Warum ist das Skalarprodukt zwischen divergenzfreiem Strom J⃗J→\vec{J} und einem Gradientenfeld∇φ∇φ\nabla \varphi Null?

Ich habe einen Artikel gelesen , der besagt, dass das Skalarprodukt zwischen divergenzfreiem Strom und einem Gradientenfeld Null ist.

Ein divergenzfreier Oberflächenstrom ist ∇ ⋅ J → = 0 , Und J → darstellen könnte als J → = ∇ × ( ψ N ^ ) , Wo N ^ ist der Normalenvektor der Fläche. Die Aussage wird also: ( ∇ × ( ψ N ^ ) ) ⋅ ∇ φ = 0 .

Ich denke nach der Identität:

∇ ⋅ ( A → × B → ) = B → ⋅ ( ∇ × A → ) − A → ⋅ ( ∇ × B → )
wir haben
∇ × ( ψ N ^ ) ⋅ ∇ φ = ∇ ⋅ ( ψ N ^ × ∇ φ ) + ψ N ^ ⋅ ∇ × ∇ φ = ∇ ⋅ ( ψ N ^ × ∇ φ ) ,
aber was dann?

Update Danke Luboš Motl. Ich nehme an, ich verstehe jetzt warum, aber ich habe nicht genug Ruf, um unten zu antworten, also aktualisiere einfach hier meine Antwort.

Das Ziel ist es zu beweisen ∫ S J → ⋅ ∇ φ D S = 0 Der gesamte Prozess ist wie folgt:

Erste, J → kann nicht über die Oberflächenkante gehen, also J → ⋅ T ^ = 0 , Wo l ^ ist die Flächenkantenrichtung und T ^ = l ^ × N ^ ist die Edge-Out-Richtung.

Zweitens nach der Identität

∇ ⋅ ( A → × B → ) = B → ⋅ ( ∇ × A → ) − A → ⋅ ( ∇ × B → ) ,
wir haben
J → ⋅ ∇ φ = ∇ × ( ψ N ^ ) ⋅ ∇ φ = ∇ ⋅ ( ψ N ^ × ∇ φ ) + ψ N ^ ⋅ ∇ × ∇ φ = ∇ ⋅ ( ψ N ^ × ∇ φ )
seit
∇ × ( F A → ) = ∇ F × A → + F ( ∇ × A )
ψ N ^ × ∇ φ = − ∇ × ( φ ψ N ^ ) + φ ∇ × ( ψ N ^ ) .
Dann
∇ ⋅ ( ψ N ^ × ∇ φ ) = ∇ ⋅ ( − ∇ × ( φ ψ N ^ ) + φ ∇ × ( ψ N ^ ) ) = ∇ ⋅ ( φ ∇ × ( ψ N ^ ) )
Endlich,
∫ S J → ⋅ ∇ φ D S = ∫ S ∇ × ( ψ N ^ ) ⋅ ∇ φ D S = ∫ S ∇ ⋅ ( φ ∇ × ( ψ N ^ ) ) D S = ∮ l φ ∇ × ( ψ N ^ ) ⋅ T ^ D l = ∮ l φ J → ⋅ T ^ D l = 0 .

Ich denke, hier sind die wichtigen Dinge:

  1. Im Allgemeinen kann ein divergenzfreier Strom normalerweise ausgedrückt werden als J → = ∇ × T → , Und J → = ∇ × ( ψ N ^ ) ist speziell für Oberflächenstrom.

  2. Die N ^ ist nur an der Oberfläche gültig (es gibt keine Bedeutung von N ^ für Punkt in Seite eines Körpers). Das Integral befindet sich eher auf der Oberfläche als auf dem Körper. Laut Originalartikel geht es nur um PEC und Oberflächenstrom.

Diese Frage war extrem schwer zu verstehen, da das gesamte TeX zusammengewürfelt war und die Interpunktion und Großschreibung im Wesentlichen zufällig waren. Bitte nehmen Sie sich die Zeit, die richtige englische Interpunktion usw. zu verwenden, damit die Leute verstehen können, was Sie fragen. Ich habe die Mathematik bearbeitet, aber ich denke, die Sätze sind immer noch vermasselt.

Antworten (3)

Ein divergenzfreier Strom ist immer noch ein ziemlich allgemeines Vektorfeld, daher ist sein inneres Produkt mit einem anderen allgemeinen Feld, einem Gradienten, im Allgemeinen sicherlich nicht Null.

Ein triviales Gegenbeispiel. ψ N = ( j / 2 , − X / 2 , 0 ) . Dann ∇ × ( ψ N ) = ( 0 , 0 , 1 ) . Andererseits kann das Gradientenfeld sein ( 0 , 0 , 1 ) = ∇ ⋅ ( 0 , 0 , z ) und das innere Produkt der beiden Einheiten z -Richtungsvektoren ist nirgendwo Null.

Was die Aussage, auf die Sie gestoßen sind, hätte sagen können

∇ × ( ∇ ⋅ ϕ ) = 0
das ist eine der grundlegenden Identitäten, die leicht bewiesen werden kann.

