So erhalten Sie eine Integralformel für die Flusszeitableitung

Ich habe keine Zeit für eine detaillierte Herleitung, daher kann das Folgende Fehler enthalten, also nehmen Sie es für das, was es wert ist ... Im Folgenden gehe ich davon aus$\mathbf{B}$ist zeitlich konstant. Wenn nicht, ergibt die Differenz (in erster Näherung) nur den ersten Term im Integral auf der rechten Seite. Betrachten wir das Volumen, das gebildet wird durch$\Sigma(t_0)$Und$\Sigma(t_0+dt)$. Der Fluss von$\mathbf{B}$über der Oberfläche dieses Volumens wird ungefähr sein$dt \frac{d}{dt}\int_{A}\mathbf{B}d\mathbf{A}$. Andererseits ist dieser Fluss gleich dem Integral der Divergenz$\nabla \cdot \mathbf{B}$. Dies ergibt den zweiten Term der rechten Seite, as$\mathbf{v}dt d\mathbf{A}$ist das Elementarvolumen. Der letzte Term auf der rechten Seite scheint zu verschwinden, da er einem Rotordurchfluss entspricht$\Sigma(t_0)$, was der Zirkulation des Vektors entspricht$\mathbf{v} \times \mathbf{B}$über$d\Sigma(t_0)$. Als Schaltung$d\Sigma$ist konstant,$\mathbf{v}$entlang der Schaltung in die Punkte der Schaltung geleitet werden soll, also$\mathbf{v} \times \mathbf{B}$sollte in den Punkten des Kreises orthogonal zum Kreis sein, damit seine Zirkulation verschwindet.

EDIT (09/18): Als Autor der um Details gebetenen Frage finden Sie unten eine Erläuterung einiger Punkte der ursprünglichen Antwort. Auch hier kann es einige Fehler geben, insbesondere bei Zeichen, also nehmen Sie dies bitte für das, was es wert ist. Ich vermute$v$ist das Geschwindigkeitsfeld der Punkte der Oberfläche$\Sigma$. Betrachten wir zwei Oberflächen:$\Sigma(t_0)$Und$\Sigma(t_0+dt)$. Zusammen begrenzen sie ein bestimmtes Volumen$V$zwischen ihnen. Betrachten wir den folgenden Ausdruck: 1)$\int_{\Sigma(t_0+dt)} B dA$-$\int_{\Sigma(t_0+dt)} B dA$(Ich nehme hier der Einfachheit halber an, dass$B$hängt nicht von der Zeit ab; Außerdem,$v$,$B$Und$A$sind überall Vektorwerte und sollten fett geschrieben werden). Dieser Ausdruck ist gleich$\int_{\Sigma_V} B dA$(Wo$\Sigma_V$ist die Gesamtoberfläche des Volumens$V$), Weil$\Sigma(t_0)$Und$\Sigma(t_0+dt)$eintreten$\Sigma_V$mit entgegengesetzten Vorzeichen aufgrund ihrer unterschiedlichen Position in Bezug auf die Volumennormale$V$. Andererseits entspricht Ausdruck 1) ungefähr dem folgenden Ausdruck: 2)$dt\frac{d}{dt}\int_{\Sigma(t_0+dt)} B dA$. Da 1) ein Integral von ist$B$über die Oberfläche$\Sigma_V$, es ist eigentlich der Fluss von$B$durch die Oberfläche von$V$. Nach dem Satz von Gauß ist der Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Volumens gleich dem Integral der Divergenz des Vektorfeldes über das Volumen. Daher ist 1) gleich 3)$\int_V (\nabla\cdot B) dV$. Andererseits, wenn$Q$ist ein Skalarfeld,$\int Q dV$ungefähr gleich$dt \int_A Q (v\cdot dA)$(Denken Sie an diesen Band$V$ist sehr klein, wenn$dt$ist sehr klein.) Daher ist 3) ungefähr gleich$dt\int_A (\nabla\cdot B) (v\cdot dA)$. Da 2)=3), können Sie beide Seiten dieser Gleichheit durch dividieren$dt$und bekomme den zweiten Term.

Um auf der hervorragenden Antwort von @akhmeti aufzubauen, lassen Sie uns die Annahme lockern, dass$\partial \Sigma$ist zeitlich konstant. Wir lassen die Grenze der Oberfläche mit der Flüssigkeit mitwandern. Dann müssen wir die Divergenzformel für den aus diesem Randstreifen austretenden Fluss korrigieren:

$\int_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot [d\mathbf{l} \times \mathbf{v} dt] = \int_{\partial \Sigma} (\mathbf{B}\times \mathbf{v}dt) \cdot d\mathbf{l} = \int_{\Sigma} d\mathbf{A} \cdot (\nabla \times (\mathbf{B} \times \mathbf{v}) )dt$

Das ist der Ursprung des letzten Begriffs. Ich habe nicht auf Zeichen geachtet.

Auf der linken Seite sind sowohl B als auch die Fläche A zeitabhängig. Auf der rechten Seite ergibt sich der erste Term aus der Änderung von B (auch wenn A fest ist), der zweite und dritte Term aus der Tatsache, dass A(t) nicht konstant ist.

Um die zeitliche Änderung von A zu berücksichtigen, müssen Sie die konvektive Ableitung verwenden: D/Dt=d/dt+(V.grad)

Der Integrand auf der rechten Seite ist:

dB/dt+V.grad(B)

Aber: curl(VxB)=div(B)*V+B.grad(V)-(div(V))BV.grad(B)

Und: grad(V)=0 und div(V)=0 also: V.grad(B)=div(B)*V-curl(VxB)

Und: dB/dt+V.grad(B)=dB/dt+div(B)*V-curl(VxB)