Ermitteln von Querkomponenten aus Längskomponenten für elektrische und magnetische Felder in einem zylindrischen Koordinatensystem

Kann jemand erklären, warum diese beiden Gleichungen äquivalent sind?
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∇ T bezeichnet den transversalen zweidimensionalen Nabla-Operator: ∇ T = X ^ ∂ ∂ X + j ^ ∂ ∂ j
z ^ Einheitsvektor von ist z Achse im Zylinderkoordinatensystem.
H z kommen aus der Helmholtz-Skalargleichung für die Längskomponente des Magnetfelds im Zylinderkoordinatensystem: ∇ 2 H z + k 2 H z = 0

E T = X ^ E X + j ^ E j
H T = X ^ H X + j ^ H j
ϵ μ ω 2 = k 2

Elektrische und magnetische Felder können in eine zweidimensionale Querkomponente (eine Vektorfunktion) und eine Längskomponente (eine Skalarfunktion) zerlegt werden.
E = E T + z ^ E z
H = H T + z ^ H z

Der Laplace-Operator in jedem zylindrischen Koordinatensystem ist:
∇ 2 A = ∇ 2 A T + z ^ ∇ 2 A z , ∇ = ∇ T + z ^ ∂ ∂ z

Aus der Maxwell-Gleichung:

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Bis hierhin verstehe ich. Aber ich verstehe nicht, wie man Kalkül in der obigen Gleichung macht. Sie sagen, dass :
∇ T × E T = − J μ ω H z z ^ ( 1 )
∇ T × z ^ E z + z ^ ∂ E T ∂ z = − J μ ω H T ( 2 )
∇ T × H T = J μ ϵ E z z ^ ( 3 )
∇ T × z ^ H z + z ^ ∂ H T ∂ z = J μ ϵ E T ( 4 )

Anwenden z ^ × ∂ ∂ z zu (2) und Multiplizieren von (4) mit − J μ ω dann addieren und stornieren H T :Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

ist das gleiche mit diesem ( E T ist der zweidimensionale Transversalvektor für das elektrische Feld im Zylinderkoordinatensystem):Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

nach Verwendung dieser Vektorformeln:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Kann jemand dies mit einem einfachen Vektorenkalkül (Identitäten) erklären? Ich interessiere mich für die Gleichheit der ersten beiden Ausdrücke, aber ich brauche auch einige Erklärungen für die beiden verwendeten Formeln.
Warum ∇ T × z ^ A z = − z ^ × ∇ T A z ?

Ich stecke bei diesen Vektoridentitäten mit partieller Ableitung und Skalaren fest. Ich kann es nicht auswendig lernen, ich möchte es verstehen, weil es einfacher wäre, meine Prüfung abzulegen.

Danke!

Ist dies nicht ein einfacher Fall der Kreuzproduktidentität? A → × B → = − B → × A → ? Seit ∇ T z ^ = 0 , ich denke, das ist trivial ...
$0celo7 wo warst du bisher? Ich habe ihm schon geantwortet. Die vielen Formeln, die er präsentiert, schrecken die Leute davon ab, sich mit dem Thema zu befassen, aber die Kalküle sind sehr einfach.
@NumLock schreibt keine Produkte in das Formular z → ^ × z → ^ × ∂ 2 A T / ∂ z 2 Weil z → ^ × z → ^ = 0 . Setzen Sie die Klammern, um anzuzeigen, was mit was Sie zuerst multiplizieren.
@NumLock - Eine Verbesserung C → × ( B → × A → ) = ( C → ⋅ B → ) A → − B → ( C → ⋅ A → ) .

Antworten (1)

Sie wissen natürlich, wie man ein vektorielles Produkt berechnet. Lassen Sie uns dann die beiden vektoriellen Produkte berechnen, mit denen Sie ein Problem haben, gemäß der Formel, die Sie angegeben haben ∇ T :

  ( ICH )   − J ω μ ∇ T × z ^ H z = [ X → ^ j → ^ z → ^ ∂ ∂ X ∂ ∂ j ∂ ∂ z 0 0 H z ] = − J ω μ ( X → ^ ∂ H z ∂ j − j → ^ ∂ H z ∂ X ) .

Nun berechnen wir auf die gleiche Weise die 2. Gleichheit

  ( ICH ICH )   J ω μ z → ^ × ∇ T H z = [ X → ^ j → ^ z → ^ 0 0 1 ∂ H z ∂ X ∂ H z ∂ j 0 ] = J ω μ ( − X → ^ ∂ H z ∂ j + j → ^ ∂ H z ∂ X ) .

Nun, bitte vergleichen Sie die beiden Ergebnisse.

Ich werde ein weiteres Vektorprodukt berechnen, und Sie können analoge Berechnungen durchführen.

  ( ICH ICH ICH )   ∇ T × H T = [ X → ^ j → ^ z → ^ ∂ ∂ X ∂ ∂ j ∂ ∂ z H X H j 0 ] = z → ^ ( ∂ H j ∂ X − ∂ H X ∂ j ) .

Aus diesem Ergebnis erhältst du leicht deine Gleichheit (3), indem du berücksichtigst, dass in der rechten Seite der 2. Maxwell-Gleichung der einzige Term entlang ist z → ^ Ist J ϵ E z . Erinnern Sie sich zur Vereinfachung der Berechnung an jedes Vektorprodukt, in dem einer der Faktoren enthalten ist z → ^ , hat das Ergebnis senkrecht zu z → ^ .

Ist dies nicht ein einfacher Fall der Kreuzproduktidentität? A → × B → = − B → × A → ? Seit ∇ T z ^ = 0 , ich denke, das ist trivial ...
Ermitteln von Querkomponenten aus Längskomponenten für elektrische und magnetische Felder in einem zylindrischen Koordinatensystem
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