Aktualisieren

Das OP hat uns die Quelle zur Verfügung gestellt und es ist klar, dass sie eine andere, wahre Aussage gemacht haben. Das Skalarprodukt sollte nicht nur das einfache Produkt zweier 3er-Vektoren sein, sondern das Skalarprodukt im Sinne des Hilbertraums

B ( u → , v → ) = ∫ D 3 X u → ( X ) ∗ ⋅ v → ( X )
über den Raum integriert. Dies verschwindet, wenn u → ist ein Vielfaches einer Locke und v → ist ein Vielfaches eines Gradienten. Dies wird trivialerweise in dem Impulsraum gesehen, in dem es sich befindet
B ( u → k , v → k ) = ∫ D 3 k A ( k → × B → ) ⋅ ( C k → ⋅ D )
Hier, k × ergibt sich aus der Locke und k → ⋅ ergibt sich aus dem Gradienten und das Integral darüber verschwindet (der Integrand verschwindet jeweils k → , in dieser Darstellung), weil k → ⋅ ( k → × M → ) ≡ 0 . Der analoge Beweis in der X -Darstellung erfordert eine gewisse Integration nach Teilen.

Danke Luboš Motl. Ich stimme mit Ihnen ein. Ich muss die Idee der Autoren falsch verstehen. Ich habe die Aussage aus diesem Artikel gelesen: docs.lib.purdue.edu/cgi/… Auf Seite.2, linke Spalte, am Ende des vorletzten Absatzes, wird erwähnt: '...Die beiden Probleme lassen sich leicht beheben diese Arbeit durch Entfernen der Gradientenfeldkomponente des einfallenden Feldes und der Green-Funktion bei der Berechnung ihrer inneren Produkte mit einem divergenzfreien Strom, da das innere Produkt zwischen einem divergenzfreien Strom und einem Gradientenfeld analytisch als Null bekannt ist.'
Es wird erneut auf Seite 5 erwähnt, um Gl. 32 und Gl. 33 herum '...Seit W 0 stellt einen divergenzfreien Strom dar, der geschrieben werden kann als ∇ × ψ N ^ und daher N ^ × ∇ ψ mit ψ Da es sich um einen Skalar handelt, kann sein inneres Produkt mit einem Gradientenfeld analytisch als Null bewiesen werden ...'
OK, das ist eine andere Aussage, @user50510. Das Skalarprodukt soll das quantenmechanisch ähnliche Integral von Vektorfeldern über den Raum sein, nicht nur die punktweise Skalarproduktfunktion des Raums. Siehe meine aktualisierte Antwort für einen schnellen Beweis.
danke Luboš Motl. Ich verstehe jetzt warum, aber die Verarbeitung scheint etwas kompliziert zu sein. Ich frage mich, ob es einfachere Prozesse gibt.
Sie können eine Integration nach Teilen durchführen, um sie auf beides zu reduzieren kräuseln ⁡ Grad = 0 oder div ⁡ kräuseln = 0 .

Ich denke schreiben ∇ × ( ψ N ^ ) als ∇ ψ × N ^ soll die Antisymmetrie zwischen ausdrücken φ Und ψ und bereite die vor ∇ ψ für J → Komponente im letzten Ausdruck , würde es ein wenig klarer machen, die Antwort zu erhalten, J → ⋅ ∇ φ = ∇ × ( ψ N ^ ) ⋅ ∇ φ _ = ( ∇ ψ × N ^ ) ⋅ ∇ ϕ = ∇ ψ ⋅ ( N ^ × ∇ φ ) = − ∇ ψ ⋅ ∇ × ( φ N ^ ) _

und dann verwenden ∇ ⋅ ( A → × B → ) = B → ⋅ ( ∇ × A → ) − A → ⋅ ( ∇ × B → ) um den Ausdruck in den Oberflächendivergenzoperator aufzunehmen ∇ ⋅ ( ) , So

- ∫ S ∇ ψ ⋅ ∇ × ( φ N ^ ) D S = ∫ S ∇ ⋅ ( ∇ ψ × φ N ^ ) D S − ∫ S φ N ^ ⋅ ∇ × ∇ ψ D S = ∮ l ( ∇ ψ × φ N ^ ) ⋅ T ^ D l = ∮ l φ J → ⋅ T ^ D l = 0

OK, ein anderer Pfad ist zu präsentieren ∇ × ( ψ N ^ ) ⋅ ∇ φ = ∇ ψ × N ^ ⋅ φ = N ^ ⋅ ( ∇ φ × ∇ ψ ) = N ^ ⋅ ( ∇ × ( φ ∇ ψ ) − φ ∇ × ∇ ψ ) = N ^ ⋅ ∇ × ( φ ∇ ψ ) , wo die Identität ∇ × ( F A → ) = ∇ F × A → + F ∇ × A → wird eingesetzt. dann mit dem Satz von Stokes ∫ S ∇ × ( φ ∇ ψ ) ⋅ N ^ D S = ∮ l φ ∇ ψ ⋅ D l → = ∮ l φ ∇ ψ ⋅ ( N ^ × T ^ ) D l = ∮ l φ ∇ ψ × N ^ ⋅ T ^ D l = ∮ l φ J → ⋅ T ^ D l = 0

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