Dirac-Delta-Magnetfeld

Sie haben die Definition des Vektorpotentials.

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$ Nach dem Satz von Stokes ist dies äquivalent zu $$\iint_S \mathbf{B}\ d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{A}\ d\mathbf{r}$$ Wo$S$ist eine beliebige Oberfläche und$\partial S$ist seine Grenzlinie.

Wählen Sie jetzt für$S$ein Kreis um die$z$-Achse. Dann ist das Integral auf der linken Seite trivial, es ist nur die Konstante$\phi$. Und das Integral rechts in Zylinderkoordinaten ($\rho,\varphi,z$), ist eine Hin- und Rückfahrt vorbei$\varphi$:

$$\phi=\int_0^{2\pi} \mathbf{A}\ \hat{\varphi}\ \rho\ d\varphi$$

Es ist leicht zu erkennen, dass es eine Lösung gibt

$$\mathbf{A}(\rho,\varphi,z) = \frac{\phi}{2\pi\rho}\,\hat{\mathbf{\varphi}}$$

Eine Möglichkeit, dies zu tun (obwohl ich Sie nicht dafür verantwortlich machen würde, dass Sie mich des Betrugs beschuldigen), besteht darin, sich die Identität (in zylindrischen Koordinaten) zu "merken":

$$\nabla \times \left(\frac{\hat{\mathbf{\varphi}}}{\rho}\right) = \hat{\mathbf{z}}\,\, 2 \pi \,\delta^2(\rho).\tag{1}\label{1}$$

Dies erinnert an die Divergenzidentität (in sphärischen Polarkoordinaten):

$$\nabla \cdot \left(\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right) = 4\pi \delta^3(r).\tag{2}\label{2}$$

Mit der Tatsache, dass$\delta^2(\rho) = \delta(x)\delta(y)$, sollten Sie sehen können, dass Sie die erste Gleichung in Bezug auf Ihr Fachgebiet schreiben können$\mathbf{B}$als:

$$\nabla \times \left(\frac{\phi}{2\pi\rho}\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right) = \mathbf{B}.$$

Unter Verwendung der Definition des Vektorpotentials$\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B},$Sie sollten in der Lage sein, diese eine Lösung für zu sehen$\mathbf{A}$ist eindeutig

$$\mathbf{A}(\rho,\varphi,z) = \frac{\phi}{2\pi\rho}\,\hat{\mathbf{\varphi}}.$$

Alle anderen Lösungen für$\mathbf{A}$erhält man, indem man den Gradienten eines Skalarfeldes addiert (nennen wir es$f$), so lautet die allgemeine Lösung

$$\mathbf{A}'= \mathbf{A} + \nabla f.$$ Da die Kräuselung des Gradienten Null ist, $$\nabla \times \mathbf{A}' = \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}.$$ Dies ist nur eine Widerspiegelung der Eichinvarianz.