x_{2} D x_{3} \\ = - \int ψ (x) \nabla \cdot EIN (x) D^{3} x \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{F}&=- \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\psi\dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_1}+\psi\dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_2}+\psi\dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_3}\right)dx_{1}dx_{2}dx_{3} \tag{A-007}\\ &=-\int\:\psi\left(\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right) d^{3}x \nonumber \end{align}$ so endlich

\begin{matrix} (A-008) & \int EIN (x) \cdot \nabla ψ (x) D^{3} x = - \int ψ (x) \nabla \cdot EIN (x) D^{3} x \end{matrix}

$\begin{equation} \int\:\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla} \psi\left(\mathbf{x}\right) d^{3}x=-\int\:\psi\left(\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right) d^{3}x \tag{A-008} \end{equation}$

Ich denke ((A-008) ist allgemein gültig unter der Bedingung (A-005) für $\:\psi\left(\mathbf{x}\right)\:$ und das $\:\mathbf{A}\left(\mathbf{x}\right)\:$ hat endliche Werte bei $\:\pm\infty\:$ .

Ich frage mich, ob dies die Frage des OP gelöst hat. Sie haben die Integration nach Teilen in (A003) angewendet, aber $\psi$ ist nicht stetig bei $\textbf{x}_0$ . Gilt die Teilintegration in diesem Fall?

Mike Stein · Answer 2

Sie können ein kleines Loch mit Radius stanzen $\epsilon$ über die Singularität bei ${\bf x}= {\bf x}'$ und erhalten ein Flächenintegral. Der Betrag des Integranden ist begrenzt durch $|J({\bf x}|/\epsilon$ auf der Oberfläche, und die Oberfläche ist $4\pi \epsilon^2$ , also geht der Beitrag des Oberflächenintegrals gegen Null, da $\epsilon^2/\epsilon$ wie $\epsilon\to 0$ . Die Singularität hat daher keine Auswirkung.

Herleitung des Ampere-Gesetzes in Jackson

JAustin

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JAustin

velut luna

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velut luna

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